операция Адамса

В математике операция Адамса , обозначаемая ψ ^к для натуральных чисел k — это когомологическая операция в топологической K-теории или любая родственная операция в алгебраической K-теории или других типах алгебраических конструкций, определенная по образцу, введенному Фрэнком Адамсом . Основная идея состоит в том, чтобы реализовать некоторые фундаментальные тождества в теории симметричных функций на уровне векторных расслоений или других представляющих объектов в более абстрактных теориях.

В более общем смысле операции Адамса можно определить в любом λ-кольце .

Операции Адамса в К-теории

Операции Адамса ψ ^к по теории К (алгебраической или топологической) характеризуются следующими свойствами.

1. п ^к являются кольцевыми гомоморфизмами .
2. п ^к (л)= л ^к если l — класс линейного расслоения .
3. п ^к являются функториальными .

Основная идея состоит в том, что для векторного расслоения V на топологическом пространстве X существует аналогия между операторами Адамса и внешними степенями , в которой

п ^к ( V ) относится к Λ ^к ( V )

как

S сумма степеней a ^к соответствует k -й элементарной симметрической функции σ _k

корней α многочлена P ( t ) . (Ср. тождества Ньютона .) Здесь Λ ^к обозначает k -ю внешнюю степень. классической алгебры известно, что степенные суммы представляют собой некоторые целые многочлены Qk _Из от _σk . Идея состоит в том, чтобы применить те же полиномы к Λ ^к ( V ), заменяя σ _k . Это вычисление можно определить в K -группе, в которой векторные расслоения можно формально объединять путем сложения, вычитания и умножения ( тензорного произведения ). Полиномы здесь называются полиномами Ньютона (но не полиномами Ньютона теории интерполяции ).

Обоснование ожидаемых свойств исходит из случая линейного расслоения, где V — Уитни сумма линейных расслоений . В этом частном случае результатом любой операции Адамса, естественно, является векторное расслоение, а не линейная комбинация единиц в K -теории. Формальный подход к прямым факторам линейного расслоения как к корням является довольно стандартным в алгебраической топологии (см. теорему Лере – Хирша ). В общем, механизм сведения к этому случаю исходит из принципа расщепления векторных расслоений.

Операции Адамса в теории представления групп

Операция Адамса имеет простое выражение в теории представлений групп . Пусть G — группа и ρ — представление G с характером χ. Представление ψ ^к (ρ) имеет характер

$\chi _{\psi ^{k}(\rho )}(g)=\chi _{\rho }(g^{k})\ .$

Ссылки

• Адамс, Дж. Ф. (май 1962 г.). «Векторные поля на сферах». Анналы математики . Вторая серия. 75 (3): 603–632. дои : 10.2307/1970213 . JSTOR   1970213 . Збл   0112.38102 .