Собственная форма

В математике собственная форма (имеется в виду одновременная собственная форма Гекке с модулярной группой SL(2, Z )) — это модулярная форма , которая является собственным вектором для всех операторов Гекке T _m , m = 1, 2, 3, ....

Собственные формы относятся к области теории чисел , но их можно найти и в других областях математики и естественных наук, таких как анализ , комбинаторика и физика . Распространенным примером собственной формы и единственными некаспидальными собственными формами являются ряды Эйзенштейна . Другой пример — функция Δ .

Нормализация

Существуют две разные нормализации собственной формы (или модулярной формы в целом).

Алгебраическая нормализация

Говорят, что собственная форма нормализована , если ее масштабировать так, чтобы q -коэффициент в ряду Фурье был равен единице:

$f=a_{0}+q+\sum _{i=2}^{\infty }a_{i}q^{i}$

где q = е ^{2 шт.} . Поскольку функция f также является собственным вектором для каждого оператора Гекке , _Ti она имеет соответствующее собственное значение. Более конкретно, i _, i ≥ 1 оказывается собственным значением f, соответствующим оператору Гекке Ti _. a В случае, когда f не является формой возврата, собственные значения могут быть заданы явно.

Аналитическая нормализация

Собственную форму, которая является каспидальной, можно нормализовать относительно ее внутреннего продукта :

$\langle f,f\rangle =1\,$

Существование

Существование собственных форм — нетривиальный результат, но он напрямую вытекает из того факта, что алгебра Гекке коммутативна.

Более высокие уровни

В случае, когда модулярная группа не является полной SL(2, Z ), не существует оператора Гекке для каждого n ∈ Z , и поэтому определение собственной формы соответственно изменяется: собственная форма — это модулярная форма, которая одновременный собственный вектор для всех операторов Гекке, действующих в пространстве.

В кибернетике

В кибернетике понятие собственной формы понимается как пример рефлексивной системы. Он играет важную роль в творчестве Хайнца фон Ферстера . и «неразрывно связана с кибернетикой второго порядка ».