Глоссарий теории модулей

Теория модулей — это раздел математики, в котором модули изучаются . Это глоссарий некоторых терминов по этой теме.

См. также: Глоссарий линейной алгебры , Глоссарий теории колец , Глоссарий теории представлений .

А

алгебраически компактный

Алгебраически компактный модуль (также называемый чисто инъективным модулем ) — это модуль, в котором все системы уравнений могут быть решены финитными средствами. Альтернативно, те модули, которые оставляют чисто точную последовательность после применения Hom.

аннигилятор

1. Уничтожитель левых $R$-модуль $M$ это набор ${\textrm {Ann}}(M):=\{r\in R~|~rm=0\,\forall m\in M\}$. Это (левый идеал ) $R$.

2. Аннигилятор элемента $m\in M$ это набор ${\textrm {Ann}}(m):=\{r\in R~|~rm=0\}$.

Артиниан

— Артинов модуль это модуль, в котором каждая убывающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.

связанное простое число

1. связанное простое число

автоморфизм

Автоморфизм , — это эндоморфизм который также является изоморфизмом.

Адзумая

Теорема Адзумая утверждает, что два разложения в модули с локальными кольцами эндоморфизмов эквивалентны.

Б

сбалансированный

сбалансированный модуль

основа

Основа модуля $M$ представляет собой совокупность элементов $M$ такой, что каждый элемент модуля может быть выражен как конечная сумма элементов базиса единственным способом.

Бовиль – Ласло

Теорема Бовилля – Ласло

большой

«большой» обычно означает «не обязательно конечно сгенерированный».

бимодуль

бимодуль

С

канонический модуль

канонический модуль (термин «канонический» происходит от канонического делителя )

категория

Категория модулей над кольцом — это категория, в которой объектами являются все (скажем) левые модули над данным кольцом и гомоморфизмы модулей морфизмов.

характер

модуль персонажа

цепной комплекс

цепной комплекс (часто просто комплекс)

закрытый подмодуль

Модуль называется закрытым подмодулем, если он не содержит какого-либо существенного расширения .

Коэн-Маколей

Модуль Коэна – Маколея

последовательный

— Когерентный модуль это конечно порожденный модуль, конечно порожденные подмодули которого конечно определены .

коядро

Коядро . гомоморфизма модулей — это кодобласть, факторизованная по образу

компактный

Компактный модуль

полностью сокращаемый

Синоним « полупростого модуля ».

завершение

завершение модуля

состав

Серия композиций Джордана Гёльдера

непрерывный

непрерывный модуль

счетно генерируемый

— Счетно-порожденный модуль это модуль, допускающий порождающий набор, мощность которого не более чем счетна.

циклический

Модуль называется циклическим, если он порождается одним элементом.

Д

Д

D -модуль — это модуль над кольцом дифференциальных операторов.

разложение

Декомпозиция модуля — это способ выразить модуль как прямую сумму подмодулей.

плотный

плотный субмодуль

определитель

Определителем r конечного свободного модуля над коммутативным кольцом является r -я внешняя степень модуля, когда — его ранг.

дифференциал

Дифференциальный градуированный модуль или dg-модуль — это градуированный модуль с дифференциалом.

прямая сумма

Прямая сумма модулей — это модуль, который является прямой суммой базовой абелевой группы вместе с покомпонентным скалярным умножением.

двойной модуль

Двойственным модулем модуля M над коммутативным кольцом R называется модуль $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$.

двойственный

модуль дуализации

Дринфельд

Модуль Дринфельда — это модуль над кольцом функций на алгебраической кривой с коэффициентами из конечного поля.

Э

Эйленберг-Мазур

Афера Эйленберга-Мазура

элементарный

элементарный делитель

эндоморфизм

1. Эндоморфизм — это гомоморфизм модулей модуля в себя.

2. Кольцом эндоморфизмов называется совокупность всех гомоморфизмов модулей со сложением как сложением функций и умножением композиции функций.

достаточно

достаточно инъекций

достаточно проектов

существенный

данного модуля M существенным подмодулем N Для M является подмодуль, который ненулевой подмодуль нетривиально пересекает.

точный

точная последовательность

Внешний оператор

Внешний оператор

расширение

Расширение скаляров использует гомоморфизм колец из R в S для преобразования R -модулей в S -модули.

Ф

верный

модуль Верный $M$ это тот, где действие каждого ненулевого $r\in R$ на $M$ нетривиально (т.е. $rx\neq 0$ для некоторых $x$ в $M$). Эквивалентно, ${\textrm {Ann}}(M)$ является нулевым идеалом.

конечный

Термин « конечный модуль » — это другое название конечно порожденного модуля .

конечная длина

Модуль конечной длины — это модуль, допускающий (конечный) композиционный ряд.

конечное представление

1. Конечное свободное представление модуля M — это точная последовательность $F_{1}\to F_{0}\to M$ где $F_{i}$ являются конечно порожденными свободными модулями.

2. Конечно-представленный модуль — это модуль, допускающий конечное свободное представление .

конечно сгенерированный

Модуль $M$ конечно порождено , если существует конечное число элементов $x_{1},...,x_{n}$ в $M$ так, что каждый элемент $M$ представляет собой конечную линейную комбинацию этих элементов с коэффициентами из скалярного кольца $R$.

примерка

1. идеально подходит

2. Лемма Фиттинга.

пять

Пять лемм

плоский

А $R$-модуль $F$ называется плоским модулем , если тензорного произведения функтор $-\otimes _{R}F$ это точно .
В частности, всякий проективный модуль плоский.

бесплатно

— Свободный модуль это модуль, имеющий базис или, что то же самое, изоморфный прямой сумме копий скалярного кольца. $R$.

взаимность Фробениуса

Фробениусовская взаимность .

Г

Галуа

Модуль Галуа — это модуль над групповым кольцом группы Галуа.

генераторная установка

Подмножество модуля называется порождающим набором модуля, если подмодуль, созданный этим набором (т. е. наименьшее подмножество, содержащее этот набор), представляет собой сам весь модуль.

Глобальный

глобальное измерение

оцененный

Модуль $M$ над градуированным кольцом $A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ является оцениваемым модулем , если $M$ можно выразить в виде прямой суммы $\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i}$ и $A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}$.

Х

Коэффициент Эрбрана

Фактор Эрбрана гомоморфизма модулей — это еще один термин, обозначающий индекс.

Гильберт

1. Теорема о сизигиях Гильберта.

2. Ряд Гильберта–Пуанкаре градуированного модуля.

3. Теорема Гильберта–Серра показывает, когда ряд Гильберта–Пуанкаре является рациональной функцией.

гомологическое измерение

гомологическое измерение

гомоморфизм

На двоих осталось $R$-модули $M_{1},M_{2}$, групповой гомоморфизм $\phi :M_{1}\to M_{2}$ называется гомоморфизмом $R$-модули , если $r\phi (m)=\phi (rm)\,\forall r\in R,m\in M_{1}$ .

Ему

Я работаю мужчиной

Я

идемпотент

Идемпотент . — это эндоморфизм, квадрат которого равен самому себе

неразложимый

Неразложимым модулем называется ненулевой модуль, который нельзя записать в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей. Любой простой модуль неразложим (но не наоборот).

индекс

Индекс эндоморфизма $f:M\to M$ в чем разница $\operatorname {length} (\operatorname {coker} (f))-\operatorname {length} (\operatorname {ker} (f))$, когда коядро и ядро $f$ имеют конечную длину.

инъективный

1. А $R$-модуль $Q$ называется инъективным модулем , если задан $R$-модульный гомоморфизм $g:X\to Q$и инъективное $R$-модульный гомоморфизм $f:X\to Y$, существует $R$-модульный гомоморфизм $h:Y\to Q$ такой, что $f\circ h=g$.

Модуль Q инъективен, если диаграмма коммутирует

Следующие условия эквивалентны:

• Контравариантный оператор ${\textrm {Hom}}_{R}(-,I)$ это точно .
• $I$ является инъективным модулем.
• Каждая короткая точная последовательность $0\to I\to L\to L'\to 0$ разделен.

2. Инъективная оболочка (также называемая инъективной оболочкой) — это максимальное существенное расширение или минимальное вложение в инъективный модуль.

3. Инъективный когенератор — это инъективный модуль, в каждый модуль которого входит ненулевой гомоморфизм.

инвариант

инварианты

обратимый

Обратимый модуль над коммутативным кольцом — это конечный проективный модуль ранга один.

неприводимый модуль

Другое название простого модуля .

изоморфизм

Изоморфизм модулей — это обратимый гомоморфизм модулей.

Я

Джейкобсон

теорема плотности

Редактировать

Дифференциалы Кэлера

Дифференциалы Кэлера

Капланский

Теорема Капланского о проективном модуле утверждает, что проективный модуль над локальным кольцом свободен.

ядро

Ядро гомоморфизма модулей — это прообраз нулевого элемента.

Рубашка комплексная

Рубашка комплексная

Крулль – Шмидт

Теорема Крулля – Шмидта гласит, что (1) модуль конечной длины допускает неразложимое разложение и (2) любые два его неразложимых разложения эквивалентны.

Л

длина

Длина модуля — это общая длина любой композиционной серии модуля; длина бесконечна, если нет композиционного ряда. Длина поля более известна как размерность .

линейный

1. Линейное отображение — это еще один термин, обозначающий гомоморфизм модулей .

2. Линейная топология.

локализация

Локализация модуля преобразует R в S модули где S — локализация R. , модули

М

Модуль Матлис

Модуль Матлис

Теорема вложения Митчелла

Теорема вложения Митчелла

Миттаг-Леффлер

Условие Миттаг-Леффлера (ML)

модуль

1. Левый модуль $M$ по рингу $R$ это абелева группа $(M,+)$ с операцией $R\times M\to M$ (называемое скалярным умножением) удовлетворяет следующему условию:

$\forall r,s\in R,\forall m,n\in M$,

1. $r(m+n)=rm+rn$
2. $r(sm)=(rs)m$
3. $1_{R}\,m=m$

2. Правый модуль $M$ по рингу $R$ это абелева группа $(M,+)$ с операцией $M\times R\to M$ удовлетворяет следующему условию:

$\forall r,s\in R,\forall m,n\in M$,

1. $(m+n)r=mr+nr$
2. $(ms)r=r(sm)$
3. $m1_{R}=m$

3. Все модули вместе со всеми модульными гомоморфизмами между ними образуют категорию модулей .

спектр модуля

– Спектр модуля это спектр с действием кольцевого спектра.

Н

нильпотентный

— Нильпотентный эндоморфизм это эндоморфизм, некоторая степень которого равна нулю.

нетеровский

— Нётеров модуль это модуль, каждый подмодуль которого конечно порождён. Эквивалентно, каждая возрастающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.

нормальный

нормальные формы для матриц

П

идеальный

1. идеальный комплекс

2. идеальный модуль

главный

Главный неразложимый модуль — это циклический неразложимый проективный модуль.

начальный

основной субмодуль

проективный

Характерное свойство проективных модулей называется подъемом .

А $R$-модуль $P$ называется проективным модулем , если задан $R$-модульный гомоморфизм $g:P\to M$и сюръектив $R$-модульный гомоморфизм $f:N\to M$, существует $R$-модульный гомоморфизм $h:P\to N$ такой, что $f\circ h=g$.

Следующие условия эквивалентны:

• Ковариантный функтор ${\textrm {Hom}}_{R}(P,-)$ это точно .
• $M$ является проективным модулем.
• Каждая короткая точная последовательность $0\to L\to L'\to P\to 0$ разделен.
• $M$ является прямым слагаемым свободных модулей.

В частности, каждый свободный модуль проективен.

2. Проективная размерность модуля — это минимальная длина (если таковая имеется) конечной проективной резольвенты модуля; размерность бесконечна, если не существует конечного проективного разрешения.

3. Проективное накрытие — минимальная сюръекция проективного модуля.

чистый субмодуль

чистый субмодуль

Вопрос

Теорема Квиллена – Суслина

Теорема Квиллена–Суслина утверждает, что конечный проективный модуль над кольцом многочленов свободен.

частное

Учитывая левую $R$-модуль $M$ и субмодуль $N$, факторгруппа $M/N$ можно сделать левым $R$-модуль по $r(m+N)=rm+N$ для $r\in R,\,m\in M$. Его называют фактором-модулем или фактором-модулем .

Р

радикальный

Радикал модуля — это пересечение максимальных подмодулей. Для артиновских модулей — наименьший подмодуль с полупростым фактором.

рациональный

рациональная каноническая форма

рефлексивный

— Рефлексивный модуль это модуль, изоморфный через естественное отображение своему второму двойственному модулю.

разрешение

разрешение

ограничение

Ограничение скаляров использует гомоморфизм колец из R в S для преобразования S -модулей в R -модули.

С

Шануэль

Лемма Шануэля

Шур

Лемма Шура утверждает, что кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом.

Шапиро

Лемма Шапиро

связка модулей

связка модулей

змея

змеиная лемма

подвал

Цоколь — самый крупный полупростой подмодуль.

полупростой

— Полупростой модуль это прямая сумма простых модулей.

простой

— Простой модуль это ненулевой модуль, единственными подмодулями которого являются ноль и он сам.

Смит

Смит, нормальная форма

стабильно бесплатно

модуль Стабильно бесплатный

структурная теорема

Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов гласит, что конечно порожденные модули над PID представляют собой конечные прямые суммы примарных циклических модулей.

субмодуль

Учитывая $R$-модуль $M$, аддитивная подгруппа $N$ из $M$ является подмодулем, если $RN\subset N$.

поддерживать

Носителем модуля над коммутативным кольцом называется множество простых идеалов, на которых локализации модуля отличны от нуля.

Т

тензор

Тензорное произведение модулей

топологический

Топологический модуль

Тор

Тор работает

без кручения

модуль без кручения

без кручения

безкрутильный модуль

У

униформа

Равномерный модуль — это модуль, в котором каждые два ненулевых подмодуля имеют ненулевое пересечение.

В

слабый

слабое измерение

От

нуль

1. Нулевой модуль – модуль, состоящий только из нулевого элемента.

2. Гомоморфизм нулевого модуля — это гомоморфизм модулей, который переводит каждый элемент в ноль.

Ссылки

• Джон А. Бичи (1999). Вводные лекции по кольцам и модулям (1-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN  0-521-64407-0 .
• Голан, Джонатан С.; Хед, Том (1991), Модули и структура колец , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, том. 147, Марсель Деккер, ISBN  978-0-8247-8555-0 , МР   1201818
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, вып. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-98428-5 , МР   1653294
• Серж Ланг (1993). Алгебра (3-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-55540-9 .
• Пассман, Дональд С. (1991), Курс теории колец , Серия математики Уодсворта и Брукса / Коула, Пасифик Гроув, Калифорния: Wadsworth & Brooks / Cole Advanced Books & Software, ISBN  978-0-534-13776-2 , МР   1096302