Глоссарий теории колец

Теория колец — это раздел математики , в котором кольца изучаются , то есть структуры, поддерживающие как операции сложения, так и операции умножения . Это глоссарий некоторых терминов по этой теме.

О предметах коммутативной алгебры (теории коммутативных колец) см. Глоссарий коммутативной алгебры . Теоретико-кольцевые концепции в языке модулей см. также в Глоссарии теории модулей .

О конкретных типах алгебр см. также: Глоссарий теории поля и Глоссарий групп и алгебр Ли . Поскольку в настоящее время не существует глоссария по необязательно ассоциативным алгебраическим структурам в целом, этот глоссарий включает некоторые понятия, которые не нуждаются в ассоциативности; например, вывод.

А

Комплекс Амицур

Комплекс Амицура гомоморфизма колец — это комплекс коцепей, который измеряет степень, в которой гомоморфизм колец не может быть строго плоским .

Артиниан

Лево- артиново кольцо — это кольцо, удовлетворяющее условию нисходящей цепи для левых идеалов; правое артиново кольцо — это кольцо, удовлетворяющее условию нисходящей цепи для правых идеалов. Если кольцо артиново одновременно слева и справа, оно называется артиновым . Артиновы кольца — это нётеровы кольца.

партнер

В коммутативном кольце элемент a называется ассоциированным элементом b, если a делит b и b делит a .

автоморфизм

Кольцевой автоморфизм — это кольцевой изоморфизм одного и того же кольца; другими словами, это единичный элемент кольца эндоморфизмов кольца, который является мультипликативным и сохраняет мультипликативную идентичность.

над Автоморфизм алгебры коммутативным кольцом R — это изоморфизм алгебр между одной и той же алгеброй; это кольцевой автоморфизм, который также является R -линейным.

Адзумая

Алгебра Адзумая — это обобщение центральной простой алгебры на неполевое базовое кольцо.

Б

двумерность

Биразмерность ассоциативной алгебры A над коммутативным кольцом R — это проективная размерность A как ( A ^на ⊗ _R A ) -модуль. Например, алгебра имеет нулевую двумерность тогда и только тогда, когда она сепарабельна.

логическое значение

— Булево кольцо это кольцо, в котором каждый элемент мультипликативно идемпотентен .

Брауэр

Группа Брауэра поля — это абелева группа, состоящая из всех классов эквивалентности центральных простых алгебр над полем.

С

категория

Категория колец — это категория, в которой объектами являются (все) кольца, а морфизмами являются (все) гомоморфизмы колец.

центр

1. Элемент r кольца R является центральным , если xr = rx для всех x из R . Набор всех центральных элементов R , как известное центр R. подкольцо образует

2. Центральная алгебра — это ассоциативная алгебра над центром.

3. Центральная простая алгебра — это центральная алгебра, которая также является простым кольцом.

централизатор

1. Централизатором подмножества S кольца называется подкольцо кольца, состоящее из элементов, коммутирующих с элементами S . Например, центратор кольца сам по себе является центром кольца.

2. Двойной централизатор множества есть централизатор централизатора множества. См. Теорема о двойном централизаторе .

характеристика

1. Характеристикой кольца является наименьшее целое положительное число n, для которого nx = 0 для всех элементов x кольца, если такое n существует. В противном случае характеристика равна 0.

2. Характеристическое подкольцо кольца R — это наименьшее подкольцо (т. е. единственное минимальное подкольцо). Он является образом единственного гомоморфизма колец Z → R изоморфен Z / n, где n — характеристика R. и, следовательно ,

изменять

Замена колец — это функтор (между соответствующими категориями), индуцированный гомоморфизмом колец.

Алгебра Клиффорда

Алгебра Клиффорда — это определенная ассоциативная алгебра, полезная в геометрии и физике.

последовательный

Лево- когерентное кольцо — это кольцо такое, что каждый его конечно порожденный левый идеал является конечно-представленным модулем; другими словами, он когерентен как левый модуль над собой.

коммутативный

1. Кольцо R коммутативно , если умножение коммутативно, т.е. = sr для всех r , s ∈ R. rs

2. Кольцо R называется косокоммутативным, если xy = (−1) ^{ε ( Икс ) ε ( y )} yx , где ε ( x ) обозначает четность элемента x .

3. Коммутативная алгебра — это ассоциативная алгебра, являющаяся коммутативным кольцом.

4. Коммутативная алгебра — это теория коммутативных колец.

Д

вывод

1. Дифференцированием возможно неассоциативной алгебры A над коммутативным кольцом R называется R -линейный эндоморфизм, удовлетворяющий правилу Лейбница .

2. Алгебра дифференцирования алгебры A — это подалгебра алгебры эндоморфизмов алгебры A , состоящая из дифференцирований.

дифференциал

— Дифференциальная алгебра это алгебра вместе с дифференцированием.

прямой

Прямое произведение семейства колец — это кольцо, заданное декартовым произведением данных колец и покомпонентным определением алгебраических операций.

делитель

1. В целостности R области Элемент a называется делителем элемента b (и мы говорим, что a делит b существует элемент x ), если в R с ax = b .

2. Элемент r из R является левым делителем нуля , если существует ненулевой элемент x в R такой, что rx = 0 , и правый делитель нуля , или если существует ненулевой элемент y в R такой, что yr = 0 . Элемент r из R называется двусторонним делителем нуля , если он одновременно является левым и правым делителем нуля.

разделение

Тело или тело — это кольцо, в котором каждый ненулевой элемент является единицей и 1 ≠ 0 .

домен

Домен — это ненулевое кольцо, не имеющее делителей нуля, кроме 0. По историческим причинам коммутативная область называется областью целостности .

И

эндоморфизм

Кольцо эндоморфизмов — это кольцо, образованное эндоморфизмами объекта с аддитивной структурой; умножение считается композицией функции , а ее сложение — поточечным сложением изображений.

обертывающая алгебра

(Универсальная) обертывающая алгебра E необязательно ассоциативной алгебры A — это ассоциативная алгебра, определенная A некоторым универсальным способом. Самый известный пример — универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли.

расширение

Кольцо E является кольцевым расширением кольца R если R — подкольцо E , .

внешняя алгебра

векторного Внешняя алгебра пространства или модуля V представляет собой фактор тензорной алгебры V по идеалу, порожденному элементами вида x ⊗ x .

Ф

поле

Поле ; — это коммутативное тело т. е. ненулевое кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

фильтрованное кольцо

– Фильтрованное кольцо это кольцо с фильтрацией.

конечно сгенерированный

1. Левый идеал I если конечно порождён, существует конечное число элементов a ₁ , ..., an _n таких, что I = Ra ₁ + ... + Ra _n . Правый идеал I если конечно порождён, существует конечное число элементов a ₁ , ..., an _n таких, что I = a ₁ R + ... an ₊ R . Двусторонний идеал I конечно порождён, если существует конечное число элементов a ₁ , ..., an _таких , что I = Ra ₁ R + ... + Ra _n R .

2. Конечно порожденным кольцом называется кольцо, конечно порожденное как Z -алгебра.

конечно представленный

над Конечно представимая алгебра коммутативным кольцом R — это (коммутативная) ассоциативная алгебра , которая является фактором кольца полиномов над R от конечного числа переменных по конечно порожденному идеалу .

бесплатно

1. Кольцо свободных идеалов или ель — это кольцо, в котором каждый правый идеал является свободным модулем фиксированного ранга.

2. Полудеревом называется кольцо, в котором каждый конечно порожденный правый идеал является свободным модулем фиксированного ранга.

3. Свободное произведение семейства ассоциативных — это ассоциативная алгебра, полученная, грубо говоря, образующими и отношениями алгебр в семействе. Это понятие зависит от того, какая категория ассоциативной алгебры рассматривается; например, в категории коммутативных колец свободное произведение является тензорным произведением.

4. Свободное кольцо — это кольцо, являющееся свободной алгеброй над целыми числами.

Г

оцененный

— Градуированное кольцо это кольцо с градуировкой или градуировкой; т. е. это прямая сумма аддитивных подгрупп с умножением, учитывающим градуировку. Например, кольцо многочленов — это градуированное кольцо по степеням многочленов.

генерировать

ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом R Говорят, что порождена подмножеством S кольца A, если наименьшая подалгебра, содержащая S, является A сама , а S называется порождающим множеством A . Если существует конечное порождающее множество, A называется конечно порожденной алгеброй .

ЧАС

наследственный

Кольцо называется наследственным слева , если все его левые идеалы являются проективными модулями. Правые наследственные кольца определяются аналогично.

я

идеальный

Левый идеал I группы R это аддитивная подгруппа группы R такая, что aI ⊆ I для всех a ∈ R. — Правый идеал — это подгруппа группы R такая, что ⊆ I для всех a ∈ R. Ia Идеал для (иногда называемый двусторонним идеалом акцентирования) — это подгруппа, которая является одновременно левым и правым идеалом.

идемпотент

Элемент r кольца идемпотентен, если r ² = р .

область целостности

« Целостная область » или « Все кольцо » — другое название коммутативной области ; т. е. ненулевое коммутативное кольцо без делителей нуля, кроме 0.

инвариант

Кольцо R имеет инвариантный базис, если R ^м изоморфен R ^н поскольку из R -модулей следует m = n .

нередуцируемый

Элемент x области целостности является неприводимым , если он не является единицей и для любых элементов a и b таких, что x = ab , либо a , либо b являются единицей. Обратите внимание, что каждый простой элемент неприводим, но не обязательно наоборот.

Дж

Джейкобсон

1. Радикал Джекобсона кольца есть пересечение всех максимальных левых идеалов.

2. Кольцо Джекобсона — это кольцо, в котором каждый простой идеал является пересечением примитивных идеалов.

К

ядро

Ядро таких , кольцевого гомоморфизма кольцевого гомоморфизма f : R → S — это множество всех элементов x из R что f ( x ) = 0 . Каждый идеал является ядром гомоморфизма колец и наоборот.

Кёте

Гипотеза Кете утверждает, что если кольцо имеет ненулевой нильний правый идеал, то оно имеет ненулевой нильний идеал.

л

местный

1. Кольцо с единственным максимальным левым идеалом является локальным кольцом . Эти кольца также имеют единственный максимальный правый идеал, причем левый и правый единственные максимальные идеалы совпадают. Некоторые коммутативные кольца можно вложить в локальные кольца посредством локализации в простом идеале .

2. Локализация кольца . Для коммутативных колец - метод преобразования заданного набора элементов кольца в единицы. Он называется «Локализация», потому что с его помощью можно превратить любое кольцо в локальное . Чтобы локализовать кольцо R , возьмите мультипликативно замкнутое подмножество S не содержащее делителей нуля , и формально определите их мультипликативные обратные, которые затем добавляются в R. , Локализация в некоммутативных кольцах более сложна и определяется несколькими различными способами.

М

минимальный и максимальный

1. Левый идеал M кольца R называется максимальным левым идеалом (соответственно минимальным левым идеалом), если он является максимальным (соответственно минимальным) среди собственных (соответственно ненулевых) левых идеалов. Аналогично определяются максимальные (соответственно минимальные) правые идеалы.

2. Максимальное подкольцо — это подкольцо, максимальное среди собственных подколец. «Минимальное подкольцо» можно определить аналогично; оно уникально и называется характеристическим подкольцом .

матрица

1. Кольцом матриц над кольцом R называется кольцо, элементами которого являются квадратные матрицы фиксированного размера с элементами R. из Кольцо матриц или полное кольцо матриц над R — это кольцо матриц состоящее из всех квадратных матриц фиксированного размера с элементами в R. , Когда грамматическая конструкция неработоспособна, термин «матричное кольцо» часто относится к «полному» матричному кольцу, когда контекст не вызывает путаницы; например, когда кто-то говорит, что полупростое кольцо является произведением матричных колец тел, неявно предполагается, что «матричные кольца» относятся к «полным матричным кольцам». Каждое кольцо (изоморфно) полному матричному кольцу над собой.

2. Кольцом матриц общего положения называется кольцо, состоящее из квадратных матриц с элементами в формальных переменных.

моноид

кольцо Моноидное .

Морита

Два кольца называются Морита-эквивалентными, если категория модулей над одним эквивалентна категории модулей над другим.

Н

приближается

— Близкое кольцо это структура, которая представляет собой группу при сложении и полугруппу при умножении, умножение которой распределяется справа от сложения.

ноль

1. Ниль-идеал — это идеал, состоящий из нильпотентных элементов.

2. (Бэровский) верхний ниль-радикал есть сумма всех ниль-идеалов.

3. Нижний (Бэровский) ниль-радикал есть пересечение всех простых идеалов. Для коммутативного кольца верхний ниль-радикал и нижний ниль-радикал совпадают.

нильпотентный

1. Элемент r из R нильпотентен , если существует целое натуральное число n такое, что r ^н = 0 .

2. Ниль-идеал — это идеал, элементы которого являются нильпотентными элементами.

3. Нильпотентный идеал — это идеал, мощность которого I ^к равно {0} для некоторого положительного целого числа k . Любой нильпотентный идеал равен нулю, но обратное, вообще говоря, неверно.

4. Нильрадикал коммутативного кольца — это идеал, состоящий из всех нильпотентных элементов кольца. Он равен пересечению всех простых идеалов кольца и содержится в радикале Джекобсона кольца, но, вообще говоря, не равен ему.

нетеровский

слева Нётерово кольцо — это кольцо, удовлетворяющее условию возрастающей цепи для левых идеалов. Правый нетерово определяется аналогично, и кольцо, которое является нётеровым как слева, так и справа, является нетеровым . Кольцо нётерово слева тогда и только тогда, когда все его левые идеалы конечно порождены; аналогично для правых нётеровых колец.

нулевой

нулевое кольцо : см. кольцо квадратного нуля .

ТО

противоположный

Учитывая кольцо R , противоположное ему кольцо R ^на имеет тот же базовый набор, что и R , операция сложения определяется как в R , но произведение s и r в R ^на is rs , а произведение sr в R .

заказ

Порядок . алгебры — это (примерно) подалгебра, которая также является полной решеткой

руда

Левая область Оре — это (некоммутативная) область, для которой набор ненулевых элементов удовлетворяет левому условию Оре. Правая область Оре определяется аналогично.

П

идеальный

кольцо слева Совершенное — это кольцо, удовлетворяющее условию нисходящей цепи на главных правых идеалах. Их также характеризуют как кольца, все плоские левые модули которых являются проективными модулями. Совершенные справа кольца определяются аналогично. Артинианские кольца идеальны.

полиномиальный

1. Кольцом полиномов над коммутативным кольцом R называется коммутативное кольцо, состоящее из всех многочленов от указанных переменных с коэффициентами из R .

2. Кольцо косых полиномов .

Даны кольцо R эндоморфизм σ ∈ End( R ) кольца R. и Кольцо косых полиномов R [ x ; σ ] определяется как множество { a _n x ^н + а _{н -1} х ^{п -1} + ... + а ₁ х + а ₀ | n ∈ N , a _n , a _{n −1} , ..., a ₁ , a ₀ ∈ R } , со сложением, определяемым как обычно, и умножением, определяемым соотношением xa = σ ( a ) x ∀ a ∈ R .

основной

1. Элемент x области целостности является простым элементом, если он не равен нулю и не единице и всякий раз, когда x делит произведение ab , x делит a или x делит b .

2. Идеал P в коммутативном кольце R является простым, если P ≠ R и если для всех a и b в R с ab в P мы имеем a в P или b в P . Любой максимальный идеал в коммутативном кольце прост.

3. Идеал P в (не обязательно коммутативном) кольце R является простым, если P ≠ R и для всех идеалов A и B кольца R из AB ⊆ P следует A ⊆ P или B ⊆ P . Это расширяет определение коммутативных колец.

4. простое кольцо : ненулевое кольцо R называется первичным кольцом , если для любых двух элементов a и b из R с aRb = 0 мы имеем либо a = 0 , либо b = 0 . Это эквивалентно утверждению, что нулевой идеал является простым идеалом (в некоммутативном смысле). Каждое простое кольцо и каждая область являются первичными кольцами.

примитивный

1. Левопримитивным кольцом называется кольцо, имеющее точный простой левый R -модуль . Каждое простое кольцо примитивно. Примитивные кольца просты .

2. Идеал I кольца R называется примитивным, если R / I примитивно.

главный

Главный идеал : Главный левый идеал в кольце R — это левый идеал формы Ra для некоторого a из R. элемента Главный правый идеал — это правый идеал вида aR для некоторого a из R. элемента Главный идеал — это двусторонний идеал вида RaR для некоторого элемента a из R .

главный

1. Областью главных идеалов называется область целостности, в которой каждый идеал является главным.

2. Кольцо главных идеалов — это кольцо, в котором каждый идеал является главным.

вопрос

квази-Фробениус

квазифробениусовое кольцо : особый тип артинова кольца, которое также является самоинъективным с обеих сторон. Каждое полупростое кольцо квазифробениусово.

Фактор-кольцо или фактор-кольцо : для данного кольца R и идеала I кольца R фактор -кольцо — это кольцо, образованное множеством R / I смежных классов { a + I : a ∈ R } вместе с операциями ( a + I ) + ( б + я ) = ( а + б ) + я и ( а + я ) ( б + я ) = аб + я . Связь между идеалами, гомоморфизмами и факторкольцами суммирована в основной теореме о гомоморфизмах .

Р

радикальный

Радикал идеала I в коммутативном кольце состоит из всех тех элементов кольца, степень которых лежит I. в Он равен пересечению всех простых идеалов, I. содержащих

кольцо

1. Множество R с двумя двоичными операциями , обычно называемыми сложением (+) и умножением (×), такими, что R — абелева группа при сложении, R — моноид при умножении, а умножение является как левым, так и правым дистрибутивом по сложению. Предполагается, что кольца имеют мультипликативную идентичность, если не указано иное. Аддитивное тождество обозначается 0, а мультипликативное тождество — 1. ( Предупреждение : в некоторых книгах, особенно старых, термин «кольцо» используется для обозначения того, что здесь будет называться rng ; т. е. они не требуют, чтобы кольцо имело мультипликативное тождество.)

2. Кольцевой гомоморфизм : функция f : R → S между кольцами ( R , +, ∗) и ( S , ⊕, ×) является кольцевым гомоморфизмом, если она удовлетворяет условию

ж ( а + б ) знак равно ж ( а ) ⊕ ж ( б )

ж ( а * б ) знак равно ж ( а ) × ж ( б )

ж (1) = 1

для всех элементов a и b из R .

3. Кольцевой изоморфизм . Кольцевой гомоморфизм, который является биективным, является кольцевым изоморфизмом . Обратный к кольцевому изоморфизму также является кольцевым изоморфизмом. Два кольца изоморфны , если между ними существует кольцевой изоморфизм. Изоморфные кольца можно рассматривать как одинаковые, только с разными метками на отдельных элементах.

звонок

1. ГСГ — это множество R с двумя бинарными операциями , обычно называемыми сложением (+) и умножением (×), такое, что ( R , +) — абелева группа , ( R , ×) — моноид , а умножение — оба левое и правое дистрибутивы над сложением. Кольцо, имеющее элемент идентификации , является «кольцом » .

2. ГСЧ с квадратным нулем — это гСГ , в которой xy = 0 для всех x и y .

С

самоинъекционный

Кольцо R самоинъективно слева , если модуль _R R является инъективным модулем . Хотя кольца с единицей всегда проективны как модули, они не всегда инъективны как модули.

полуидеальный

— Полусовершенное кольцо это кольцо R такое, что для радикала Джекобсона J( R ) кольца R (1) R /J( R ) полупросто и (2) идемпотенты поднимаются по модулю J( R ).

полупервичный

— Полупримарное кольцо это кольцо R такое, что для радикала Джекобсона J( R ) кольца R (1) R /J( R ) полупросто и (2) J( R ) — нильпотентный идеал .

полупервичный

1. Полупервичным кольцом называется кольцо, единственным нильпотентным идеалом которого является тривиальный идеал {0}. Коммутативное кольцо полупервично тогда и только тогда, когда оно приведено.

2. Идеал I кольца R называется полупервичным , если для любого идеала A кольца R , A ^н ⊆ I подразумевает A ⊆ I . Эквивалентно, I полупервично тогда и только тогда, когда R / I — полупервичное кольцо.

полупримитивный

или Полупримитивное кольцо полупростое кольцо Джекобсона — это кольцо, радикал Джекобсона которого равен нулю. Регулярные кольца фон Неймана и примитивные кольца полупримитивны, однако квазифробениусовы кольца и локальные кольца обычно не полупримитивны.

полукольцо

Полукольцо : алгебраическая структура , удовлетворяющая тем же свойствам, что и кольцо, за исключением того, что сложение должно быть только абелевой моноидной операцией, а не абелевой групповой операцией. То есть элементы полукольца не обязательно должны иметь аддитивные обратные.

полупростой

— Полупростое кольцо это артиново кольцо R , являющееся конечным произведением простых артиновых колец; другими словами, это полупростой левый R -модуль.

отделимый

Сепарабельная алгебра — это ассоциативная алгебра, тензорный квадрат которой допускает идемпотент сепарабельности .

сериал

Право- последовательное кольцо — это кольцо, которое является правым последовательным модулем над самим собой.

Севери-Брауэр

Многообразие Севери–Брауэра — это алгебраическое многообразие, ассоциированное с данной центральной простой алгеброй.

простой

1. Простое кольцо — ненулевое кольцо, имеющее только тривиальные двусторонние идеалы (нулевой идеал, само кольцо и не более), — простое кольцо .

2. Простая алгебра — это ассоциативная алгебра, представляющая собой простое кольцо.

сингулярный подмодуль

Правый (соответственно левый) R - модуль M имеет сингулярный подмодуль , если он состоит из элементов, аннуляторами которых являются существенные правые (соответственно левые) идеалы в R . В обозначениях множеств его обычно обозначают как Z ( M ) = { m ∈ M | энн( м ) ⊆ _е р } .

подкольцо

Подкольцо — это подмножество S кольца ( R , +, ×) , которое остаётся кольцом, когда + и × ограничиваются S и содержит мультипликативную единицу 1 кольца R. ,

симметричная алгебра

1. Симметричная алгебра векторного пространства или модуля V — это фактор тензорной алгебры V по идеалу, порожденному элементами вида x ⊗ y − y ⊗ x .

2. Градуированно-симметричная алгебра векторного пространства или модуля V — вариант симметрической алгебры, построенный с учетом градуировки.

Домен Сильвестра

Домен Сильвестра — это кольцо, в котором действует закон недействительности Сильвестра .

Т

тензор

Тензорная алгебра произведений ассоциативных алгебр — это тензорное произведение алгебр как модулей с умножением компонентов.

Тензорная алгебра векторного пространства или модуля V представляет собой прямую сумму всех тензорных степеней V. ^{⊗ n} с умножением, заданным тензорным произведением.

тривиальный

1. Тривиальным идеалом является либо нулевой, либо единичный идеал.

2. Тривиальным кольцом или нулевым кольцом называется кольцо, состоящее из одного элемента 0 = 1 .

В

единица

единица или обратимый элемент : элемент r кольца R является единицей , если существует элемент r ⁻¹ такое, что рр ⁻¹ = р ⁻¹ р = 1 . Этот элемент р ⁻¹ однозначно определяется r называется мультипликативным обратным r и . Набор единиц образует группу при умножении.

единство

Термин «единство» — другое название мультипликативной идентичности.

уникальный

Уникальная область факторизации или факториальное кольцо — это область целостности R, в которой каждый ненулевой неединичный элемент может быть записан как произведение элементов R простых .

однорядный

Цепное справа кольцо — это кольцо, которое является цепным справа модулем над самим собой. Коммутативное однорядное кольцо также называют кольцом нормирования .

V

регулярный элемент фон Неймана

1. Регулярный элемент фон Неймана : элемент r кольца R является регулярным по фон Нейману, если существует элемент x кольца R такой, что r = rxr .

2. Регулярное кольцо фон Неймана : кольцо, в котором каждый элемент a может быть выражен как a = axa для другого элемента x в кольце. Полупростые кольца регулярны по фон Нейману.

В

Теорема Веддерберна – Артина

Теорема Веддерберна – Артина утверждает, что полупростое кольцо представляет собой конечное произведение (полных) матричных колец над телами.

С

ноль

Нулевое кольцо : Кольцо, состоящее только из одного элемента 0 = 1 , также называемое тривиальным кольцом . Иногда «нулевое кольцо» используется в альтернативном смысле для обозначения кольца квадратного нуля .

См. также

• Глоссарий теории модулей

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN  0-387-97845-3 , МР   1245487
• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 20 . дои : 10.1007/bf02684747 . МР   0173675 .
• Джейкобсон, Натан (1956), Структура колец , Публикации коллоквиума, том. 37, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-1037-8
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра 1 (2-е изд.), Дувр
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра 2 (2-е изд.), Дувр