Полупростое представление

В математике , особенно в теории представлений , полупростое представление (также называемое полностью приводимым представлением ) — это линейное представление группы , или алгебры которое является прямой суммой простых представлений (также называемых неприводимыми представлениями ). Это пример общего математического понятия полупростоты .

Многие представления, возникающие в приложениях теории представлений, полупросты или могут быть аппроксимированы полупростыми представлениями. над Полупростой модуль алгеброй над полем является примером полупростого представления. Обратно , полупростое представление группы G над полем k является полупростым модулем над групповой алгеброй k [ G ].

Эквивалентные характеристики

Пусть V — представление группы G ; или, в более общем смысле, пусть V — векторное пространство с набором линейных эндоморфизмов действующих на него . В общем, векторное пространство, на которое действует набор линейных эндоморфизмов, называется простым (или неприводимым), если единственными инвариантными подпространствами для этих операторов являются ноль и само векторное пространство; тогда полупростое представление является прямой суммой простых представлений в этом смысле.

Следующие действия эквивалентны:

1. V полупросто как представление.
2. V представляет собой сумму простых подпредставлений .
3. Каждое подпредставление W из V допускает дополнительное представление : подпредставление W ' такое, что $V=W\oplus W'$.

Эквивалентность приведенных выше условий можно доказать на основе следующей леммы , представляющей самостоятельный интерес:

Лемма — Пусть p : V → W — сюръективное эквивариантное отображение представлений. Если V полупросто, то p расщепляется ; т. е. он допускает раздел .

Доказательство леммы : Напишите $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ где $V_{i}$ являются простыми представлениями. Не ограничивая общности , можно считать $V_{i}$ являются подпредставлениями; т. е. мы можем считать, что прямая сумма является внутренней. Теперь рассмотрим семейство всех возможных прямых сумм $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ с различными подмножествами $J\subset I$. Наведите на него частичный порядок , сказав, что прямая сумма по K меньше прямой суммы по J, если $K\subset J$. По лемме Цорна можно найти максимальное $J\subset I$ такой, что $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$. Мы утверждаем, что $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$. По определению, $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ поэтому нам нужно только показать это $V=\operatorname {ker} p+V_{J}$. Если $\operatorname {ker} p+V_{J}$ является правильным подпредставлением $V$ тогда существует $k\in I-J$ такой, что $V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}$. С $V_{k}$ является простым (неприводимым), $V_{k}\cap (\operatorname {ker} p+V_{J})=0$. Это противоречит максимальности $J$, так $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ как заявлено. Следовательно, $W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V$ является частью p . $\square$

Обратите внимание, что мы не можем принять $J$ в набор $i$ такой, что $\ker(p)\cap V_{i}=0$. Причина в том, что может случиться и часто случается, что $X$ является подпространством $Y\oplus Z$ и все же $X\cap Y=0=X\cap Z$. Например, возьмите $X$, $Y$ и $Z$ быть тремя различными линиями, проходящими через начало координат в $\mathbb {R} ^{2}$. В качестве явного контрпримера пусть $A=\operatorname {Mat} _{2}F$ — алгебра матриц размера 2 на 2 и положим $V=A$, регулярное представление $A$. Набор $V_{1}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}{\Bigr \}}$ и $V_{2}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}$ и установить $W={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}c&c\\d&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}$. Затем $V_{1}$, $V_{2}$ и $W$ все нередуцируемые $A$-модули и $V=V_{1}\oplus V_{2}$. Позволять $p:V\to V/W$ быть естественным сюръективным. Затем $\operatorname {ker} p=W\neq 0$ и $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$. В этом случае, $W\simeq V_{1}\simeq V_{2}$ но $V\neq \operatorname {ker} p\oplus V_{1}\oplus V_{2}$ потому что эта сумма не является прямой.

Доказательство эквивалентности $1.\Rightarrow 3.$: Возьмем p за естественную сюръекцию. $V\to V/W$. Поскольку V полупрост, p распадается, и поэтому через сечение $V/W$ изоморфно подпредставлению , дополнительному к W .

$3.\Rightarrow 2.$: Сначала мы заметим, что каждое ненулевое подпредставление W имеет простое подпредставление. Сжимая W до (ненулевого) циклического подпредставления, мы можем предположить, что оно конечно порождено. Тогда оно имеет максимальное подпредставление U . По условию 3., $V=U\oplus U'$ для некоторых $U'$. По модульному закону это подразумевает $W=U\oplus (W\cap U')$. Затем $(W\cap U')\simeq W/U$ это простое подпредставлениеW ( «простой» из-за максимальности). Это устанавливает наблюдение. Теперь возьми $W$ быть суммой всех простых подпредставлений, которая в силу 3 допускает дополнительное представление $W'$. Если $W'\neq 0$, то, по ранним наблюдениям, $W'$ содержит простое подпредставление и поэтому $W\cap W'\neq 0$, ерунда. Следовательно, $W'=0$.

$2.\Rightarrow 1.$: Импликация является прямым обобщением основного факта линейной алгебры о том, что базис можно извлечь из остовного множества векторного пространства. То есть мы можем доказать следующее несколько более точное утверждение:

• Когда $V=\sum _{i\in I}V_{i}$ есть сумма простых подпредставлений, полупростое разложение $V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}$, некоторое подмножество $I'\subset I$, можно извлечь из суммы.

Как и при доказательстве леммы, можно найти максимальную прямую сумму $W$ который состоит из некоторых $V_{i}$х. Теперь для каждого i в I , по простоте, либо $V_{i}\subset W$ или $V_{i}\cap W=0$. Во втором случае прямая сумма $W\oplus V_{i}$ противоречит максимальности W . Следовательно, $V_{i}\subset W$. $\square$

Примеры и не примеры

Унитарные представления

Конечномерное унитарное представление (т. е. представление, факторизующееся через унитарную группу ) является основным примером полупростого представления. Такое представление является полупростым, поскольку если W является подпредставлением, то ортогональное дополнение к W является дополнительным представлением. потому что если $v\in W^{\bot }$ и $g\in G$, затем $\langle \pi (g)v,w\rangle =\langle v,\pi (g^{-1})w\rangle =0$ для любого w из W, поскольку W - инвариантен G и, следовательно, $\pi (g)v\in W^{\bot }$.

Например, учитывая непрерывное конечномерное комплексное представление $\pi :G\to GL(V)$ конечной группы или компактной группы G с помощью аргумента усреднения можно определить скалярный продукт $\langle \,,\rangle$ на V, который G -инвариантен: т. е. $\langle \pi (g)v,\pi (g)w\rangle =\langle v,w\rangle$, то есть $\pi (g)$ является унитарным оператором и поэтому $\pi$ является унитарным представительством. Следовательно, любое конечномерное непрерывное комплексное представление группы G полупросто. Для конечной группы это частный случай теоремы Машке , которая гласит, что конечномерное представление конечной группы G над полем k с характеристикой , не делящей порядок G , является полупростым.

Представления полупростых алгебр Ли

По теореме Вейля о полной сводимости всякое конечномерное представление полупростой алгебры Ли над полем нулевой характеристики полупросто.

Сепарабельные минимальные полиномы

Учитывая линейный эндоморфизм T векторного пространства V , V является полупростым как представление T (т. е. T является полупростым оператором ) тогда и только тогда, когда минимальный многочлен T является сепарабельным; т. е. произведение различных неприводимых полиномов.

Связанное полупростое представление

Для конечномерного представления V теорема Джордана –Гёльдера гласит, что существует фильтрация по подпредставлениям: $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ такая, что каждое последующее частное $V_{i}/V_{i+1}$ является простым представлением. Тогда соответствующее векторное пространство $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ — полупростое представление, называемое полупростым представлением , которое с точностью до изоморфизма однозначно определяется V. ассоциированным

Унипотентная группа

Представление унипотентной группы, как правило, не является полупростым. Брать $G$ быть группой, состоящей из вещественных матриц ${\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}$; оно действует на $V=\mathbb {R} ^{2}$ естественным образом и делает V представлением G . Если W является подпредставлением V , имеющим размерность 1, то простой расчет показывает, что оно должно быть натянуто на вектор ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$. То есть существует ровно три G -подпредставления V ; в частности, V не является полупростым (поскольку единственное одномерное подпредставление не допускает дополнительного представления).

Полупростое разложение и кратность

См. также: Декомпозиция модуля.

Разложение полупростого представления на простые, называемое полупростым разложением, не обязательно должно быть единственным; например, для тривиального представления простые представления представляют собой одномерные векторные пространства, и, таким образом, полупростая декомпозиция сводится к выбору базиса векторного пространства представления. С другой стороны, изотипическое разложение является примером уникального разложения.

Однако для конечномерного полупростого представления V над алгебраически замкнутым полем числа простых с точностью до изоморфизма представлений, входящих в разложение V (1), единственны и (2) полностью определяют представление с точностью до изоморфизма; это является следствием леммы Шура следующим образом. конечномерное полупростое представление V Предположим, что задано над алгебраически замкнутым полем: по определению оно является прямой суммой простых представлений. Группируя в разложении простые представления, изоморфные друг другу с точностью до изоморфизма, можно найти разложение (не обязательно уникальное):

$V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}$

где $V_{i}$ являются простыми представлениями, взаимно неизоморфными друг другу, и $m_{i}$ являются положительными целыми числами . По лемме Шура

$m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})$,

где $\operatorname {Hom} _{\text{equiv}}$ относится к эквивариантным линейным отображениям . Кроме того, каждый $m_{i}$ не изменяется, если $V_{i}$ заменяется другим простым представлением, изоморфным $V_{i}$. Таким образом, целые числа $m_{i}$ независимы от выбранных разложений; они являются множествами простых представлений $V_{i}$, с точностью до изоморфизма, в V .

В общем случае, учитывая конечномерное представление $\pi :G\to GL(V)$ группы G над полем k композиция $\chi _{V}:G\,{\overset {\pi }{\to }}\,GL(V)\,{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}\,k$ называется характер ​ $(\pi ,V)$. Когда $(\pi ,V)$ является полупростым с разложением $V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}$ как указано выше, след $\operatorname {tr} (\pi (g))$ представляет собой сумму следов $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ с кратностями и, следовательно, как функции на G ,

$\chi _{V}=\sum _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}$

где $\chi _{V_{i}}$ являются персонажами $V_{i}$. Когда G — конечная группа или, в более общем смысле, компактная группа и $V$ является унитарным представлением с внутренним продуктом, заданным аргументом усреднения, отношения ортогональности Шура говорят: неприводимые характеры (характеры простых представлений) группы G являются ортонормированным подмножеством пространства комплекснозначных функций на G и, следовательно, $m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle$.

Изотипическое разложение

Существует единственное разложение полупростого представления, называемое изотипическим разложением представления. По определению, учитывая простое представление S , изотипический компонент типа S представления V является суммой всех подпредставлений V , которые изоморфны S ; обратите внимание, что компонент также изоморфен прямой сумме некоторого выбора подпредставлений, изоморфных S (поэтому компонент уникален, хотя слагаемые не являются необходимыми).

Тогда изотипическое разложение полупростого представления V является (единственным) разложением в прямую сумму:

$V=\bigoplus _{\lambda \in {\widehat {G}}}V^{\lambda }$

где ${\widehat {G}}$ — множество классов изоморфизма простых представлений G и $V^{\lambda }$ — изотипическая компонента V типа S для некоторого $S\in \lambda$.

Пример

Позволять $V$ — пространство однородных многочленов третьей степени над комплексными числами от переменных $x_{1},x_{2},x_{3}$. Затем $S_{3}$ действует на $V$ путем перестановки трех переменных. Это конечномерное комплексное представление конечной группы, поэтому оно полупростое. Следовательно, это 10-мерное представление можно разбить на три изотипических компонента, каждый из которых соответствует одному из трех неприводимых представлений $S_{3}$. В частности, $V$ содержит три копии тривиального представления, одну копию знакового представления и три копии двумерного неприводимого представления. $W$ из $S_{3}$. Например, промежуток $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ и $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ изоморфен $W$. Это легче увидеть, записав это двумерное подпространство как

$W_{1}=\{a(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3})+b(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2})\mid a+b+c=0\}$.

Еще одна копия $W$ можно записать в аналогичной форме:

$W_{2}=\{a(x_{2}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{1})+b(x_{1}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3})\mid a+b+c=0\}$.

Так может и третий:

$W_{3}=\{ax_{1}^{3}+bx_{2}^{3}+cx_{3}^{3}\mid a+b+c=0\}$.

Затем $W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}$ является изотипическим компонентом типа $W$ в $V$.

Завершение

В анализе Фурье (хорошую) функцию разлагают как предел ряда Фурье функции. Точно так же представление само по себе может быть не полупростым, но может быть завершением (в подходящем смысле) полупростого представления. Самым основным случаем этого является теорема Петера-Вейля , которая разлагает левое (или правое) регулярное представление компактной группы в пополнение гильбертового пространства прямой суммы всех простых унитарных представлений. Как следствие , происходит естественное разложение $W=L^{2}(G)$ = гильбертово пространство (классов) интегрируемых с квадратом функций на компактной группе G :

$W\simeq {\widehat {\bigoplus _{[(\pi ,V)]}}}V^{\oplus \dim V}$

где ${\widehat {\bigoplus }}$ означает пополнение прямой суммы, и прямая сумма пробегает все классы изоморфизма простых конечномерных унитарных представлений $(\pi ,V)$ Г. ​ ​ Заметим здесь, что каждое простое унитарное представление (с точностью до изоморфизма) появляется в сумме с кратностью, равной размерности представления.

Когда группа G является конечной группой, векторное пространство $W=\mathbb {C} [G]$ — это просто групповая алгебра группы G , а также пополнение пусто. Таким образом, теорема просто говорит, что

$\mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi ,V)]}V^{\oplus \dim V}.$

То есть каждое простое представление G появляется в регулярном представлении с кратностью, равной размерности представления. Это один из стандартных фактов теории представлений конечной группы (и его гораздо легче доказать).

Когда группа G является группой круга $S^{1}$, теорема в точности соответствует классическому анализу Фурье.

Приложения к физике

В квантовой механике и физике элементарных частиц угловой момент объекта может быть описан сложными представлениями группы вращения SO(3) , все из которых являются полупростыми. Благодаря связи между SO(3) и SU(2) нерелятивистский спин элементарной частицы описывается комплексными представлениями SU(2) , а релятивистский спин описывается комплексными представлениями SL ₂ ( C ) , все из них полупростые. В по угловому моменту связи коэффициенты Клебша – Гордана возникают из кратностей неприводимых представлений, возникающих при полупростом разложении тензорного произведения неприводимых представлений.

Ссылки

Источники

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x +376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN  0-387-97845-3 , МР   1245487 ; NB: эта ссылка номинально рассматривает полупростой модуль над кольцом, а не над группой, но это не является существенной разницей (абстрактная часть обсуждения проходит и для групп).
• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3319134666 .
• Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN  978-0-7167-1933-5
• Процессези, Клаудио (2007). Группы Ли: подход через инварианты и представление . Спрингер. ISBN  9780387260402 . .
• Серр, Жан-Пьер (1 сентября 1977 г.). Линейные представления конечных групп . Тексты для аспирантов по математике , 42 . Нью-Йорк – Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90190-9 . МР   0450380 . Збл   0355.20006 .