Гипотеза модульности Серра

Не путать с теоремой модульности .

Гипотеза модульности Серра

Поле	Алгебраическая теория чисел
Предполагается	Жан-Пьер Серр
Предполагается в	1975
Первое доказательство	Чандрашекхар Кхаре Жан-Пьер Винтенбергер
Первое доказательство в	2008

В математике ), утверждает , гипотеза модульности Серра , выдвинутая Жаном-Пьером Серром ( 1975 , 1987 что нечетное, неприводимое, двумерное представление Галуа над конечным полем возникает из модулярной формы. Более сильная версия этой гипотезы определяет вес и уровень модульной формы. Гипотеза в случае уровня 1 была доказана Чандрашекхаром Кхаре в 2005 году. а полное доказательство гипотезы было завершено совместно Харе и Жан-Пьером Винтенбергером в 2008 году.

Формулировка

Гипотеза касается абсолютной группы Галуа. $G_{\mathbb {Q} }$ чисел поля рациональных $\mathbb {Q}$.

Позволять $\rho$ быть абсолютно неприводимым , непрерывным, двумерным представлением $G_{\mathbb {Q} }$ над конечным полем $F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}$.

$\rho \colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).$

Кроме того, предположим $\rho$ нечетно, то есть образ комплексного сопряжения имеет определитель -1.

К любой нормализованной модульной собственной форме

$f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots$

уровня ​ $N=N(\rho )$, масса $k=k(\rho )$и какой-то персонаж Nebentype

$\chi \colon \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}$,

теорема Шимуры, Делиня и Серра-Делиня связана с $f$ представление

$\rho _{f}\colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),$

где ${\mathcal {O}}$ — кольцо целых чисел в конечном расширении $\mathbb {Q} _{\ell }$. Это представление характеризуется тем, что для всех простых чисел $p$, взаимно простой с $N\ell$ у нас есть

$\operatorname {Trace} (\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}$

и

$\det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).$

Сокращение этого представления по модулю максимального идеала ${\mathcal {O}}$ дает мод $\ell$ представительство ${\overline {\rho _{f}}}$ из $G_{\mathbb {Q} }$.

Гипотеза Серра утверждает, что для любого представления $\rho$ как и выше, существует модульная собственная форма $f$ такой, что

${\overline {\rho _{f}}}\cong \rho$.

Уровень и вес предположительной формы $f$ явно предполагаются в статье Серра. Кроме того, он выводит ряд результатов из этой гипотезы, в том числе Великую теорему Ферма и доказанную сейчас гипотезу Таниямы-Вейля (или Таниямы-Шимуры), теперь известную как теорема модульности (хотя это подразумевает Великую теорему Ферма, Серр доказывает это прямо из его догадки).

Оптимальный уровень и вес

Сильная форма гипотезы Серра описывает уровень и вес модульной формы.

Оптимальный уровень – артинский проводник представления, обладающий силой $l$ удаленный.

Доказательство

Доказательство случаев уровня 1 и малого веса гипотезы было получено в 2004 году Чандрашекхаром Харе и Жан-Пьером Винтенбергером . и Луис Дьелефе , независимо.

В 2005 году Чандрашекхар Кхаре получил доказательство случая уровня 1 гипотезы Серра: и в 2008 году полное доказательство гипотезы в сотрудничестве с Жан-Пьером Винтенбергером.

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер (1975), «Собственные значения операторов Гекке по модулю l», Journees Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, 1974), Asterisk , 24–25: 109–117, ISSN   0303-1179 , МР   0382173
• Серр, Жан-Пьер (1987), «О модульных представлениях степени 2 Гала ( Q /Q)», Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05413 - 5 , ISSN   0012-7094 , МР   0885783
• Штейн, Уильям А.; Рибет, Кеннет А. (2001), «Лекции по гипотезам Серра», Конрад, Брайан; Рубин, Карл (ред.), Арифметическая алгебраическая геометрия (Парк-Сити, Юта, 1999) , IAS/Park City Math. Сер., вып. 9, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 143–232, ISBN.  978-0-8218-2173-2 , МР   1860042

См. также

• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма

Внешние ссылки

• «Гипотеза модульности Серра», 50-минутная лекция Кена Рибета прочитанная 25 октября 2007 г. ( слайды PDF, другая версия слайдов PDF)
• Лекции о гипотезах Серра