Некоммутативная алгебраическая геометрия

Некоммутативная алгебраическая геометрия — раздел математики , а точнее направление некоммутативной геометрии , изучающее геометрические свойства формальных двойственных некоммутативных алгебраических объектов, таких как кольца , а также геометрических объектов, полученных из них (например, путем склеивания по локализациям или принимая некоммутативные стековые факторы ).

Например, предполагается, что некоммутативная алгебраическая геометрия расширяет понятие алгебраической схемы путем подходящей склейки спектров некоммутативных колец; в зависимости от того, насколько буквально и в целом эта цель (и понятие спектра) понимается в некоммутативной ситуации, это достигалось с разным уровнем успеха. Некоммутативное кольцо здесь обобщает коммутативное кольцо регулярных функций на коммутативной схеме . Функции в обычных пространствах традиционной (коммутативной) алгебраической геометрии имеют произведение, определяемое поточечным умножением ; поскольку значения этих функций коммутируют , функции также коммутируют: a, умноженное на b, равно b, умноженному на a . Примечательно, что рассмотрение некоммутативных ассоциативных алгебр как алгебр функций на «некоммутативном» потенциальном пространстве представляет собой далеко идущую геометрическую интуицию, хотя формально это выглядит как заблуждение. ^{[ нужна ссылка ]}

Большая часть мотивации некоммутативной геометрии, и в частности некоммутативной алгебраической геометрии, исходит из физики; особенно из квантовой физики, где алгебры наблюдаемых действительно рассматриваются как некоммутативные аналоги функций, поэтому желательно иметь возможность наблюдать их геометрические аспекты.

Одна из ценностей этой области состоит в том, что она также предоставляет новые методы изучения объектов коммутативной алгебраической геометрии, таких как группы Брауэра .

Методы некоммутативной алгебраической геометрии являются аналогами методов коммутативной алгебраической геометрии, но зачастую их основы различны. Локальное поведение в коммутативной алгебраической геометрии фиксируется коммутативной алгеброй и особенно изучением локальных колец . Они не имеют теоретико-кольцевого аналога в некоммутативной ситуации; хотя в категориальной постановке можно говорить о стопках локальных категорий квазикогерентных пучков над некоммутативными спектрами. Глобальные свойства, такие как те, которые возникают из гомологической алгебры и K-теории, чаще переносятся в некоммутативную среду.

История [ править ]

Классический подход: проблема некоммутативной локализации [ править ]

Коммутативная алгебраическая геометрия начинается с построения спектра кольца . Точки алгебраического многообразия (или, в более общем плане, схемы ) — это простые идеалы кольца, а функции на алгебраическом многообразии — элементы кольца. Однако некоммутативное кольцо не может иметь собственных ненулевых двусторонних простых идеалов. Например, это справедливо для алгебры Вейля полиномиальных дифференциальных операторов в аффинном пространстве: Алгебра Вейля представляет собой простое кольцо . Поэтому можно, например, попытаться заменить простой спектр примитивным спектром : существуют также теория некоммутативной локализации и теория спуска . В некоторой степени это работает: например, можно Диксмье обертывающие алгебры рассматривать как разработку некоммутативной алгебраической геометрии для примитивного спектра обертывающей алгебры алгебры Ли . Другая работа в похожем духе — Майкла Артина под названием «Некоммутативные кольца». заметки ^[1] что отчасти является попыткой изучить теорию представлений с точки зрения некоммутативной геометрии. Ключевое понимание обоих подходов заключается в том, что неприводимые представления или, по крайней мере, примитивные идеалы можно рассматривать как «некоммутативные точки».

Современная точка зрения на использование категорий пучков [ править ]

Как оказалось, исходя, скажем, из примитивных спектров, разработать работоспособную теорию пучков было непросто . Можно предположить, что эта трудность связана с своего рода квантовым явлением: точки в пространстве могут влиять на точки, находящиеся далеко (и на самом деле нецелесообразно рассматривать точки индивидуально и рассматривать пространство как простую совокупность точек).

В связи с вышеизложенным можно принять парадигму, подразумеваемую в Пьера Габриэля тезисе и частично оправданную теоремой реконструкции Габриэля-Розенберга (после Пьера Габриэля и Александра Л. Розенберга ), что коммутативная схема может быть восстановлена с точностью до изоморфизма схем, исключительно из абелевой категории квазикогерентных пучков на схеме. Александр Гротендик учил, что для занятий геометрией не нужно пространство, достаточно иметь категорию пучков, на которой будет пространство; эта идея была передана в некоммутативную алгебру Юрием Маниным . Существуют немного более слабые теоремы реконструкции на основе производных категорий (квази)когерентных пучков, мотивирующие выведенную некоммутативную алгебраическую геометрию (см. чуть ниже).

геометрия алгебраическая Производная

Возможно, самым последним подходом является теория деформации , помещающая некоммутативную алгебраическую геометрию в область производной алгебраической геометрии .

В качестве мотивирующего примера рассмотрим одномерную алгебру Вейля над комплексными числами C . Это фактор свободного кольца C < x , y > по соотношению

ху - ух = 1.

Это кольцо представляет полиномиальные дифференциальные операторы от одной переменной x ; y обозначает дифференциальный оператор ∂ _x . Это кольцо вписывается в однопараметрическое семейство, заданное соотношениями xy - yx = α . Когда α не равно нулю, это соотношение определяет кольцо, изоморфное алгебре Вейля. Однако когда α равно нулю, отношение является соотношением коммутативности для x и y , а полученное фактор-кольцо является кольцом полиномов от двух переменных C [ x , y ]. Геометрически кольцо многочленов от двух переменных представляет собой двумерное аффинное пространство A ², поэтому существование этого однопараметрического семейства говорит о том, что аффинное пространство допускает некоммутативные деформации пространства, определяемого алгеброй Вейля. Эта деформация связана с символом дифференциального оператора и с тем, что A ² — коткасательное расслоение аффинной прямой. (Изучение алгебры Вейля может привести к получению информации об аффинном пространстве: гипотеза Диксмье об алгебре Вейля эквивалентна гипотезе Якобиана об аффинном пространстве.)

В этом направлении подхода понятие операды , набора или пространства операций, становится заметным: во введении к ( Фрэнсис 2008 ) Фрэнсис пишет:

Мы начинаем изучение некоторых менее коммутативных алгебраических геометрий. … алгебраическая геометрия закончена ${\mathcal {E}}_{n}$ -кольца можно рассматривать как интерполяцию между некоторыми производными теориями некоммутативной и коммутативной алгебраической геометрии. По мере n эти увеличения ${\mathcal {E}}_{n}$ -алгебры сходятся к производной алгебраической геометрии Тоена-Веццози и Лурье .

Проект некоммутативного кольца [ править ]

Одной из основных конструкций коммутативной алгебраической геометрии является конструкция Проя градуированного коммутативного кольца . Эта конструкция строит проективное алгебраическое многообразие вместе с очень обильным линейным расслоением, которого однородным координатным кольцом является исходное кольцо. Построение базового топологического пространства многообразия требует локализации кольца, а построение пучков на этом пространстве — нет. По теореме Жана-Пьера Серра квазикогерентные пучки на Proj градуированного кольца — это то же самое, что и градуированные модули над кольцом с точностью до конечномерных множителей. Философия теории топоса, продвигаемая Александром Гротендиком, утверждает, что категория пучков в пространстве может служить самим пространством. Следовательно, в некоммутативной алгебраической геометрии Proj часто определяют следующим образом: пусть R — градуированная C -алгебра, и пусть Mod- R обозначает категорию градуированных правых R -модулей. Обозначим через F подкатегорию Mod- R, состоящую из всех модулей конечной длины. Proj R определяется как фактор абелевой категории Mod- Р от Ф. Эквивалентно, это локализация Mod- R, в которой два модуля становятся изоморфными, если после взятия их прямых сумм с соответствующим образом выбранными объектами F они изоморфны в Mod- R .

Этот подход приводит к теории некоммутативной проективной геометрии . Некоммутативная гладкая проективная кривая оказывается гладкой коммутативной кривой, но для сингулярных кривых или гладких многомерных пространств некоммутативность позволяет создавать новые объекты.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ М. Артин, некоммутативные кольца

Ссылки [ править ]

М. Артин , Дж. Дж. Чжан, Некоммутативные проективные схемы, Успехи в математике 109 (1994), вып. 2, 228–287, дои .
Юрий И. Манин, Квантовые группы и некоммутативная геометрия, CRM, Монреаль, 1988.
Юрий Манин, Темы некоммутативной геометрии, 176 стр. Принстон, 1991.
А. Бондал, М. ван ден Берг, Генераторы и представимость функторов в коммутативной и некоммутативной геометрии, Московский математический журнал 3 (2003), вып. 1, 1–36.
А. Бондал, Д. Орлов, Реконструкция многообразия по производной категории и группам автоэквивалентностей, Compositio Mathematica 125 (2001), 327–344 doi.
Джон Фрэнсис, Выводная алгебраическая геометрия окончена ${\mathcal {E}}_{n}$ -Кольца
О. А. Лаудал, Некоммутативная алгебраическая геометрия, Rev. Хороший. Ибероамерикана 19, н. 2 (2003), 509-580; Евклид .
Фред Ван Ойстейен , Ален Вершорен, Некоммутативная алгебраическая геометрия, Springer Lect. Заметки по математике. 887, 1981.
Фред ван Ойстейен, Алгебраическая геометрия для ассоциативных алгебр, Марсель Деккер, 2000. vi+287 стр.
А.Л. Розенберг, Некоммутативная алгебраическая геометрия и представления квантованных алгебр, MIA 330, Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1995. xii+315 стр. ISBN 0-7923-3575-9
М. Концевич, А. Розенберг, Некоммутативные гладкие пространства, Гельфандовские математические семинары, 1996--1999, 85--108, Гельфанд Матем. Сем., Биркхойзер, Бостон, 2000 г.; arXiv:math/9812158
А. Л. Розенберг, Некоммутативные схемы, Compositio Mathematica 112 (1998) 93–125, doi ; Базовые пространства некоммутативных схем, препринт MPIM2003-111, dvi , ps ; ИИГС Лекция «Некоммутативные схемы и пространства» (февраль 2000 г.): видео
Пьер Габриэль, Абелевы категории, Бюллетень Математического общества Франции 90 (1962), стр. 323-448, нумдам
Зоран Шкода, Некоторые эквивариантные конструкции в некоммутативной алгебраической геометрии, Грузинский математический журнал 16 (2009), № 1, 183–202, arXiv:0811.4770 .
Дмитрий Орлов, Квазикогерентные пучки в коммутативной и некоммутативной геометрии, Изв. РАН. Сер. Матем., 2003, вып. 67, выпуск 3, 119–138 (версия препринта MPI dvi , ps )
М. Капранов, Некоммутативная геометрия, основанная на коммутаторных разложениях, Журнал чистой и прикладной математики 505 (1998), 73-118, math.AG/9802041 .

Дальнейшее чтение [ править ]

А. Бондал, Д. Орлов, Полуортогональное разложение алгебраических многообразий_, ПрепринтMPI/95–15, alg-geom/9506006
Томаш Мащик, Некоммутативная геометрия через моноидальные категории, math.QA/0611806
С. Маханта, О некоторых подходах к некоммутативной алгебраической геометрии, math.QA/0501166
Людмил Кацарков , Максим Концевич , Тони Пантев, Теоретические аспекты зеркальной симметрии Ходжа, arxiv/0806.0107
Дмитрий Каледин , Токийские лекции «Гомологические методы в некоммутативной геометрии», pdf , TeX ; и (похожие, но разные) лекции в Сеуле

Внешние ссылки [ править ]

[1] М. Артин, некоммутативные кольца

[1]