Подходит идеально

В коммутативной алгебре идеалы Фиттинга над конечно порожденного модуля коммутативным кольцом описывают препятствия к порождению модуля заданным числом элементов. Их представил Ганс Фиттинг ( 1936 ).

Определение

Если M — конечно порожденный модуль над коммутативным кольцом R, порожденным элементами m ₁ ,..., m _nс отношениями

a_{j1}m_{1}+\cdots +a_{jn}m_{n}=0\ ({\text{for }}j=1,2,\dots )

тогда i- й подходящий идеал $\operatorname {Fitt} _{i}(M)$ матрицы M порождается минорами (определителями подматриц) порядка $n-i$ матрицы $a_{jk}$ . Идеалы Фиттинга не зависят от выбора образующих и M. соотношений

Некоторые авторы определили идеал Фиттинга. $I(M)$ быть первым ненулевым Фиттинг-идеалом $\operatorname {Fitt} _{i}(M)$ .

Характеристики

Идеалы подгонки растут

\operatorname {Fitt} _{0}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{1}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{2}(M)\subseteq \cdots

Если M может быть порождено n элементами, то Fitt _n ( M ) = R , а если R локально, то верно обратное. У нас есть Fitt ₀ ( M ) ⊆ Ann( M ) (аннулятор M ) и Ann( M ) Fitt _i ( M ) ⊆ Fitt _{i −1} ( M ), поэтому, в частности, если M может быть порождено n элементами, то Энн( М ) ^н ⊆ Фитт ₀ ( М ).

Примеры

Если M не имеет ранга n, то идеалы Фиттинга $\operatorname {Fitt} _{i}(M)$ равны нулю для i < n и R для i ≥ n .

Если M — конечная абелева группа порядка $|M|$ (рассматривается как модуль над целыми числами), то идеал Фиттинга $\operatorname {Fitt} _{0}(M)$ это идеал $(|M|)$ .

Полином Александера узла является генератором идеала Фиттинга первых гомологий бесконечного абелева накрытия дополнения к узлу.

Подходящее изображение

Нулевой идеал Фиттинга можно также использовать для того, чтобы дать вариант понятия теоретико -схемного образа морфизма, вариант, который хорошо ведет себя в семействах. В частности, для конечного морфизма нётеровых схем $f\colon X\rightarrow Y$ , ${\mathcal {O}}_{Y}$ -модуль $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ является когерентным , поэтому мы можем определить $\operatorname {Fitt} _{0}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X})$ как связный пучок ${\mathcal {O}}_{Y}$ -идеалы; соответствующая замкнутая подсхема $Y$ называется образом f . подходящим ^[1]^{[ нужна ссылка ]}