Хедж-оператор

В математике , в частности в теории модулярных форм , оператор Гекке , изучаемый Эрихом Гекке ( 1937а, 1937б ), представляет собой своего рода «усредняющий» оператор, играющий существенную роль в структуре векторных пространств модулярных форм и более общие автоморфные представления .

История

Морделл ( 1917 ) использовал операторы Гекке на модулярных формах в статье о специальной форме возврата , Рамануджана опередив общую теорию, предложенную Хекке ( 1937a, 1937b ). Морделл доказал, что тау-функция Рамануджана , выражающая коэффициенты формы Рамануджана,

\Delta (z)=q\left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})\right)^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n},\quad q=e^{2\pi iz},

является мультипликативной функцией :

\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)\quad {\text{ for }}(m,n)=1.

Идея восходит к более ранним работам Адольфа Гурвица , который рассматривал алгебраические соответствия между модулярными кривыми , реализующими некоторые отдельные операторы Гекке.

Математическое описание

Операторы Хеке могут быть реализованы в различных контекстах. Самый простой смысл является комбинаторным, а именно, когда в качестве данного целого числа $n$ берут некоторую функцию $f (Λ),$ определенную на решетках фиксированного ранга, как

\sum f(\Lambda ')

причем сумма берется по всем $Λ'$ которые являются подгруппами индекса $Λ$ n $,$ . Например, при $n=2$ три $и двух измерениях таких Λ'$ . Модульные формы — это особые виды функций решетки, подчиняющиеся условиям, делающим их аналитическими функциями и однородными по гомотетиям , а также умеренному росту на бесконечности; эти условия сохраняются при суммировании, и поэтому операторы Гекке сохраняют пространство модулярных форм заданного веса.

Другой способ выразить операторы Гекке — с помощью двойных смежных классов в модульной группе . В современном адельном подходе это означает двойные смежные классы по некоторым компактным подгруппам.

Явная формула

Пусть $M m$ — множество $целочисленных матриц размера 2\times2$ с определителем $m$ , а $Γ = M 1$ — полная модулярная группа $SL (2, Z)$ . Для модулярной формы $f (z)$ веса $k$ m $-$ й оператор Гекке действует по формуле

T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma \backslash M_{m}}(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right),

где $z$ находится в верхней полуплоскости , а нормировочная константа $m к -1$ гарантирует, что изображение формы с целыми коэффициентами Фурье имеет целые коэффициенты Фурье. Это можно переписать в виде

T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{a,d>0,ad=m}{\frac {1}{d^{k}}}\sum _{b{\pmod {d}}}f\left({\frac {az+b}{d}}\right),

что приводит к формуле для коэффициентов Фурье $T m (f (z)) = Σ b n q н$ в терминах коэффициентов Фурье $f (z) = Σ a n q н$ :

b_{n}=\sum _{r>0,r|(m,n)}r^{k-1}a_{mn/r^{2}}.

Из этой явной формулы видно, что операторы Гекке с разными индексами коммутируют и что если $a 0 = 0,$ то $b 0 = 0$ , поэтому подпространство $S k$ параболических форм веса $k$ сохраняется операторами Гекке. Если (ненулевая) форма возврата $f$ является одновременной собственной формой всех операторов Гекке $T m$ с собственными значениями $λ m,$ то $a m = λ m a 1$ и $a 1 \neq 0$ . Собственные формы Гекке нормированы так, что $a 1 = 1$ , тогда

T_{m}f=a_{m}f,\quad a_{m}a_{n}=\sum _{r>0,r|(m,n)}r^{k-1}a_{mn/r^{2}},\ m,n\geq 1.

Таким образом, для нормализованных каспидальных собственных форм Гекке целого веса их коэффициенты Фурье совпадают с собственными значениями Гекке.

Алгебры Гекке

Алгебры операторов Гекке называются «алгебрами Гекке» и представляют собой коммутативные кольца . В классической эллиптической теории модулярных форм операторы Гекке $T n$ с $n,$ взаимно простыми уровню, действующие на пространстве параболических форм заданного веса, самосопряжены относительно скалярного произведения Петерсона . Следовательно, из спектральной теоремы следует, что существует базис модулярных форм, являющихся собственными функциями этих операторов Гекке. Каждая из этих основных форм обладает произведением Эйлера . Точнее, его преобразование Меллина представляет собой ряд Дирихле , в котором есть произведения Эйлера с локальным множителем для каждого простого числа $p,$ обратным ^{[ нужны разъяснения ]} полинома Гекке , квадратичного многочлена от $p - с$ . В случае Морделла пространство параболических форм веса 12 относительно полной модулярной группы одномерно. Отсюда следует, что форма Рамануджана имеет эйлерово произведение и устанавливает мультипликативность $τ (n)$ .

Другие родственные математические кольца также называются «алгебрами Гекке», хотя иногда связь с операторами Гекке не совсем очевидна. Эти алгебры включают некоторые факторы групповых алгебр групп кос . Наличие этой коммутативной операторной алгебры играет существенную роль в гармоническом анализе модулярных форм и обобщениях.

См. также

Ссылки

Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97127-8 (См. главу 8.)
«Оператор Гекке» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Хекке, Э. (1937a), «О функциях модуля и ряде Дирихле с разработкой эйлеровых произведений. I.», Mathematical Annals (на немецком языке), 114 : 1–28, doi : 10.1007/BF01594160 , ISSN 0025-5831 , Zbl 0015.40202
Хекке, Э. (1937b), «О функциях модуля и ряде Дирихле с разработкой эйлеровых произведений. II.», Mathematical Annals (на немецком языке), 114 : 316–351, doi : 10.1007/BF01594180 , ISSN 0025-5831 , Zbl 0016.35503
Морделл, Луи Дж. (1917), «Об эмпирических расширениях г-на Рамануджана модульных функций». , Труды Кембриджского философского общества , 19 : 117–124, JFM 46.0605.01.
Жан-Пьер Серр , Курс арифметики .
Дон Загер , Эллиптические модульные формы и их приложения , в книге «1-2-3 модульных форм» , Universitext, Springer, 2008. ISBN 978-3-540-74117-6