Модель пути Литтельмана

В математике модель пути Литтельмана — это комбинаторное устройство Питера Литтельмана для вычисления кратностей без пересчета в теории представлений симметризуемых алгебр Каца–Муди . Его наиболее важное применение — к комплексным полупростым алгебрам Ли или, что эквивалентно, компактным полупростым группам Ли , случай, описанный в этой статье. Кратности в неприводимых представлениях , тензорных произведениях и правилах ветвления можно вычислить с помощью цветного ориентированного графа с метками, заданными простыми корнями алгебры Ли.

Разработанная как мост между теорией кристаллических базисов , возникшей в результате работ Кашивары и Люстига о квантовых группах , и теорией стандартной мономиальной К.С. Сешадри и Лакшмибая, модель путей Литтельмана сопоставляет каждому неприводимому представлению рациональное векторное пространство с базисом, заданным путями из начало координат веса, а также пару корневых операторов, действующих на пути для каждого простого корня . Это дает прямой способ восстановить алгебраические и комбинаторные структуры, ранее открытые Кашиварой и Люстигом, с использованием квантовых групп.

Предыстория и мотивация

Некоторые из основных вопросов теории представлений комплексных полупростых алгебр Ли или компактных полупростых групп Ли, восходящие к Герману Вейлю, включают: ^[1]^[2]

Для заданного доминирующего веса λ найдите кратности весов в неприводимом представлении L (λ) со старшим весом λ.
Для двух старших весов λ, µ найдите разложение их тензорного произведения L (λ) $\otimes$ L (μ) на неприводимые представления.
Предположим, что ${\mathfrak {g}}_{1}$ — компонента Леви параболической подалгебры полупростой алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ . Для данного доминирующего старшего веса λ определите правило ветвления для разложения ограничения L ( λ ) на ${\mathfrak {g}}_{1}$ . ^[3]

(Обратите внимание, что первая проблема о весовых кратностях является частным случаем третьей, в которой параболическая подалгебра является борелевской подалгеброй. Более того, проблема ветвления Леви может быть включена в проблему тензорного произведения как определенный предельный случай.)

Ответы на эти вопросы были впервые предоставлены Германом Вейлем и Рихардом Брауэром как следствие явных формул характера . ^[4] за которыми последовали более поздние комбинаторные формулы Ганса Фройденталя , Роберта Штейнберга и Бертрама Костанта ; см. Хамфрис (1994) . Неудовлетворительной особенностью этих формул является то, что в них используются попеременные суммы величин, заранее заведомо неотрицательных. Метод Литтельмана выражает эти кратности как суммы неотрицательных целых чисел без чрезмерного подсчета . Его работа обобщает классические результаты, основанные на таблицах Юнга для общей линейной алгебры Ли. ${\mathfrak {gl}}$ _n или специальная линейная алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}$ _н : ^[5]^[6]^[7]^[8]

Результат Иссаи Шура в его диссертации 1901 года о том, что весовые кратности можно рассчитывать в терминах таблиц Юнга со строгими столбцами (т.е. слабо возрастающих вправо по строкам и строго возрастающих вниз по столбцам).
Знаменитое правило Литтлвуда – Ричардсона , которое описывает как разложение тензорного произведения, так и ветвление от ${\mathfrak {gl}}$ _{м + н,} чтобы ${\mathfrak {gl}}$ _м $\oplus$ ${\mathfrak {gl}}$ _n в терминах решетчатых перестановок косых таблиц.

Попытки найти подобные алгоритмы без пересчета для других классических алгебр Ли увенчались лишь частичным успехом. ^[9]

Вклад Литтельмана состоял в том, чтобы создать единую комбинаторную модель, которая применялась ко всем симметризуемым алгебрам Каца – Муди и предоставила явные комбинаторные формулы без вычитаний для весовых кратностей, правила тензорного произведения и правила ветвления . Он достиг этого, введя векторное пространство V над Q, порожденное решеткой весов Картана подалгебры ; в векторном пространстве кусочно-линейных путей в V, соединяющих начало координат с весом, он определил пару корневых операторов для каждого простого корня ${\mathfrak {g}}$ .Комбинаторные данные можно закодировать в виде цветного ориентированного графа с метками, заданными простыми корнями.

Основная мотивация Литтельмана ^[10] заключалась в том, чтобы примирить два разных аспекта теории репрезентации:

Стандартная мономиальная теория Лакшмибая и Сешадри, вытекающая из геометрии многообразий Шуберта .
Кристаллические основы , возникающие в подходе к квантовым группам Масаки Кашивары и Джорджа Люстига . Кашивара и Люстиг построили канонические базисы представлений деформаций универсальной обертывающей алгебры ${\mathfrak {g}}$ в зависимости от формального параметра деформации q . В вырожденном случае, когда q = 0, они дают кристаллические базисы вместе с парами операторов, соответствующими простым корням; см. Арики (2002) .

Позже было показано, что кристаллический базис, его корневые операторы и кристаллический граф, хотя и определены по-разному, эквивалентны модели и графу пути Литтельмана; см. Hong & Kang (2002 , стр. xv). существует упрощенное автономное объяснение, В случае сложных полупростых алгебр Ли в Литтельманне (1997) основанное только на свойствах корневых систем ; здесь применяется этот подход.

Определения

Пусть P — решетка весов в двойственной подалгебре Картана полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ .

Путь Литтельмана — это кусочно-линейное отображение

\pi :[0,1]\cap \mathbf {Q} \rightarrow P\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q}

такой, что π(0) = 0 и π(1) — вес .

Пусть ( H _α ) — базис ${\mathfrak {h}}$ состоящие из «кокорневых» векторов, двойственных базису ${\mathfrak {h}}$ * образовано простыми корнями (α). При фиксированных α и пути π функция $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ минимальное значение М. имеет

Определите неубывающие самоотображения l и r из [0,1] $\cap$ Вопрос от

l(t)=\min _{t\leq s\leq 1}(1,h(s)-M),\,\,\,\,\,\,r(t)=1-\min _{0\leq s\leq t}(1,h(s)-M).

Таким образом, l ( t ) = 0 до последнего раза, когда h ( s ) = M и r ( t ) = 1 после первого раза, когда h ( s ) = M. ,

Определим новые пути π _l и π _r с помощью

\pi _{r}(t)=\pi (t)+r(t)\alpha ,\,\,\,\,\,\,\pi _{l}(t)=\pi (t)-l(t)\alpha

Корневые операторы e _α и f _α определяются на базисном векторе [π] формулами

$\displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}$ если r (0)=0 и 0 в противном случае;
$\displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}$ если l (1) = 1 и 0 в противном случае.

Ключевой особенностью здесь является то, что пути образуют основу для корневых операторов, подобно мономиальному представлению : когда корневой оператор применяется к базовому элементу пути, результатом является либо 0, либо базовый элемент для другого пути.

Характеристики

Позволять ${\mathcal {A}}$ — алгебра, порожденная корневыми операторами. Пусть π( t ) — путь, полностью лежащий внутри положительной камеры Вейля, определяемой простыми корнями. Используя результаты модели пути К.С. Сешадри и Лакшмибая, Литтельманн показал, что

тот ${\mathcal {A}}$ -модуль, порожденный [π] зависит только от π(1) = λ и имеет Q -базис, состоящий из путей [σ];
кратность веса µ в интегрируемом представлении старшего веса L (λ) равна числу путей σ, для которых σ(1) = µ.

Существует также действие группы Вейля на путях [π]. Если α — простой корень и k = h (1) с h , как указано выше, то соответствующее отражение s _α действует следующим образом:

s _α [π] = [π], если k = 0;
s _α [π]= f _α^к [π], если k > 0;
s _а [π]= е _а^{– к} [π], если k < 0.

Если π — путь, полностью лежащий внутри положительной камеры Вейля, граф Литтельмана ${\mathcal {G}}_{\pi }$ определяется как цветной ориентированный граф, вершинами которого являются ненулевые пути, полученные последовательным применением операторов f _α к π. Существует направленная стрелка от одного пути к другому, помеченная простым корнем α, если целевой путь получен из исходного пути путем применения f _α .

Графы Литтельмана двух путей изоморфны цветным ориентированным графам тогда и только тогда, когда пути имеют одну и ту же конечную точку.

Таким образом, граф Литтельмана зависит только от λ. Кашивара и Джозеф доказали, что он совпадает с «кристаллическим графом», определенным Кашиварой в теории кристаллических оснований.

Приложения

Формула персонажа

Если π(1) = λ, кратность веса µ в L (λ) равна числу вершин σ в графе Литтельмана. ${\mathcal {G}}_{\pi }$ с σ(1) = m.

Обобщенное правило Литтлвуда – Ричардсона

Пусть π и σ — пути в положительной камере Вейля с π(1) = λ и σ(1) = µ. Затем

L(\lambda )\otimes L(\mu )=\bigoplus _{\eta }L(\lambda +\tau (1)),

где τ колеблется по путям в ${\mathcal {G}}_{\sigma }$ такой, что π $\star$ τ целиком лежит в положительной камере Вейля иконкатенация π $\star$ τ (t) определяется как π(2 t ) для t ⩽ 1/2 и π(1) + τ( 2 t – 1) для t ≥ 1/2.

Правило ветвления

Если ${\mathfrak {g}}_{1}$ является компонентой Леви параболической подалгебры ${\mathfrak {g}}$ с весовой решеткой П ₁ $\supset$ П тогда

L(\lambda )|_{{\mathfrak {g}}_{1}}=\bigoplus _{\sigma }L_{{\mathfrak {g}}_{1}}(\sigma (1)),

где сумма распространяется по всем путям σ в ${\mathcal {G}}_{\pi }$ которые целиком лежат в положительной камере Вейля для ${\mathfrak {g}}_{1}$ .

См. также

Кристаллическая основа

Примечания

^ Вейль 1953 г.
^ Хамфрис 1994
^ Каждая комплексная полупростая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ является комплексификацией алгебры Ли компактной связной односвязной полупростой группы Ли. Подалгебра ${\mathfrak {g}}_{1}$ соответствует замкнутой подгруппе максимального ранга, т. е. содержащей максимальный тор.
^ Вейль 1953 , с. 230 312. «Правила Брауэра-Вейля» для ограничения на подгруппы максимального ранга и для тензорных произведений были разработаны независимо Брауэром (в его диссертации о представлениях ортогональных групп) и Вейлем (в его работах о представлениях компактных полупростых групп Ли).
^ Литтлвуд 1950
^ Макдональд 1998
^ Сундарам 1990
^ Король 1990
^ Вклад внесли многочисленные авторы, в том числе физик Р. К. Кинг и математики С. Сундарам, И. М. Гельфанд , А. Зелевинский и А. Беренштейн. Обзоры Кинга (1990) и Сундарама (1990) дают варианты таблиц Юнга , которые можно использовать для вычисления весовых кратностей, правил ветвления и тензорных произведений с фундаментальными представлениями для остальных классических алгебр Ли. Беренштейн и Зелевинский (2001) обсуждают, как их метод использования выпуклых многогранников , предложенный в 1988 году, связан с путями Литтельмана и кристаллическими основаниями.
^ Литтельманн 1997

Ссылки

Арики, Сусуму (2002), Представления квантовых алгебр и комбинаторика таблиц Юнга , Серия университетских лекций, том. 26, Американское математическое общество, ISBN. 0821832328
Беренштейн, Аркадий; Зелевинский, Андрей (2001), "Тензорные кратности произведений, канонические базисы и вполне положительные многообразия", Инвент. Математика. , 143 (1): 77–128, arXiv : math/9912012 , Bibcode : 2001InMat.143...77B , doi : 10.1007/s002220000102 , S2CID 17648764
Хун, Джин; Кан, Сок-Джин (2002), Введение в квантовые группы и кристаллические основы , Аспирантура по математике , том. 42, Американское математическое общество, ISBN. 0821828746
Кинг, Рональд К. (1990), «S-функции и характеры алгебр и супералгебр Ли», Институт математики и ее приложений , IMA Vol. Математика. Appl., 19 , Springer-Verlag: 226–261, Бибкод : 1990IMA....19..226K
Хамфрис, Джеймс Э. (1994), Введение в алгебры Ли и теорию представлений (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90053-5
Литтельманн, Питер (1994), «Правило Литтлвуда-Ричардсона для симметризуемых алгебр Каца-Муди», Invent. Математика. , 116 : 329–346, Бибкод : 1994InMat.116..329L , doi : 10.1007/BF01231564 , S2CID 85546837
Литтельманн, Питер (1995), «Пути и корневые операторы в теории представлений», Ann. математики. , 142 (3), Анналы математики: 499–525, doi : 10.2307/2118553 , JSTOR 2118553
Литтельманн, Питер (1997), "Характеристики представлений и путей в ${\mathfrak {h}}$ _R *», Proceedings of Symposium in Pure Mathematics , 61 , Американское математическое общество: 29–49, doi : 10.1090/pspum/061/1476490 [учебный курс]
Литтлвуд, Дадли Э. (1977) [1950], Теория групповых характеров и матричные представления групп , Серия публикаций AMS Chelsea, том. 357 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-7435-6
Макдональд, Ян Г. (1998) [1979], Симметричные функции и полиномы Холла , Оксфордские математические монографии (2-е изд.), Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850450-4
Матье, Оливье (1995), Модель путей, Презентация № 798 , Семинар Бурбаки (asterique), том. 37
Сундарам, Шейла (1990), «Таблицы в теории представлений классических групп Ли», Институт математики и ее приложений , IMA Vol. Математика. Appl., 19 , Springer-Verlag: 191–225, Бибкод : 1990IMA....19..191S
Вейль, Герман (2016) [1953], Классические группы: их инварианты и представления (PMS-1) , Принстонские ориентиры в математике и физике, том. 45 (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN 978-1-4008-8390-5

[1] Вейль 1953 г.

[2] Хамфрис 1994

[3] Каждая комплексная полупростая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ является комплексификацией алгебры Ли компактной связной односвязной полупростой группы Ли. Подалгебра ${\mathfrak {g}}_{1}$ соответствует замкнутой подгруппе максимального ранга, т. е. содержащей максимальный тор.

[4] Вейль 1953 , с. 230 312. «Правила Брауэра-Вейля» для ограничения на подгруппы максимального ранга и для тензорных произведений были разработаны независимо Брауэром (в его диссертации о представлениях ортогональных групп) и Вейлем (в его работах о представлениях компактных полупростых групп Ли).

[5] Литтлвуд 1950

[6] Макдональд 1998

[7] Сундарам 1990

[8] Король 1990

[9] Вклад внесли многочисленные авторы, в том числе физик Р. К. Кинг и математики С. Сундарам, И. М. Гельфанд , А. Зелевинский и А. Беренштейн. Обзоры Кинга (1990) и Сундарама (1990) дают варианты таблиц Юнга , которые можно использовать для вычисления весовых кратностей, правил ветвления и тензорных произведений с фундаментальными представлениями для остальных классических алгебр Ли. Беренштейн и Зелевинский (2001) обсуждают, как их метод использования выпуклых многогранников , предложенный в 1988 году, связан с путями Литтельмана и кристаллическими основаниями.

[10] Литтельманн 1997

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]