Jump to content

Идеальная связка

(Перенаправлено из Снопа идеалов )

В алгебраической геометрии и других областях математики идеальный пучок (или пучок идеалов ) — глобальный аналог идеала в кольце . Идеальные пучки геометрического объекта тесно связаны с его подпространствами.

Определение

[ редактировать ]

Пусть X топологическое пространство и A пучок колец на X. — (Другими словами, ( X , A ) — кольцевое пространство .) Идеальный пучок J в A это подобъект A в категории пучков A -модулей, т. е. подпучок A , рассматриваемый как пучок абелевых групп. такой, что

Γ( U , A ) · Γ( U , J ) ⊆ Γ( U , J )

для всех открытых подмножеств U из X . Другими словами, J пучок A -подмодулей модуля A .

Общие свойства

[ редактировать ]
  • Если f : A B — гомоморфизм между двумя пучками колец в одном и том же пространстве , ядро ​​f является идеальным пучком в A. X
  • Обратно, для любого идеального пучка J в пучке колец A существует естественная структура пучка колец на факторпучке A / J . Заметим, что каноническое отображение
Г( U , А )/Г( U , J ) → Г( U , А / J )
для открытых подмножеств U инъективно, но, вообще говоря, не сюръективно. (См. когомологии пучков .)

Алгебраическая геометрия

[ редактировать ]

В контексте схем значение идеальных пучков заключается главным образом в соответствии между замкнутыми подсхемами и квазикогерентными идеальными пучками. Рассмотрим схему X и квазикогерентный идеальный пучок J в O X . Тогда носитель Z пространства O X / J является замкнутым подпространством пространства X , а ( Z , O X / J ) – схемой (оба утверждения проверяются локально). Она называется замкнутой подсхемой X определяемой J. , Обратно, пусть i : Z X замкнутое погружение , т. е. морфизм, который является гомеоморфизмом замкнутого подпространства такой, что ассоциированное отображение

я # : О Икс я О Z

сюръективен на стеблях. Тогда ядро ​​J оператора i # является квазикогерентным пучком идеалов, и i индуцирует изоморфизм из Z на замкнутую подсхему, определенную J . [1]

Частным случаем этого соответствия является уникальная приведенная подсхема X red схемы X , имеющая одно и то же базовое пространство, которое определяется нильрадикалом O X (определенным по стеблю или на открытых аффинных картах). [2]

Для морфизма f : X Y и замкнутой подсхемы Y Y, определенной идеальным пучком J , прообраз Y × Y   X определяется идеальным пучком [3]

ж ( J )O X = im( f J → О X ).

Обратный образ идеального пучка J к подсхеме Z, J , содержит важную информацию, он называется конормальным расслоением Z определенной . Например, пучок дифференциалов Кэлера можно определить как обратный образ идеального пучка, определяющего диагональ X X × X к X . (Предположим для простоты, что X отделено так , что диагональ представляет собой замкнутое погружение.) [4]

Аналитическая геометрия

[ редактировать ]

В теории комплексно-аналитических пространств теорема Оки-Картана утверждает, что замкнутое подмножество А комплексного пространства аналитично тогда и только тогда, когда идеальный пучок функций, исчезающих на А когерентен , . Этот идеальный пучок также придает A структуру приведенного замкнутого комплексного подпространства.

  1. ^ EGA I, 4.2.2 б)
  2. ^ ЕГА I, 5.1
  3. ^ ЕГА I, 4.4.5
  4. ^ EGA IV, 16.1.2 и 16.3.1
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 76d8278ce4bdd76d623ea75feb202666__1687994940
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/76/66/76d8278ce4bdd76d623ea75feb202666.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Ideal sheaf - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)