Артин дирижер
В математике проводник Артина — число или идеал , связанный с характером группы Галуа локального функциональном или глобального поля , введенный Эмилем Артином ( 1930 , 1931 ) как выражение, появляющееся в уравнении Артина L-функции .
артинские Местные дирижеры
Предположим, что L — конечное расширение Галуа локального поля K с группой G. Галуа Если является персонажем G , то артинский дирижёр это число
где G i — i - я группа ветвления (в нижней нумерации ) порядка g i , а χ( G i ) — среднее значение on G i . [1] По результату Артина, локальный проводник является целым числом. [2] [3] Эвристически дирижер Артина измеряет, насколько действие высших групп ветвления далеко от тривиальности. В частности, если х неразветвлен, то ее артиновский проводник равен нулю. Таким образом, если L неразветвлено над K , то проводники Артина всех х равны нулю.
Дикий инвариант [3] или Лебедь-проводник [4] персонажа
другими словами, сумма членов более высокого порядка с i > 0.
Глобальные дирижеры Артина
Глобальный артинский дирижер представления группы Галуа G конечного расширения L / K глобальных полей является идеалом K , определяемым как
где произведение происходит по простым числам p из K , а f (χ, p ) — локальный артиновский проводник ограничения группе разложения некоторого простого числа L, лежащего над p . [2] Поскольку локальный проводник Артина равен нулю в неразветвленных простых числах, указанное выше произведение необходимо брать только для простых чисел, которые разветвляются в L / K .
Артина и характер Представление Артина
Предположим, что L — конечное расширение Галуа локального поля K с группой G. Галуа Персонаж Артина G - of G это персонаж
а представление Артина AG с — это комплексное линейное представление группы G этим характером. Вейль (1946) просил напрямую построить представление Артина. Серр ( 1960 что представление Артина может быть реализовано над локальным полем Ql . для любого простого числа l, не равного характеристике вычета p ) показал , Фонтейн (1971) показал, что его можно реализовать над соответствующим кольцом векторов Витта. В общем случае его невозможно реализовать над рациональными числами или над локальным полем Q p , что позволяет предположить, что не существует простого способа явно построить представление Артина. [5]
Изображение лебедя [ править ]
Символ Лебедя sw G определяется выражением
где r g — характер регулярного представления, а 1 — характер тривиального представления. [6] это персонаж представления G. Персонаж Лебедь — Свон ( 1963 ) показал, что существует единственное проективное представление группы G над l -адическими целыми числами с характером Лебедя.
Приложения [ править ]
Проводник Артина появляется в формуле проводника-дискриминанта для дискриминанта глобального поля. [5]
Оптимальный уровень в гипотезе модульности Серра выражается через проводник Артина.
Проводник Артина появляется в функциональном уравнении L-функции Артина .
Представления Артина и Свона используются для определения проводника эллиптической кривой или абелева многообразия.
Примечания [ править ]
- ^ Серр (1967) стр.158
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Серр (1967) стр.159
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Манин, Ю. Я.; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). п. 329. ИСБН 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 .
- ^ Снайт (1994) стр.249
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Серр (1967) стр.160
- ^ Снайт (1994) стр.248
Ссылки [ править ]
- Артин, Эмиль (1930), «К теории L-рядов с общими групповыми характерами», Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке), 8 : 292–306, doi : 10.1007/BF02941010 , JFM 56.0173.02 , S2CID 120987633
- Артин, Эмиль (1931), «Теоретико-групповая структура дискриминантов полей алгебраических чисел». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1931 (164): 1–11, doi : 10.1515/crll.1931.164.1 , ISSN 0075-4102 , S2CID 117731518 , Zbl 0001.00801
- Фонтен, Жан-Марк (1971), «О представлениях Артена», Конференция по теории чисел (Университет Бордо, Бордо, 1969) , Мемуары Математического общества Франции, том. 25, Париж: Математическое общество Франции , стр. 71–81, МР 0374106
- Серр, Жан-Пьер (1960), «О рациональности представлений Артена», Annals of Mathematics , Second Series, 72 (2): 405–420, doi : 10.2307/1970142 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970142 , MR 0171775
- Серр, Жан-Пьер (1967), «VI. Теория полей локальных классов», в Касселсе, JWS ; Фрелих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl 0153.07403.
- Снайт, вице-президент (1994), Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 40, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-46015-8 , Збл 0991.20005
- Свон, Ричард Г. (1963), «Кольцо Гротендика конечной группы», Топология , 2 (1–2): 85–110, doi : 10.1016/0040-9383(63)90025-9 , ISSN 0040-9383 , МР 0153722
- Вейль, Андре (1946), «Будущее математики», Bol. Соц. Мачта. Сан-Паулу , 1 :55–68, MR 0020961.