Ограниченное представительство

В теории групп ограничение формирует представление подгруппы , используя известное представление всей группы . Ограничение — фундаментальная конструкция теории представлений групп. Часто ограниченное представление проще понять. Правила разложения ограничения неприводимого представления на неприводимые представления подгруппы называются правилами ветвления и имеют важные приложения в физике . Например, при явном нарушении симметрии группа симметрии задачи сводится от всей группы к одной из ее подгрупп. В квантовой механике это снижение симметрии проявляется как расщепление вырожденных энергетических уровней на мультиплеты , как в эффекте Штарка или Зеемана .

Индуцированное представление — это родственная операция, которая формирует представление всей группы из представления подгруппы. Связь между ограничением и индукцией описывается взаимностью Фробениуса и теоремой Макки. Ограничение на нормальную подгруппу ведет себя особенно хорошо и часто называется теорией Клиффорда в честь теоремы А. Х. Клиффорда. ^[1] Ограничение может быть обобщено на другие гомоморфизмы групп и на другие кольца .

Для любой группы G , ее подгруппы H и линейного представления ρ группы G ограничение ρ на H обозначается

\rho \,{\Big |}_{H}

является представлением H в том же векторном пространстве теми же операторами:

\rho \,{\Big |}_{H}(h)=\rho (h).

Классические правила ветвления

Классические правила ветвления описывают ограничение неприводимого комплексного представления ( $π$ , V ) классической группы G на классическую подгруппу H , т.е. кратность, с которой неприводимое представление ( σ , W ) группы H встречается в $π$ . По взаимности Фробениуса для компактных групп это эквивалентно нахождению кратности $π$ в унитарном представлении, индуцированном из σ. Правила ветвления классических групп определялись формулой

Вейль (1946) между последовательными унитарными группами ;
Мурнаган (1938) между последовательными специальными ортогональными группами и унитарными симплектическими группами ;
Литтлвуд (1950) от унитарных групп к унитарным симплектическим группам и специальным ортогональным группам.

Результаты обычно выражаются графически с использованием диаграмм Юнга для кодирования сигнатур, используемых классически для обозначения неприводимых представлений, знакомых из классической теории инвариантов . Герман Вейль и Рихард Брауэр открыли систематический метод определения правила ветвления, когда группы G и H имеют общий максимальный тор : в этом случае группа Вейля группы H является подгруппой группы G , так что правило можно вывести из формула характера Вейля . ^[2]^[3] Систематическая современная интерпретация была дана Хоу (1995) в контексте его теории дуальных пар . Частный случай, когда σ является тривиальным представлением H, впервые широко использовался Хуа в его работе о ядрах Сеге ограниченных симметричных областей нескольких комплексных переменных , где граница Шилова имеет форму G / H . ^[4]^[5] В более общем смысле теорема Картана-Хельгасона дает разложение, когда G / H является компактным симметричным пространством, и в этом случае все кратности равны единице; ^[6] обобщение на произвольный σ с тех пор было получено Костантом (2004) . Подобные геометрические соображения были также использованы Кнаппом (2003) для повторного вывода правил Литтлвуда, которые включают знаменитые правила Литтлвуда-Ричардсона для тензорирования неприводимых представлений унитарных групп. Литтельманн (1995) нашел обобщения этих правил на произвольные компактные полупростые группы Ли , используя свою модель путей теории представлений, близкий по духу к теории кристаллических базисов Люстига — подход к и Кашивары . Его методы дают правила ветвления для ограничений на подгруппы, содержащие максимальный тор. Изучение правил ветвления важно в классической теории инвариантов и ее современном аналоге — алгебраической комбинаторике . ^[7]^[8]

Пример . Унитарная группа U ( N ) имеет неприводимые представления, помеченные сигнатурами

\mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}

где f _i являются целыми числами. Фактически, если унитарная матрица U имеет собственные значения z _i , то характер соответствующего неприводимого представления $π$ _f определяется выражением

\operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i} \over \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})}.

Правило ветвления от U ( N ) к U ( N – 1) гласит, что

\pi _{\mathbf {f} }|_{U(N-1)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{N-1}\geq g_{N-1}\geq f_{N}}\pi _{\mathbf {g} }

Пример . Унитарная симплектическая группа или кватернионная унитарная группа , обозначаемая Sp( N ) или U ( N , H ), является группой всех преобразований ЧАС ^Н которые коммутируют с правым умножением на кватернионы H и сохраняют H -значное эрмитово скалярное произведение

(q_{1},\ldots ,q_{N})\cdot (r_{1},\ldots ,r_{N})=\sum r_{i}^{*}q_{i}

на Ч ^Н, где q * обозначает кватернион, сопряженный с q . Реализуя кватернионы как комплексные матрицы 2 x 2, группа Sp( N ) представляет собой просто группу блочных матриц ( q _ij ) в SU(2 N ) с

q_{ij}={\begin{pmatrix}\alpha _{ij}&\beta _{ij}\\-{\overline {\beta }}_{ij}&{\overline {\alpha }}_{ij}\end{pmatrix}},

где αij и βij _числа — комплексные .

Каждая матрица U в Sp( N ) сопряжена с блочно-диагональной матрицей с элементами

q_{i}={\begin{pmatrix}z_{i}&0\\0&{\overline {z}}_{i}\end{pmatrix}},

где | z _я | = 1. Таким образом, собственные значения U равны ( z _i^±1). Неприводимые представления Sp( N ) помечены сигнатурами

\mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}\geq 0

где f _i являются целыми числами. Характер соответствующего неприводимого представления σ _f определяется выражением ^[9]

\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i+1}-z_{j}^{-f_{i}-N+i-1} \over \prod (z_{i}-z_{i}^{-1})\cdot \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}.

Правило ветвления от Sp( N ) к Sp( N – 1) гласит, что ^[10]

\sigma _{\mathbf {f} }|_{\mathrm {Sp} (N-1)}=\bigoplus _{f_{i}\geq g_{i}\geq f_{i+2}}m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )\sigma _{\mathbf {g} }

Здесь f _{N + 1} = 0, а кратность m ( f , g ) определяется выражением

m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\prod _{i=1}^{N}(a_{i}-b_{i}+1)

где

a_{1}\geq b_{1}\geq a_{2}\geq b_{2}\geq \cdots \geq a_{N}\geq b_{N}=0

- это невозрастающая перестановка 2 N неотрицательных целых чисел ( fi ₎ , ( g _j ) и 0.

Пример . Ветвление от U(2 N ) к Sp( N ) опирается на два тождества Литтлвуда : ^[11]^[12]^[13]^[14]

{\begin{aligned}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \Pi _{\mathbf {f} ,0}(z_{1},z_{1}^{-1},\ldots ,z_{N},z_{N}^{-1})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\\[5pt]={}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(z_{1},\ldots ,z_{N})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\cdot \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1},\end{aligned}}

где Π _{f ,0} — неприводимое представление U (2 N ) с сигнатурой f ₁ ≥ ··· ≥ f _N ≥ 0 ≥ ··· ≥ 0.

\prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1}=\sum _{f_{2i-1}=f_{2i}}\operatorname {Tr} \pi _{f}(z_{1},\ldots ,z_{N}),

где f _i ≥ 0.

Правило ветвления от U(2 N ) к Sp( N ) определяется выражением

\Pi _{\mathbf {f} ,0}|_{\mathrm {Sp} (N)}=\bigoplus _{\mathbf {h} ,\,\,\mathbf {g} ,\,\,g_{2i-1}=g_{2i}}M(\mathbf {g} ,\mathbf {h} ;\mathbf {f} )\sigma _{\mathbf {h} }

где все подписи неотрицательны, а коэффициент M ( g , h ; k ) представляет собой кратность неприводимого представления $π$ _k группы U ( N ) в тензорном произведении $π$ _g $\otimes$ $π$ _ч . Он задается комбинаторно правилом Литтлвуда-Ричардсона, количеством перестановок решетки косой диаграммы k / h веса g . ^[8]

, стр. 203) распространил правило ветвления Литтлвуда на произвольные сигнатуры Сундарам (1990 . Коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона M ( g , h ; f ) расширены, чтобы позволить сигнатуре f иметь 2 N частей, но ограничивают g иметь четные длины столбцов ( g _{2 i – 1} = g _{2 i} ). В этом случае формула читается

\Pi _{\mathbf {f} }|_{\operatorname {Sp} (N)}=\bigoplus _{\mathbf {h} ,\,\,\mathbf {g} ,\,\,g_{2i-1}=g_{2i}}M_{N}(\mathbf {g} ,\mathbf {h} ;\mathbf {f} )\sigma _{\mathbf {h} }

где M _N ( g , h ; f ) подсчитывает количество перестановок решетки f / h веса g , для которых 2 j + 1 появляется не ниже, чем строка N + j функции f для 1 ≤ j ≤ | г |/2.

Пример . Специальная ортогональная группа SO( N ) имеет неприводимые обычные и спиновые представления, помеченные сигнатурами ^[2]^[7]^[15]^[16]

$f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ для N = 2 n ;
$f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ для N = 2 n +1.

Fi для обычных представлений и _Z берутся в Z в ½ + для спиновых представлений. Действительно, если ортогональная матрица U имеет собственные значения z _i^±1 для 1 ⩽ i ⩽ n характер соответствующего неприводимого представления $π$ _f определяется выражением

\operatorname {Tr} \,\pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+n-i}+z_{j}^{-f_{i}-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}

для N = 2 n и

\operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+1/2+n-i}-z_{j}^{-f_{i}-1/2-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})\cdot \prod _{k}(z_{k}^{1/2}-z_{k}^{-1/2})}

для N = 2 n +1.

Правила ветвления от SO( N ) к SO( N – 1) гласят, что ^[17]

\pi _{\mathbf {f} }|_{SO(2n)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq g_{n-1}\geq f_{n}\geq |g_{n}|}\pi _{\mathbf {g} }

для N = 2 n + 1 и

\pi _{\mathbf {f} }|_{SO(2n-1)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq g_{n-1}\geq |f_{n}|}\pi _{\mathbf {g} }

для N = 2 n , где разности f _i − g _i должны быть целыми числами.

Базис Гельфанда–Цетлина.

Поскольку правила ветвления из $U(N)$ к $U(N-1)$ или $SO(N)$ к $SO(N-1)$ имеют кратность единица, неприводимые слагаемые, соответствующие все меньшему и меньшему N, в конечном итоге окажутся в одномерных подпространствах. Таким образом Гельфанд и Цетлин смогли получить базис любого неприводимого представления $U(N)$ или $SO(N)$ помечены цепочкой чередующихся сигнатур, называемой паттерном Гельфанда-Цетлина .Явные формулы действия алгебры Ли на базисе Гельфанда–Цетлина приведены в Желобенко (1973) . В частности, для $N=3$ , базис Гельфанда-Тестлина неприводимого представления $SO(3)$ с размером $2l+1$ задается комплексными сферическими гармониками $\{Y_{m}^{l}|-l\leq m\leq l\}$ .

Для остальной классической группы $Sp(N)$ , ветвление больше не является свободным от кратности, так что, если V и W являются неприводимым представлением $Sp(N-1)$ и $Sp(N)$ пространство переплетений $Hom_{Sp(N-1)}(V,W)$ может иметь размерность больше единицы. Оказывается, Янгиан $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ , алгебра Хопфа, введенная Людвигом Фаддеевым и его сотрудниками , действует неприводимо на этом пространстве кратностей, и этот факт позволил Молеву (2006) расширить конструкцию базисов Гельфанда–Цетлина на $Sp(N)$ . ^[18]

Теорема Клиффорда

В 1937 году Альфред Х. Клиффорд доказал следующий результат об ограничении конечномерных неприводимых представлений группы G на нормальную подгруппу N конечного индекса : ^[19]

Теорема . Let $Пусть π$ : G $\rightarrow$ GL( n , K ) — неприводимое представление с K — полем . Затем ограничение $π$ на N распадается в прямую сумму неприводимых представлений N равных размерностей. Эти неприводимые представления N лежат на одной орбите действия G путем сопряжения на классах эквивалентности неприводимых представлений N . В частности, количество различных слагаемых не превышает индекс N в G .

Двадцать лет спустя Джордж Макки нашел более точную версию этого результата для ограничения неприводимых унитарных представлений на локально компактных групп замкнутые нормальные подгруппы в том, что стало известно как «машина Макки» или «анализ нормальных подгрупп Макки». ^[20]

Абстрактная алгебраическая установка

С точки зрения теории категорий ограничение является примером забывчивого функтора . Этот функтор точен , и его левый сопряженный функтор называется индукцией . Связь между ограничением и индукцией в различных контекстах называется взаимностью Фробениуса. В совокупности операции индукции и ограничения образуют мощный набор инструментов для анализа представлений. Это особенно верно всякий раз, когда представления обладают свойством полной сводимости , например в теории представлений конечных групп над полем характеристики нулевой .

Обобщения

Эту довольно очевидную конструкцию можно расширить многими и значительными способами. Например, мы можем взять любой групповой гомоморфизм φ из H в G вместо отображения включения и определить ограниченное представление H композицией

\rho \circ \varphi \,

Мы также можем применить эту идею к другим категориям абстрактной алгебры : ассоциативным алгебрам , кольцам, алгебрам Ли , супералгебрам Ли , алгебрам Хопфа и многим другим. Представления или модули ограничиваются подобъектами или гомоморфизмами.

Примечания

^ Вейль 1946 , стр. 159–160.
^ Jump up to: ^а ^б Вейль 1946 г.
^ Желобенко 1973
^ Хельгасон 1978
^ Результаты 1963 г.
^ Хельгасон 1984 , стр. 534–543
^ Jump up to: ^а ^б Гудман и Уоллах, 1998 г.
^ Jump up to: ^а ^б Макдональд 1979 г.
^ Вейль 1946 , с. 218
^ Гудман и Уоллах 1998 , стр. 351–352, 365–370.
^ Литтлвуд 1950
^ Вейль 1946 , стр. 216–222.
^ Койке и Терада 1987
^ Макдональд 1979 , с. 46
^ Литтлвуд 1950 , стр. 223–263.
^ Мурнаган 1938 г.
^ Гудман и Уоллах 1998 , с. 351
^ Г. И. Ольшанский показал, что искаженный янгиан $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ , субалгебра Хопфа $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ , естественно действует на пространстве переплетчиков. Его естественные неприводимые представления соответствуют тензорным произведениям композиции точечных оценок с неприводимыми представлениями ${\mathfrak {gl}}$ ₂ . Они распространяются на Янгиан $Y({\mathfrak {gl}})$ и дать теоретическое объяснение формы произведения коэффициентов ветвления.
^ Вейль 1946 , стр. 159–160, 311.
^ Макки, Джордж В. (1976), Теория представлений унитарных групп , Чикагские лекции по математике, ISBN 978-0-226-50052-2

Ссылки

Гудман, Роу; Уоллах, Нолан (1998), Представления и инварианты классических групп , Энциклопедия Math. Приложение, вып. 68, Издательство Кембриджского университета
Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press
Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: Интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Чистая и прикладная математика, том. 113, Академическое издательство, ISBN 978-0-12-338301-3
Хоу, Роджер (1995), Перспективы теории инвариантов, Лекции Шура, 1992 , Israel Math. Конф. Учеб., вып. 8, Американское математическое общество, стр. 1–182.
Хоу, Роджер ; Тан, Энг-Чье; Вилленбринг, Джеб Ф. (2005), «Стабильные правила ветвления для классических симметричных пар», Trans. амер. Математика. Соц. , 357 (4): 1601–1626, номер документа : 10.1090/S0002-9947-04-03722-5.
Хуа, Л.К. (1963), Гармонический анализ функций нескольких комплексных переменных в классических областях , Американское математическое общество
Кнапп, Энтони В. (2003), «Геометрические интерпретации двух теорем ветвления Д.Э. Литтлвуда», Journal of Algebra , 270 (2): 728–754, doi : 10.1016/j.jalgebra.2002.11.001
Койке, Кадзухико; Терада, Итару (1987), «Диаграмматические методы Янга для теории представлений классических групп типа Bn _, Cn _, Dn _» , Journal of Algebra , 107 (2): 466–511, doi : 10.1016/0021 -8693(87)90099-8
Костант, Бетрам (2004), Закон ветвления для подгрупп, фиксированных инволюцией, и некомпактный аналог теоремы Бореля-Вейля , Progr. Матем., вып. 220, Биркхойзер, стр. 291–353, arXiv : math.RT/0205283 , Бибкод : 2002math......5283K
Литтельманн, Питер (1995), «Пути и корневые операторы в теории представлений», Annals of Mathematics , 142 (3): 499–525, doi : 10.2307/2118553 , JSTOR 2118553
Литтлвуд, Дадли Э. (1950), Теория групповых характеров и матричные представления групп , Oxford University Press
Макдональд, Ян Г. (1979), Симметричные функции и полиномы Холла , Oxford University Press
Молев А.И. (1999), "Основы представлений симплектических алгебр Ли", Сообщение. Математика. Физ. , 201 (3): 591–618, arXiv : math/9804127 , Bibcode : 1999CMaPh.201..591M , doi : 10.1007/s002200050570 , S2CID 17990182
Молев, А.И. (2006), "Базы Гельфанда-Цетлина для классических алгебр Ли", В "Справочнике по алгебре", Vol. 4, (М. Хазевинкель, ред.), Elsevier, стр. 109–170 , Справочник по алгебре, 4 , Elsevier: 109–170, arXiv : math/0211289 , Бибкод : 2002math.....11289M , ISBN 978-0-444-52213-9
Мурнаган, Фрэнсис Д. (1938), Теория представлений групп , Johns Hopkins Press
Слански, Ричард (1981), «Теория групп для построения унифицированных моделей», Physics Reports , 79 (1): 1–128, Бибкод : 1981PhR....79....1S , CiteSeerX 10.1.1.126.1581 , doi : 10.1016/0370-1573(81)90092-2 доступен онлайн.
Сундарам, Шейла (1990), «Таблицы в теории представлений классических групп Ли», Институт математики и ее приложений , IMA Vol. Математика. Appl., 19 : 191–225, Бибкод : 1990IMA....19..191S.
Вейль, Герман (1946), Классические группы , Princeton University Press
Желобенко, Д.П. (1973), Компактные группы Ли и их представления , Переводы математических монографий, т. 1, с. 40, Американское математическое общество

[1] Вейль 1946 , стр. 159–160.

[Weyl-2] Jump up to: ^а ^б Вейль 1946 г.

[3] Желобенко 1973

[4] Хельгасон 1978

[5] Результаты 1963 г.

[6] Хельгасон 1984 , стр. 534–543

[Goodman-7] Jump up to: ^а ^б Гудман и Уоллах, 1998 г.

[Macdonald-8] Jump up to: ^а ^б Макдональд 1979 г.

[9] Вейль 1946 , с. 218

[10] Гудман и Уоллах 1998 , стр. 351–352, 365–370.

[11] Литтлвуд 1950

[12] Вейль 1946 , стр. 216–222.

[13] Койке и Терада 1987

[14] Макдональд 1979 , с. 46

[15] Литтлвуд 1950 , стр. 223–263.

[16] Мурнаган 1938 г.

[17] Гудман и Уоллах 1998 , с. 351

[18] Г. И. Ольшанский показал, что искаженный янгиан $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ , субалгебра Хопфа $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ , естественно действует на пространстве переплетчиков. Его естественные неприводимые представления соответствуют тензорным произведениям композиции точечных оценок с неприводимыми представлениями ${\mathfrak {gl}}$ ₂ . Они распространяются на Янгиан $Y({\mathfrak {gl}})$ и дать теоретическое объяснение формы произведения коэффициентов ветвления.

[19] Вейль 1946 , стр. 159–160, 311.

[20] Макки, Джордж В. (1976), Теория представлений унитарных групп , Чикагские лекции по математике, ISBN 978-0-226-50052-2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]