Глоссарий теории представлений

Это глоссарий теории представлений в математике .

Термин «модуль» часто используется как синоним представления; терминологию теории модулей см. также в глоссарии теории модулей .

См. также Глоссарий групп Ли и алгебр Ли , список тем теории представлений и категорию: Теория представлений .

Обозначения : Пишем $\mathbb {G} _{m}=GL_{1}$. Так, например, однопредставление (т. е. характер) группы G имеет вид $\chi :G\to \mathbb {G} _{m}$.

А

Адамс

Операции Адамса .

помощник

Присоединенное представление группы Ли G — это представление, заданное присоединенным действием группы G на алгебре Ли группы G (присоединенное действие получается, грубо говоря, путем дифференцирования действия сопряжения.)

допустимый

Представление вещественной редуктивной группы называется допустимым, если (1) максимальная компактная подгруппа K действует как унитарные операторы и (2) каждое неприводимое представление группы K имеет конечную кратность.

чередование

Знак знака V представляет собой подпредставление $\operatorname {Alt} ^{2}(V)$ второй тензорной степени $V^{\otimes 2}=V\otimes V$.

искусство

1. Эмиль Артин .

2. Теорема Артина о индуцированных характерах утверждает, что характер конечной группы является рациональной линейной комбинацией характеров, индуцированных циклическими подгруппами.

3. Артиновское представление используется в определении артиновского дирижера .

автоморфный

автоморфное представление

Б

Теорема Бореля–Вейля–Ботта.

Над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики теорема Бореля–Вейля–Ботта реализует неприводимое представление редуктивной алгебраической группы как пространства глобальных сечений линейного расслоения на многообразии флагов. (В случае положительной характеристики конструкция дает только модули Вейля , которые не могут быть неприводимыми.)

ветвление

правило ветвления

Брауэр

Теорема Брауэра о индуцированных характерах утверждает, что характер конечной группы представляет собой линейную комбинацию с целыми коэффициентами характеров, индуцированных из элементарных подгрупп.

С

Теория Картана – Вейля

Другое название теории представлений полупростых алгебр Ли .

элемент Казимира

Элемент Казимира — это выделенный элемент центра универсальной обертывающей алгебры Ли.

категория представлений

Представления и эквивариантные отображения между ними образуют категорию представлений .

характер

1. Персонаж — это одномерное представление.

2. Характером конечномерного представления π является функция $g\mapsto \operatorname {tr} \pi (g)$. Другими словами, это композиция $G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\operatorname {tr} }{\to }}\mathbb {G} _{m}$.

3. Неприводимый характер (соответственно тривиальный характер ) — это характер неприводимого представления (соответственно тривиального представления).

4. Группа характеров группы G — это группа всех характеров группы G ; а именно, $\operatorname {Hom} (G,\mathbb {G} _{m})$.

5. Кольцо характеров — это групповое кольцо (над целыми числами) группы характеров G .

6. Виртуальный персонаж — элемент кольца символов.

7. Характер распределения может быть определен для бесконечномерного представления.

8. Бесконечно малый характер .

Шевалле

1. Шевалле

2. Генераторы Шевалле.

3. Группа Шевалле .

4. Ограничительная теорема Шевалле .

функция класса

Функция класса f в группе G — это функция такая, что $f(g)=f(hgh^{-1})$; это функция классов сопряженности.

кластерная алгебра

Кластерная алгебра — это область целостности с некоторой комбинаторной структурой образующих, введенная в попытке систематизировать понятие двойственного канонического базиса .

сопряженный

Коприсоединенное представление — это двойственное представление присоединенного представления.

полный

«полностью приводимый» — это еще один термин, обозначающий «полупростой».

сложный

1. Комплексное представление — это представление G в комплексном векторном пространстве. Многие авторы называют сложные представления просто представлениями.

2. Комплексно-сопряженный ${\overline {V}}$ комплексного представления V — это представление с той же основной аддитивной группой V с линейным действием G, но с действием комплексного числа посредством комплексного сопряжения.

3. Комплексное представление называется самосопряженным, если оно изоморфно своему комплексно-сопряженному.

дополнительный

Дополнительным представлением к подпредставлению W представления V является представление W ' такое, что V является прямой суммой W и W ' .

возвратный

каспидальное представительство

кристалл

кристаллическая основа

циклический

Циклический G -модуль — это G -модуль, порожденный одним вектором. Например, неприводимое представление обязательно циклическое.

Д

Дедекинд

Теорема Дедекинда о линейной независимости характеров .

определено более

Учитывая расширение поля $K/F$представление V группы G над K называется определенным над F, если $V\simeq V_{0}\otimes _{F}K$ для некоторого представления $V_{0}$ над F такой, что $g:V\to V$ индуцируется $g:V_{0}\to V_{0}$; то есть, $g\cdot (v\otimes \lambda )=gv\otimes \lambda$. Здесь, $V_{0}$ называется F -формой V (и не обязательно единственно).

Демазюр

Формула характера Демазюра

прямая сумма

Прямая сумма представлений V , W — это представление, являющееся прямой суммой $V\oplus W$ векторных пространств вместе с действием линейной группы $\pi _{V\oplus W}(g)(v+w)=\pi _{V}(g)v+\pi _{W}(g)w$.

дискретный

Говорят , что неприводимое представление группы Ли G находится в дискретной серии , если все ее матричные коэффициенты интегрируемы с квадратом. Например, если G компактна, то каждое ее неприводимое представление находится в дискретной серии.

доминирующий

Неприводимые представления односвязной компактной группы Ли индексируются по их старшему весу. Эти доминирующие веса образуют точки решетки в ортанте в решетке весов группы Ли.

двойной

1. Двойственное представление (или контрагредиентное представление) представления V — это представление, которое является двойственным векторным пространством. $V^{*}=\operatorname {Hom} (V,k)$ вместе с действием линейной группы, сохраняющим естественное спаривание $V^{*}\times V\to k$

2. Двойственный канонический базис есть двойственный каноническому базису Люстига .

Э

Эйзенштейн

серия Эйзенштейна

эквивариантный

Термин « G -эквивариантный» является другим термином для « G -линейного».

экстерьер

Внешняя степень представления V — это представление $\wedge ^{n}(V)$ с групповым действием, индуцированным $V^{\otimes n}\to \wedge ^{n}(V)$.

Ф

верный

Верное представление $\pi :G\to GL(V)$ такое представление, что $\pi$ инъективна как функция .

оптоволоконный оператор

оптоволоконный оператор

взаимность Фробениуса

Взаимность Фробениуса утверждает, что для каждого представления $\sigma$ H и представление $\pi$ группы G существует биекция

$\operatorname {Hom} _{G}(\pi ,\operatorname {Ind} _{H}^{G}\sigma )=\operatorname {Hom} _{H}(\pi |_{H},\sigma )$

это естественно в том смысле, что $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ является правосопряженным функтором функтору ограничения $\pi \mapsto \pi |_{H}$.

фундаментальный

Фундаментальное представление : для неприводимых представлений односвязной компактной группы Ли существует набор фундаментальных весов , индексированных вершинами диаграммы Дынкина группы G, такой, что доминирующие веса представляют собой просто неотрицательные целочисленные линейные комбинации фундаментальных весов. .Соответствующие неприводимые представления являются фундаментальными представлениями группы Ли. В частности, из разложения доминирующего веса с точки зрения фундаментальных весов можно взять соответствующее тензорное произведение фундаментальных представлений и извлечь одну копию неприводимого представления, соответствующую этому доминирующему весу.В случае специальной унитарной группы SU ( n ) n - 1 фундаментальных представлений представляют собой клиновые произведения

$Alt^{k}\ {\mathbb {C} }^{n}$

состоящий из знакопеременных тензоров , для k=1,2,...,n-1.

Г

G -линейный

карта G -линейная $f:V\to W$ между представлениями — линейное преобразование, коммутирующее с G -действиями; то есть, $f\circ \pi _{V}(g)=\pi _{W}(g)\circ f$ для каждого g в G .

G -модуль

Другое название представительства. Это позволяет использовать теоретико-модульную терминологию: например, тривиальный G -модуль, G -подмодули и т. д.

G -эквивариантное векторное расслоение

G — -эквивариантное векторное расслоение это векторное расслоение $p:E\to X$ в G -пространстве X вместе с G -действием на E (скажем, вправо) таким, что $g:p^{-1}(x)\to p^{-1}(xg)$ является четко определенным линейным отображением.

хороший

Хорошей фильтрацией представления редуктивной группы G является фильтрация такая, что факторы изоморфны $H^{0}(\lambda )=\Gamma (G/B,L_{\lambda })$ где $L_{\lambda }$ — это линейные расслоения на многообразии флагов $G/B$.

Х

Хариш-Чандра

1. Хариш-Чандра (11 октября 1923 – 16 октября 1983), американский математик индийского происхождения.

2. Теорема Хариш-Чандры Планшереля .

самый высокий вес

1. Дана комплексная полупростая алгебра Ли. ${\mathfrak {g}}$, эта подалгебра ${\mathfrak {h}}$ и выбор положительной камеры Вейля , наивысшего веса представления ${\mathfrak {g}}$ это вес ${\mathfrak {h}}$-весовой вектор v такой, что $E_{\alpha }v=0$ для каждого положительного корня $\alpha$ ( v называется вектором старшего веса).

2. Теорема о старшем весе утверждает (1) два конечномерных неприводимых представления ${\mathfrak {g}}$ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый старший вес и (2) для каждого доминирующего интеграла $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$, существует конечномерное неприводимое представление, имеющее $\lambda$ как его наибольший вес.

Ему

Хома Представление $\operatorname {Hom} (V,W)$ представлений V , W — представление с групповым действием, полученное идентификацией в векторном пространстве $\operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W$.

Я

неразложимый

Неразложимое представление — это представление, которое не является прямой суммой хотя бы двух собственных подпредставлений.

индукция

1. Учитывая представление $(\sigma ,W)$ подгруппы H группы G индуцированное представление

$\operatorname {Ind} _{H}^{G}(\sigma )=\{f:G\to W|f(hg)=\sigma (h)f(g)\}$

есть представление группы G , индуцированное на H -линейных функциях $f:G\to W$; ср. #Фробениус взаимность .

2. В зависимости от приложений обычно на функции накладывают дополнительные условия $f:G\to W$; например, если требуется, чтобы функции имели компактный носитель, то результирующая индукция называется компактной индукцией .

бесконечно мало

Два допустимых представления вещественной редуктивной группы называются инфинитезимально эквивалентными, если ассоциированные с ними представления алгебры Ли в пространстве K -конечных векторов изоморфны.

интегрируемый

Представление алгебры Каца–Муди называется интегрируемым, если (1) оно представляет собой сумму весовых пространств и (2) генераторы Шевалле. $e_{i},f_{i}$ нильпотентны локально .

переплетение

Термин « оператор переплетения » — это старое название G -линейного отображения между представлениями.

инволюция

Представление инволюции — это представление C*-алгебры в гильбертовом пространстве, сохраняющее инволюцию.

нередуцируемый

Неприводимое представление — это представление, единственными подпредставлениями которого являются ноль и оно само. Термин «неприводимый» является синонимом слова «простой».

изоморфизм

Изоморфизм между представлениями группы G — это обратимое G -линейное отображение между представлениями.

изотипический

1. Для представления V и простого представления W (подпредставления или иного) изотипическая компонента V W типа W является прямой суммой всех подпредставлений V изоморфных , . Например, пусть A — кольцо, а G — группа, действующая на нем как автоморфизмы. Если A полупрост -модуль , как G то кольцо инвариантов $A^{G}$ — изотипическая компонента A тривиального типа.

2. Изотипическое разложение полупростого представления — это разложение на изотипические компоненты.

Дж

Нарды

Функтор Жаке

К

Вставать

Формула характера Каца

K-конечный

Вектор v в пространстве представления группы K называется K -конечным, если $K\cdot v$ охватывает конечномерное векторное пространство.

Kirillov

The Kirillov character formula

Л

решетка

1. Корневая решетка — это свободная абелева группа, порожденная корнями.

2. Решетка весов – это группа всех линейных функционалов $\chi \in {\mathfrak {h}}^{*}$ о картановской подалгебре ${\mathfrak {h}}$ которые являются целыми: $\chi (H_{\alpha })$ является целым числом для каждого корня $\alpha$.

Литтлманн

Модель пути Литтельмана

М

Теорема Машке

Теорема Машке утверждает, что конечномерное представление над полем F конечной группы G является полупростым представлением , если характеристика F не делит порядок G .

Теория Макки

Теорию Макки можно рассматривать как инструмент для ответа на вопрос: если дано представление W подгруппы H группы G , то когда индуцированное представление $\operatorname {Ind} _{H}^{G}W$ неприводимое представление G ?

Маасс – Сельберг

Отношения Маасса–Сельберга .

матричный коэффициент

Матричный коэффициент представления $\pi :G\to GL(V)$ есть линейная комбинация функций на G вида $g\mapsto \langle \pi (g)v,\alpha \rangle$ для v в V и $\alpha$ в двойном пространстве $V^{*}$. Обратите внимание, что это понятие имеет смысл для любой группы: если G — топологическая группа и $\pi$ является непрерывным, то матричный коэффициент будет непрерывной функцией на G . Если Г и $\pi$ являются алгебраическими, то это будет регулярная функция на G .

модульный

Модульная теория представлений .

Молиен

Учитывая конечномерное комплексное представление V конечной группы G , теорема Мольена утверждает, что ряд $\sum _{n=0}^{\infty }\dim(\mathbb {C} [V]^{G})_{n}t^{n}$, где $(\mathbb {C} [V]^{G})_{n}$ обозначает пространство $G$-инвариантных однородных полиномов на V степени n , совпадает с $(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}\det(1-tg|V)^{-1}$. Теорема справедлива и для редуктивной группы, если заменить $(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}$ интегрированием по максимальной компактной подгруппе.

О

Осциллятор

Представление осциллятора

орбита

метод орбит — подход к теории представлений, использующий инструменты симплектической геометрии.

П

Питер-Вейль

Теорема Петера – Вейля утверждает, что линейная оболочка матричных коэффициентов компактной группы G плотна в $L^{2}(G)$.

перестановка

Учитывая группу G , G -множество X и V векторное пространство функций из X в фиксированное поле, представление перестановки $\pi$ группы G на V — представление, заданное индуцированным действием G на V ; то есть, $(\pi (g)v)(x)=v(g^{-1}x)$. Например, если X — конечное множество, а V рассматривается как векторное пространство с базисом, параметризованным X , то симметрическая группа $G=\operatorname {Sym} (X)$ переставляет элементы базиса, и его линейное расширение является именно представлением перестановки.

Планшерель

Формула Планшереля

представление положительной энергии

представление положительной энергии .

примитивный

Термин «примитивный элемент» (или вектор) — это старый термин для вектора борелевского веса.

проективный

Проективное представление группы G — это гомоморфизм группы. $\pi :G\to PGL(V)=GL(V)/\mathbb {G} _{m}$. С $PGL(V)=\operatorname {Aut} (\mathbb {P} (V))$проективное представление — это в точности групповое действие группы G на $\mathbb {P} (V)$ как автоморфизмы.

правильный

Правильное подпредставление представления V — это подпредставление, которое не является V .

Вопрос

частное

Учитывая представление V и подпредставление $W\subset V$, факторпредставление - это представление $(\pi _{V/W},V/W)$ данный $\pi _{V/W}(g):V/W\to V/W,\,v+W\mapsto gv+W$.

кватернионный

Кватернионное представление группы G — это комплексное представление, снабженное G -инвариантной кватернионной структурой .

колчан

Колчан . по определению является ориентированным графом Но обычно изучают изображения колчана.

Р

рациональный

Представление V является рациональным , если каждый вектор v из V содержится в некотором конечномерном подпредставлении (зависящем от v ).

настоящий

1. Вещественное представление векторного пространства — это представление в действительном векторном пространстве.

2. Настоящий персонаж – это персонаж $\chi$ группы G такая, что $\chi (g)\in \mathbb {R}$ для g в G. всех

обычный

1. Регулярное представление конечной группы G — это индуцированное представление группы G в групповой алгебре над полем G. группы

2. Регулярным представлением линейной алгебраической группы G является индуцированное представление на координатном кольце группы G . См. также: представление на кольцах координат .

представительство

1.  

Теорию представлений определить просто: это изучение способов, которыми данная группа может действовать в векторных пространствах. Однако среди столь четко очерченных тем она почти наверняка уникальна по широте своего интереса для математиков. Это неудивительно: групповые действия повсеместно распространены в математике 20-го века, и там, где объект, на который действует группа, не является векторным пространством, мы научились заменять его другим (например, группой когомологий, касательным пространством и т. д.). .). Как следствие, многие математики, не являющиеся специалистами в этой области (или даже теми, кто думает, что они хотят им быть), вступают в контакт с этим предметом различными способами.

Фултон, Уильям; Харрис, Джо, Теория представлений: первый курс

Линейное представление группы G — это групповой гомоморфизм $\pi :G\to GL(V)$ из G в общую линейную группу $GL(V)$. В зависимости от группы G гомоморфизм $\pi$ часто неявно требуется, чтобы это был морфизм в категории, к которой G принадлежит ; например, если G — топологическая группа , то $\pi$ должен быть непрерывным. Прилагательное «линейный» часто опускается.

2. Эквивалентно, линейное представление — это групповое действие группы G в линейном векторном пространстве V : действие $\sigma :G\times V\to V$ такой, что для каждого g в G , $\sigma _{g}:V\to V,v\mapsto \sigma (g,v)$ является линейным преобразованием.

3. Виртуальное представление — это элемент кольца Гротендика категории представлений.

представитель

Термин « репрезентативная функция » — это еще один термин, обозначающий матричный коэффициент .

С

Шур

1.  

Иссай Шур

Иссай Шур

2. Лемма Шура утверждает, что G -линейное отображение между неприводимыми представлениями должно быть либо биективным, либо нулевым.

3. Отношения ортогональности Шура на компактной группе говорят, что характеры неизоморфных неприводимых представлений ортогональны друг другу.

4. Функтор Шура . $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ строит представления, такие как симметричные степени или внешние степени, в соответствии с разделением $\lambda$. Персонажи $S^{\lambda }(V)$ являются полиномами Шура .

5. Двойственность Шура–Вейля вычисляет неприводимые представления, встречающиеся в тензорных степенях $GL(V)$-модули.

6. Полином Шура — это симметричная функция того типа, который встречается в формуле характера Вейля, применяемой к унитарным группам.

7. Индекс сдвига .

8. Комплекс Шура .

полупростой

Полупростое представление (также называемое вполне приводимым представлением) представляет собой прямую сумму простых представлений.

простой

Еще один термин для обозначения «неприводимый».

гладкий

1. Гладким представлением локально проконечной группы G называется такое комплексное представление, что для каждого v из V существует некоторая компактная открытая подгруппа K группы G , фиксирующая v ; то есть, $g\cdot v=v$ для каждого g в K .

2. Гладким вектором в пространстве представления группы Ли называется вектор v такой, что $g\mapsto g\cdot v$ является гладкой функцией.

Шпехт

Модуль Дятел

Стейнберг

Представление Штейнберга .

субпредставительство

Подпредставление ​ представления $(\pi ,V)$ G — векторное подпространство W в V такое, что $\pi (g):W\to W$ корректно определен для каждого g в G .

Лебедь

Представление Swan используется для определения проводника Swan .

симметричный

1. Симметрической степенью представления V является представление $\operatorname {Sym} ^{n}(V)$ с групповым действием, индуцированным $V^{\otimes n}\to \operatorname {Sym} ^{n}(V)$.

2. В частности, симметрическим квадратом представления V является представление $\operatorname {Sym} ^{2}(V)$ с групповым действием, индуцированным $V^{\otimes 2}\to \operatorname {Sym} ^{2}(V)$.

система импримитивности

Понятие в теории Макки . См. систему импримитивности .

Т

Таннакская двойственность

Таннакианская двойственность — это примерно идея о том, что группу можно восстановить из всех ее представлений.

закаленный

умеренное представление

тензор

Тензорное представление — это, грубо говоря, представление, полученное из тензорных произведений (определенных представлений).

тензорное произведение

Тензорное произведение представлений V , W — это представление, являющееся тензорным произведением векторных пространств. $V\otimes W$ вместе с действием линейной группы $\pi _{V\otimes W}(g)(v\otimes w)=\pi _{V}(g)v\otimes \pi _{W}(g)w$.

тривиальный

1. Тривиальным представлением группы G является представление π такое, что π( ) является единицей для каждого g из G. g

2. Тривиальным характером группы G называется характер, тривиальный как представление.

У

равномерно ограниченный

Равномерно ограниченное представление локально компактной группы — это представление в алгебре ограниченных операторов, непрерывное в сильной операторной топологии и такое, что норма оператора, заданная каждым элементом группы, равномерно ограничена.

унитарный

1. Унитарным представлением группы G называется представление π такое, что π( ) — унитарный оператор для каждого g из G. g

2. Унитаризуемым представлением является представление, эквивалентное унитарному представлению.

V

Модуль Верма

Дана сложная полупростая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$, подалгебра Картана ${\mathfrak {h}}$ и выбор положительной камеры Вейля – модуля Верма $M_{\chi }$ связанный с линейным функционалом $\chi :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C}$ является фактором обертывающей алгебры $U({\mathfrak {g}})$ левым идеалом, порожденным $E_{\alpha }$ для всех положительных корней $\alpha$ а также $H-\chi (H)1$ для всех $H\in {\mathfrak {h}}$.

В

масса

1. Термин «вес» — это еще одно название персонажа.

2. Весовое подпространство представления V веса $\chi :G\to \mathbb {G} _{m}$ это подпространство $V_{\chi }=\{v\in V|g\cdot v=\chi (g)v\}$ это имеет положительное измерение.

3. Аналогично для линейного функционала $\chi :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C}$ комплексной алгебры Ли ${\mathfrak {h}}$, $\chi$ это вес ${\mathfrak {h}}$-модуль V, если $V_{\chi }=\{v\in V|H\cdot v=\chi (H)v\}$ имеет положительное измерение; ср. #самый большой вес .

4. весовая решетка

5. доминирующий вес: вес \лямбда является доминирующим, если $<\lambda ,\alpha >\in \mathbb {Z} ^{+}$ для некоторых $\alpha \in \Phi$

6. фундаментальный доминирующий вес: : Учитывая набор простых корней $\Delta =\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\}$, это основа $E$. $\alpha _{1}^{v},\alpha _{2}^{v},...,\alpha _{n}^{v}\in \Phi ^{v}$ является основой $E$ слишком; двойная основа $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ определяется $(\lambda _{i},\alpha _{j}^{v})=\delta _{ij}$ , называется фундаментальными доминирующими весами.

7. наибольший вес

Вейль

1. Герман Вейль

2. Формула характера Вейля выражает характер неприводимых представлений комплексной полупростой алгебры Ли через старшие веса.

3. Формула интегрирования Вейля гласит: для компактной связной группы Ли G с максимальным тором T существует действительная непрерывная функция u на T такая, что для любой непрерывной функции f на G ,

$\int _{G}f(g)dg=\int _{T}f(t)u(t)dt.$

(Явно, $u$ равна 1 по мощности группы Вейля, умноженной на произведение $|e^{\alpha (t)}-e^{-\alpha (t)}|^{2}$ над корнями $\alpha$.)

4. Модуль Вейля .

5. Фильтрация Вейля — это фильтрация представления редуктивной группы, факторы которой изоморфны модулям Вейля .

Ю

Молодой

1. Альфред Янг

2. Симметризатором Юнга является G -линейный эндоморфизм $c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}$ тензорной степени G -модуля V, определенной по заданному разбиению $\lambda$. По определению функтор Шура представления V сопоставляет V образ $c_{\lambda }$.

З

ноль

Нулевое представление — это нульмерное представление. Примечание: хотя нулевое представление является тривиальным, оно не обязательно должно быть нулевым (поскольку «тривиальное» означает, что G действует тривиально.)

Ссылки

• Адамс, Дж. Ф. (1969), Лекции по группам лжи , University of Chicago Press
• Теодор Брёкер и Таммо Том Дик, Представления компактных групп Ли , Дипломные тексты по математике 98 , Springer-Verlag, Берлин, 1995.
• Бушнелл, Колин Дж.; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Фундаментальные принципы математических наук, том. 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/3-540-31511-X , ISBN.  978-3-540-31486-8 , МР   2234120
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Гайцгоры, Д. (осень 2005 г.). «Теория геометрических представлений, Математика 267y» . Архивировано из оригинала 23 ноября 2014 года.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-90053-7 .
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. , Принстонские достопримечательности в области математики, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-09089-4
• Клаудио Процесси (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление , Спрингер, ISBN   9780387260402 .
• Серр, Жан-Пьер (1 сентября 1977 г.). Линейные представления конечных групп . Тексты для аспирантов по математике , 42 . Нью-Йорк – Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90190-9 . МР   0450380 . Збл   0355.20006 .
• Н. Уоллах , Реальные редуктивные группы, 2 тома, Academic Press, 1988,

Дальнейшее чтение

• М. Дюфло и М. Вернь, Формула Планшереля вещественных полупростых групп Ли, в «Представлениях групп Ли»; Киото, Хиросима (1986), Передовые исследования в области чистой математики 14, 1988.
• Люстиг, Г. (август 1988 г.), «Квантовые деформации некоторых простых модулей над обертывающими алгебрами», Advance in Mathematics , 70 (2): 237–249, doi : 10.1016/0001-8708(88)90056-4

Внешние ссылки

• https://math.stanford.edu/~bump/