Теория Клиффорда

В математике теория Клиффорда , введенная Альфредом Х. Клиффордом (1937) , описывает связь между представлениями группы и представлениями нормальной подгруппы.

Альфред Х. Клиффорд [ править ]

Альфред Х. Клиффорд доказал следующий результат об ограничении конечномерных неприводимых представлений группы G на нормальную подгруппу N конечного индекса :

Теорема Клиффорда [ править ]

Теорема . Пусть π: G → GL( n , K ) — неприводимое представление с K — полем . Тогда ограничение π на N распадается в прямую сумму неприводимых представлений N равных размерностей. Эти неприводимые представления N лежат на одной орбите действия G путем сопряжения на классах эквивалентности неприводимых представлений N . В частности, количество попарно неизоморфных слагаемых не превышает индекса N в G .

Теорема Клиффорда дает информацию об ограничении комплексного неприводимого характера конечной группы G на нормальную подгруппу N. Если µ — комплексный характер группы N , то для фиксированного элемента g из G другой характер, µ ^(г), из N можно построить, установив

\mu ^{(g)}(n)=\mu (gng^{-1})

для n в N. всех Символ μ ^(г) неприводимо тогда и только тогда, когда µ таков. Теорема Клиффорда утверждает, что если χ — комплексный неприводимый характер группы G, а µ — неприводимый характер группы N с

\langle \chi _{N},\mu \rangle \neq 0,

затем

\chi _{N}=e\left(\sum _{i=1}^{t}\mu ^{(g_{i})}\right),

где e и t — положительные целые числа, а каждый g _i — элемент G. Целые числа e и t делят индекс [ G : N ]. Целое число t является индексом подгруппы G , содержащей N , известной как инерционная подгруппа µ. Это

\{g\in G:\mu ^{(g)}=\mu \}

и часто обозначается

I_{G}(\mu ).

Элементы g _i можно считать представителями всех правых смежных классов подгруппы I _G (μ) в G .

Фактически, целое число e делит индекс

[I_{G}(\mu ):N],

хотя доказательство этого факта требует некоторого использования Шура теории проективных представлений .

Доказательство теоремы Клиффорда [ править ]

Доказательство теоремы Клиффорда лучше всего объяснить в терминах модулей (а теоретико-модульная версия работает для неприводимых модульных представлений ). Пусть K — поле, V — неприводимый K [ G ]-модуль, VN _— на N и U — неприводимый K [N]-подмодуль в VN _{его ограничение} . Для каждого g в G и n в N равенство $n.g.U=g.g^{-1}.n.g.U=g.U$ выполняется, поскольку N — нормальная подгруппа G. группы Следовательно, — неприводимый K [ N ]-подмодуль VN _gU и $\sum _{g\in G}g.U$ является K [ G ]-подмодулем модуля V должен быть всем модулем V. , следовательно, по неприводимости Теперь V _N выражается как сумма неприводимых подмодулей, и это выражение можно уточнить до прямой суммы. Теперь доказательство теоретико-характерной формулировки теоремы можно завершить в случае K = C . Пусть χ — характер G, заданный V , а µ — характер N предоставленный U. , Для каждого g из G C gU [ N ]-подмодуль µ имеет характер ^(г) и $\langle \chi _{N},\mu ^{(g)}\rangle =\langle \chi _{N}^{(g)},\mu ^{(g)}\rangle =\langle \chi _{N},\mu \rangle$ . Соответствующие равенства следуют из того, что χ — класс-функция группы G , а N — нормальная подгруппа. Целое число e, фигурирующее в формулировке теоремы, и есть эта общая кратность.

Клиффорда теоремы Следствие

Следствием часто используемой теоремы Клиффорда является то, что неприводимый характер х, фигурирующий в теореме, индуцируется неприводимым характером инерциальной подгруппы I _G (μ). Если, например, неприводимый характер χ примитивен (т. е. χ не индуцирован ни одной собственной подгруппой группы G ), то G = I _G (μ) и χ _N = e µ. Особенно часто это свойство примитивных характеров используется, когда N абелева, а х точен (т. е. его ядро содержит только единичный элемент). В этом случае µ является линейным, N представляется скалярными матрицами в любом представлении, дающем характер χ, и, образом, N содержится в центре G таким . Например, если G — симметрическая группа S ₄ , то G имеет точный комплексный неприводимый характер χ степени 3. Существует абелева нормальная подгруппа N порядка 4 (клейнова 4 -подгруппа), которая не содержится в центре Г . Следовательно, χ индуцируется из характера собственной подгруппы группы G , содержащей N. Единственная возможность состоит в том, что χ индуцируется из линейного характера силовской группы G. 2 -подгруппа группы G .

Дальнейшие разработки [ править ]

Теорема Клиффорда привела к созданию отдельной ветви теории представлений, ныне известной как теория Клиффорда . Это особенно актуально для теории представлений конечных разрешимых групп, где обычно имеется множество нормальных подгрупп. Для более общих конечных групп теория Клиффорда часто позволяет свести вопросы теории представлений к вопросам о группах, которые близки (в том смысле, который можно уточнить) к простым.

Джордж Макки (1976) нашел более точную версию этого результата для ограничения неприводимых унитарных представлений на локально компактных групп замкнутые нормальные подгруппы в том, что стало известно как «машина Макки» или «анализ нормальных подгрупп Макки».

Ссылки [ править ]

Клиффорд, AH (1937), «Представления, индуцированные в инвариантной подгруппе», Annals of Mathematics , Second Series, 38 (3): 533–550, doi : 10.2307/1968599 , JSTOR 1968599 , PMC 1076873 , PMID 16588132
Макки, Джордж В. (1976), Теория представлений унитарных групп , Чикагские лекции по математике, ISBN 0-226-50051-9