Плавная схема
В алгебраической геометрии над гладкой схемой полем называется схема , которая хорошо аппроксимируется аффинным пространством вблизи любой точки. Гладкость — это один из способов уточнить понятие схемы без особых точек. Особым случаем является понятие гладкого многообразия над полем. Гладкие схемы играют роль в алгебраической геометрии многообразий в топологии.
Определение
[ редактировать ]Во-первых, пусть X — аффинная схема конечного типа над полем k . Эквивалентно, X имеет замкнутое погружение в аффинное пространство A. н над k для некоторого натурального числа n . Тогда X — замкнутая подсхема, определяемая некоторыми уравнениями g 1 = 0, ..., g r = 0, где каждый находится gi в кольце многочленов k [ x 1 ,..., x n ]. Аффинная схема X является гладкой размерности m над k , если X имеет размерность не менее m в окрестности каждой точки, а матрица производных (∂ g i /∂ x j ) имеет ранг не менее n − m всюду на X . [1] (Отсюда следует, что X имеет размерность, равную m в окрестности каждой точки.) Гладкость не зависит от выбора погружения X в аффинное пространство.
Под условием на матрицу производных понимается, что замкнутое подмножество X , где все ( n - m ) × ( n - m ) миноры матрицы производных равны нулю, является пустым множеством. Эквивалентно, идеал в кольце полиномов, порожденный всеми и gi всеми этими минорами, является всем кольцом полиномов.
С геометрической точки зрения матрица производных (∂ g i /∂ x j ) в точке p в X дает линейное отображение F н → Ф р , где F — поле вычетов p . Ядро этого отображения называется касательным пространством Зарисского к X в точке p . Гладкость X означает, что размерность касательного пространства Зарисского равна размерности X вблизи каждой точки; в особой точке касательное пространство Зариского будет больше.
В более общем смысле, схема X над полем k является гладкой над k, если каждая точка X имеет открытую окрестность, которая является гладкой аффинной схемой некоторой размерности над k . В частности, гладкая схема над k локально имеет конечный тип .
Существует более общее понятие гладкого морфизма схем, который, грубо говоря, представляет собой морфизм с гладкими слоями. В частности, схема X гладкая над полем k тогда и только тогда, когда морфизм X → Spec k гладок.
Характеристики
[ редактировать ]Гладкая схема над полем регулярна и, следовательно, нормальна . гладкая схема над полем В частности, редуцируется .
Определим многообразие над полем k как целочисленную разделенную схему конечного типа над k . Тогда любая гладкая отделимая схема конечного типа над k является конечным дизъюнктным объединением гладких многообразий над k .
Для гладкого многообразия X над комплексными числами пространство X ( C ) комплексных точек X представляет собой комплексное многообразие , использующее классическую (евклидову) топологию. Аналогично, для гладкого многообразия X над действительными числами пространство X ( R ) действительных точек является вещественным многообразием , возможно, пустым.
Для любой схемы X , локально конечного типа над полем k , существует когерентный пучок Ω 1 дифференциалов на X . Схема X гладкая над k тогда и только тогда, когда Ω 1 — векторное расслоение ранга, равного размерности X вблизи каждой точки. [2] В этом случае Ω 1 называется расслоением X . кокасательным Касательное расслоение гладкой схемы над k можно определить как двойственное расслоение TX = (Ω 1 ) * .
Гладкость — геометрическое свойство что для любого расширения поля E поля k схема X является гладкой над k тогда и только тогда, когда схема X E := X × Spec k Spec E гладкая над E. , означающее , Для совершенного поля k схема X является гладкой над k только тогда, когда X локально имеет конечный тип над k и X регулярно тогда и .
Общая гладкость
[ редактировать ]Схема X называется гладкой в общем случае размерности n над k, если X содержит открытое плотное подмножество, гладкое размерности n над k . Всякое многообразие над совершенным полем (в частности, над алгебраически замкнутым полем) является генерически гладким. [3]
Примеры
[ редактировать ]- Аффинное пространство и проективное пространство — это гладкие схемы над полем k .
- Пример гладкой гиперповерхности в проективном пространстве P н над k — гиперповерхность Ферма x 0 д + ... + х н д = 0 для любого натурального d, обратимого по k .
- Примером сингулярной (негладкой) схемы над полем k является замкнутая подсхема x 2 = 0 в аффинной прямой A 1 более К.
- Примером сингулярного (негладкого) многообразия над k является кубическая кривая возврата x 2 = и 3 в аффинной плоскости A 2 , который является гладким вне начала координат ( x , y ) = (0,0).
- 0-мерное многообразие X над полем k имеет вид X = Spec E , где E — конечное поле расширения поля k . Многообразие X гладко над k тогда и только тогда, когда E — сепарабельное расширение k . Таким образом, если E не сепарабельна над k , то X — регулярная схема, но не гладкая над k . Например, пусть k — поле рациональных функций F p ( t ) для простого числа p , и пусть E = F p ( t 1/ п ); тогда Spec E — это многообразие размерности 0 над k , которое является регулярной схемой, но не гладкой над k .
- Многообразия Шуберта вообще не являются гладкими.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Определение гладкости, используемое в этой статье, эквивалентно определению гладкости Гротендика согласно теоремам 30.2 и теореме 30.3 в: Мацумура, Коммутативная теория колец (1989).
- ^ Теорема 30.3, Мацумура, Коммутативная теория колец (1989).
- ^ Лемма 1 в разделе 28 и следствие теоремы 30.5, Мацумура, Коммутативная теория колец (1989).
Ссылки
[ редактировать ]- Д. Гайцгори Заметки о плоскостности и гладкости на http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf.
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
- Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6 , МР 1011461