Равномерно ограниченное представление

В математике равномерно ограниченное представление $T$ локально компактной группы $G$ в гильбертовом пространстве $H$ — гомоморфизм в ограниченные обратимые операторы, непрерывный для сильной операторной топологии и такой, что $\sup _{g\in G}\|T_{g}\|_{B(H)}$ конечно. В 1947 году Бела Секефальви-Надь установил, что любое равномерно ограниченное представление целых или действительных чисел унитаризуемо , то есть сопряжено обратимым оператором к унитарному представлению . Для целых чисел это дает критерий сходства обратимого оператора с унитарным оператором: операторные нормы всех положительных и отрицательных степеней должны быть равномерно ограничены. Результат об унитаризуемости равномерно ограниченных представлений был распространен в 1950 году Диксмье , Деем и Накамурой-Такедой на все локально компактные аменабельные группы , следуя по существу методу доказательства С-Надя. Известно, что результат неверен для неаменабельных групп, таких как SL(2, R ) и свободной группы с двумя образующими. Диксмье (1950) предположил, что локально компактная группа аменабельна тогда и только тогда, когда каждое равномерно ограниченное представление унитаризуемо.

Заявление

Пусть G — локально компактная аменабельная группа и пусть T _g — гомоморфизм G в GL ( H ), группу обратимых операторов в гильбертовом пространстве такой, что

• для каждого x в H векторнозначный gx на G непрерывен;
• операторные нормы операторов Tg _{равномерно} ограничены.

Тогда существует положительный обратимый оператор S на H такой, что S T _g S ⁻¹ унитарно для каждого g из G .

Как следствие, если T — обратимый оператор, все его положительные и отрицательные степени которого равномерно ограничены по операторной норме, то T сопряжен положительным обратимым оператором с унитарным.

Доказательство

По предположению непрерывные функции

$\displaystyle {f_{x,y}(g)=(T_{g}^{-1}x,T_{g}^{-1}y),}$

порождает сепарабельную единичную С*-подалгебру А равномерно ограниченных непрерывных функций G. на По построению алгебра инвариантна относительно левого смещения. По аменабельности существует инвариантное состояние φ на A . Отсюда следует, что

$\displaystyle {(x,y)_{0}=\varphi (f_{x,y})}$

— это новый внутренний продукт на H, удовлетворяющий

$\displaystyle {M^{-1}\|x\|\leq \|x\|_{0}\leq M\|x\|}$

где

$\displaystyle {M=\sup _{g}\|T_{g}\|<\infty .}$

Итак, существует положительный обратимый оператор P такой, что

$\displaystyle {(x,y)_{0}=(Px,y).}$

По конструкции

$\displaystyle {(T_{g}x,T_{g}y)_{0}=(x,y)_{0}.}$

Пусть S единственный положительный квадратный корень из P. — Затем

$\displaystyle {(ST_{g}x,ST_{g}y)=(PT_{g}x,T_{g}y)=(Px,y)=(Sx,Sy).}$

Применение S ⁻¹ к x и y , отсюда следует, что

$\displaystyle {(ST_{g}S^{-1}x,ST_{g}S^{-1}y)=(x,y).}$

Поскольку операторы

$\displaystyle {U_{g}=ST_{g}S^{-1}}$

обратимы, то, следовательно, они унитарны.

Примеры неунитаризуемых представлений

СЛ(2,Р)

Дополнительная серия неприводимых унитарных представлений SL(2,R) была введена Баргманном (1947) . Эти представления могут быть реализованы на функциях на окружности или на действительной прямой: преобразование Кэли обеспечивает унитарную эквивалентность между двумя реализациями.

Фактически для 0 < σ < 1/2 и f , g непрерывные функции на окружности определяют

$\displaystyle {(f,g)_{\sigma }={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(s){\overline {g(t)}}k_{\sigma }(s-t)\,ds\,dt,}$

где

$\displaystyle {k_{\sigma }(s)=(1-\cos s)^{\sigma -1/2}.}$

Поскольку функция k _σ интегрируема, этот интеграл сходится. Фактически

$\displaystyle {(f,g)_{\sigma }\leq \|f\|\cdot \|g\|,}$

где нормами являются обычные L ² нормы.

Функции

$\displaystyle {f_{m}(t)=e^{imt}}$

ортогональны

$\displaystyle {(f_{m},f_{m})_{\sigma }=\prod _{i=1}^{|m|}{i-1/2-\sigma \over i-1/2+\sigma }={\Gamma (1/2+\sigma )\Gamma (|m|+1/2-\sigma ) \over \Gamma (1/2-\sigma )\Gamma (m+1/2+\sigma )}.}$

Поскольку эти величины положительны, ( f , g ) _σ определяет скалярный продукт. Пополнение гильбертова пространства обозначается H _σ .

Для F , G непрерывных функций с компактным носителем на R определим

$\displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }F(x){\overline {G(y)}}|x-y|^{2\sigma -1}\,dx\,dy.}$

Поскольку, рассматриваемое как распределение, преобразование Фурье | х | ^{2с – 1} такое C _σ | т | ^-2р для некоторой положительной константы C _σ приведенное выше выражение можно переписать:

$\displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=C_{\sigma }\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {F}}(t){\overline {{\widehat {G}}(t)}}|t|^{-2\sigma }\,dt.}$

Следовательно, это внутренний продукт. Обозначим через H' _σ пополнение его гильбертова пространства.

Преобразование Кэли порождает оператор U :

$\displaystyle {Uf(x)=2^{\sigma /2-3/4}\pi ^{-1}|x+i|^{1-2\sigma }f\left({x-i \over x+i}\right).}$

U продолжается до изометрии H _σ на H ' _σ . Его сопряженное выражение имеет вид

$\displaystyle {U^{*}F(e^{it})=2^{3/4-\sigma /2}\pi |1-e^{it}|^{1-2\sigma }F\left({1+e^{it} \over 1-e^{it}}\right).}$

Преобразование Кэли заменяет действия преобразованиями Мёбиуса SU(1,1) на S ¹ и SL(2, R ) на R .

Оператор U переплетает соответствующие действия SU(1,1) на H _σ и SL(2, R ) на H ' _σ .

Для g в SU(1,1), заданном формулой

$\displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},}$

с

$\displaystyle {|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1,}$

и f непрерывный, установите

$\displaystyle {\pi _{\sigma }(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2\sigma }f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}$

Для g' в SL(2, R ), заданного формулой

$\displaystyle {g^{\prime }={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

с объявлением – bc = 1, устанавливаем

$\displaystyle {\pi _{\sigma }^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2\sigma }F\left({ax+b \over cx+d}\right).}$

Если g ' соответствует g при преобразовании Кэли, то

$\displaystyle {U\pi _{\sigma }(g)U^{*}=\pi _{\sigma }^{\prime }(g^{\prime }).}$

Полярное разложение показывает, что SL(2,R) = KAK с K = SO(2) и A - подгруппа положительных диагональных матриц. K соответствует диагональным матрицам в SU(1,1). Поскольку, очевидно, K действует унитарно на H _σ , а A действует унитарно на H ' _σ , то оба представления унитарны. Представления неприводимы, поскольку действие алгебры Ли на базисные векторы f _m неприводимо. Это семейство неприводимых унитарных представлений называется дополнительным рядом .

Эренпрейс и Маутнер (1955) построили аналитическое продолжение этого семейства представлений следующим образом. Если s = σ + iτ, g лежит в SU(1,1) и f в H _σ , определим

$\displaystyle {\pi _{s}(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2s}f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}$

Аналогично, если g ' лежит в SL(2, R ) и F в H ' _σ , определим

$\displaystyle {\pi _{s}^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2s}F\left({ax+b \over cx+d}\right).}$

Как и раньше, унитарное U переплетает эти два действия. K действует унитарно на H _σ и A посредством равномерно ограниченного представления на H ' _σ . Действие стандартного базиса комплексификационной алгебры Ли на этом базисе можно вычислить:

$\displaystyle {\pi _{s}(L_{0})f_{m}=mf_{m},\,\,\pi _{s}(L_{-1})f_{m}=-(m+1/2+s)f_{m+1},\,\,\pi _{s}(L_{1})f_{m}=-(m-1/2-s)f_{m-1}.}$

Если бы представление было унитаризуемым при τ ≠ 0, то оператор подобия T на H _σ должен был бы коммутировать с K , поскольку K сохраняет исходное скалярное произведение. Таким образом, векторы Tf _m по-прежнему будут ортогональны новому внутреннему продукту и операторы

$\displaystyle {L_{i}^{\prime }=TL_{i}T^{-1}}$

будет удовлетворять тем же отношениям для

$\displaystyle {f_{m}^{\prime }=Tf_{m}=\lambda _{m}f_{m}.}$

В этом случае

$\displaystyle {[L_{m}^{\prime },L_{n}^{\prime }]=(m-n)L_{m+n}^{\prime },\,\,(L_{i}^{\prime })^{*}=L_{-i}^{\prime }.}$

Элементарно проверить, что инфинитезимально такое представление не может существовать, если τ ≠ 0.

Действительно, пусть v ₀ = f ' ₀ и положим

$\displaystyle {v_{1}=L_{-1}^{\prime }v_{0}.}$

Затем

$\displaystyle {L_{1}^{\prime }v_{1}=cv_{0}}$

для некоторой постоянной c . С другой стороны,

$\displaystyle {\|v_{1}\|^{2}=(L_{-1}^{\prime }v_{0},v_{1})=(v_{0},L_{1}^{\prime }v_{1})={\overline {c}}\|v_{0}\|^{2}.}$

Таким образом, c должно быть реальным и положительным. Приведенные выше формулы показывают, что

$\displaystyle {c={1 \over 4}-s^{2}={1 \over 4}-\sigma ^{2}+\tau ^{2}-2i\sigma \tau ,}$

поэтому представление π _s унитаризуемо только в том случае, если τ = 0.

Свободная группа на двух генераторах

Группа G = SL(2, R ) содержит дискретную группу Γ = SL(2, Z ) как замкнутую подгруппу конечного кообъема, поскольку эта подгруппа действует в верхней полуплоскости с фундаментальной областью конечной гиперболической площади. Группа SL(2, Z ) содержит подгруппу индекса 12, изоморфную F _{2 с двумя образующими.} свободной группе Следовательно, G имеет подгруппу Γ ₁ конечного кообъема, изоморфную F ₂ . Если L — замкнутая подгруппа конечного кообъема в локально компактной группе G , а π — неунитаризуемое равномерно ограниченное представление группы G в гильбертовом пространстве L , то ее ограничение на L равномерно ограничено и неунитаризуемо. В противном случае, применяя ограниченный обратимый оператор, скалярное произведение можно сделать инвариантным относительно L ; а затем, в свою очередь, инвариантен относительно G , переопределив

$\displaystyle {(x,y)_{1}=\int _{H\backslash G}(gx,gy)\,dg.}$

Как и в предыдущем доказательстве, равномерная ограниченность гарантирует, что норма, определяемая этим скалярным произведением, равнаэквивалентно исходному внутреннему продукту. Но тогда исходное представление было бы унитаризуемым на G , противоречие. Тот же аргумент работает для любой дискретной подгруппы G конечного кообъема. В частности, поверхностные группы , которые являются кокомпактными подгруппами, имеют равномерно ограниченные представления, которые не унитаризуемы.

Существуют более прямые конструкции равномерно ограниченных представлений свободных групп, которые не являются унитаризуемыми: они рассмотрены в Pisier (2001) . Первые такие примеры описаны в Figà-Talamanca & Picardello (1983) , где построен аналог дополнительного ряда.

Позже Шварц (1988) предложил аналогичную, но более простую конструкцию гильбертова пространства H = $\ell$² ( F ₂ ) голоморфного семейства равномерно ограниченных представлений π _z группы F ₂ при |z| < 1; они неунитаризуемы, когда 1/√3 < | г | < 1 и z недействителен. Пусть L ( g ) обозначает приведенную длину слова в для _a заданного набора генераторов b , F2 . Пусть T — ограниченный оператор, определенный на базисных элементах формулой

$\displaystyle {Te_{1}=0,\,\,Te_{g}=e_{g^{\prime }},}$

где g ' получается стиранием последней буквы в выражении g как сокращенном слове; отождествляя F ₂ с вершинами его графа Кэли , корневого дерева, это соответствует переходу от вершины к следующей ближайшей вершине к началу координат или корню. Для |z| < 1

$\displaystyle {\pi _{z}(g)=(I-zT)^{-1}\lambda (g)(I-zT)}$

корректно определен на функциях с конечным носителем. Пытлик и Шварц (1986) ранее доказали, что оно распространяется до равномерно ограниченного представления на H, удовлетворяющего

$\displaystyle {\|\pi _{z}(g)\|\leq {1+|z| \over 1-|z|}.}$

На самом деле легко проверить, что оператор λ( г ) Т λ( г ) ⁻¹ – T имеет конечный ранг с диапазоном V _g , конечномерным пространством функций, поддерживаемым на множестве вершин, соединяющих g с началом координат. Для любой функции, исчезающей на этом конечном множестве, T и λ( g ) T λ( g ) ⁻¹ равны; и они оба оставляют инвариант V _g , на котором действуют как стягивания и сопряжения друг друга. Следовательно, если f имеет конечный носитель и норму 1,

$\displaystyle {\|\pi _{z}(g)f\|=\|\lambda (g)f+\sum _{n=0}^{\infty }z^{n+1}T^{n}[T,\lambda (g)]f\|\leq 1+2\sum _{n=0}^{n}|z|^{n+1}={1+|z| \over 1-|z|}.}$

Для |z| < 1/√3, все эти представления подобны регулярному представлению λ. Если, с другой стороны, 1/√3 < |z| <1, то оператор

$\displaystyle {D=\pi _{z}(a)+\pi _{z}(a^{-1})+\pi _{z}(b)+\pi _{z}(b^{-1})}$

удовлетворяет

$\displaystyle {Df=(3z+z^{-1})f}$

где f в H определяется выражением

$\displaystyle {f(1)=1,\,\,f(g)={3 \over 4}(3z)^{-L(g)}\,\,(g\neq 1).}$

Таким образом, если z недействителен, D имеет недействительное собственное значение. Но тогда π _z не может быть унитаризуемым, так как в противном случае D был бы подобен самосопряженному оператору.

Задача Диксмье

В 1950 году Жак Диксмье спросил, характеризуются ли аменабельные группы унитаризуемостью , то есть свойством, согласно которому все их равномерно ограниченные представления унитаризуемы. Эта проблема остается открытой и по сей день.

Элементарное индукционное рассуждение показывает, что подгруппа унитаризуемой группы остается унитаризуемой. Следовательно, гипотеза фон Неймана подразумевала бы положительный ответ на проблему Диксмье, если бы она была верной. В любом случае отсюда следует, что контрпримером к гипотезе Диксмье может быть только неаменабельная группа без свободных подгрупп. В частности, гипотеза Диксмье верна для всех линейных групп по альтернативе Титса .

Критерий Эпштейна и Моно показывает, что существуют также неунитаризуемые группы без свободных подгрупп. Фактически, даже некоторые группы Бернсайда не унитаризуемы, как показали Моно и Одзава.

Значительного прогресса добился Пизье , который связал унитаризуемость с понятием длины факторизации. Это позволило ему решить модифицированную форму задачи Диксмье.

Потенциальный разрыв между унитаризуемостью и аменабельностью можно дополнительно проиллюстрировать следующими открытыми проблемами, каждая из которых становится элементарной, если слово «унитаризуемый» заменить на «поддающийся»:

• Является ли унитаризуемым прямое произведение двух унитаризуемых групп?
• Является ли направленное объединение унитаризуемых групп унитаризуемым?
• Если $G$ содержит нормальную аменабельную подгруппу $N$ такой $G/N$ унитаризуемо, следует ли из этого, что $G$ является унитаризируемым? (это элементарно $G$ унитаризуемо, если $N$ это так и $G/N$ поддается.)

Ссылки

• С-Надь, Бела (1947), «О равномерно ограниченных линейных преобразованиях в гильбертовом пространстве» , Acta Univ. Сегед. Секта. наук. Математика. , 11 : 152–157
• Диксмье, Жак (1950), «Инвариантные средства в полугруппах и их приложения» , Acta Sci. Математика. Сегед , 12 :213–227.
• Дэй, Махлон М. (1950), «Средства для ограниченных функций и эргодичность ограниченных представлений полугрупп», Trans. амер. Математика. Соц. , 69 (2): 276–291, номер документа : 10.1090/s0002-9947-1950-0044031-5 , JSTOR   1990358.
• Эпштейн, Инесса; Моно, Николя (2009), «Неунитарные представления и случайные леса», Международные уведомления о математических исследованиях (22): 4336–4353, arXiv : 0811.3422 , doi : 10.1093/imrn/rnp090 , S2CID   14254765
• Накамура, Масахиро; Такеда, Зиро (1951), «Представление группы и банаховый предел», Tôhoku Mathematical Journal , 3 (2): 132–135, doi : 10.2748/tmj/1178245513
• Пизье, Жиль (2001), Проблемы подобия и полностью ограниченные отображения , Конспект лекций по математике, том. 1618 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3540415244
• Писье, Жиль (2005), Поддаются ли унитаризуемые группы? , Прогресс в математике, вып. 248, стр. 323–362, arXiv : math/0405282 , Bibcode : 2004math......5282P
• Эренпрейс, Л.; Маутнер, Ф.И. (1955), "Равномерно ограниченные представления групп", Proc. Натл. акад. наук. США , 41 (4): 231–233, Bibcode : 1955PNAS...41..231E , doi : 10.1073/pnas.41.4.231 , PMC   528064 , PMID   16589653
• Лоуэ, Н. (1980), "Оценки $L^{p}$ коэффициенты представления и операторы свертки», Успехи в математике , 38 (2): 178–221, doi : 10.1016/0001-8708(80)90004-3
• Моно, Николя ; Озава, Нарутака (2010), «Проблема Диксмье, фонарщики и группы Бернсайда», Journal of Functional Analysis , 258 : 255–259, arXiv : 0902.4585 , doi : 10.1016/j.jfa.2009.06.029 , S2CID   17844080
• Баргманн, В. (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца», Ann. математики. , 48 (3): 568–640, номер документа : 10.2307/1969129 , JSTOR   1969129.
• Сугиура, Мицуо (1990), Унитарные представления и гармонический анализ: Введение , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 44 (2-е изд.), Elsevier, ISBN  978-0444885937
• Хау, Роджер; Тан, Энг-чи (1992), Неабелев гармонический анализ: приложения SL(2, R ) , Universitext, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97768-3
• Ланг, Серж (1985), SL (2, R ) , Тексты для выпускников по математике, том. 105, Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-0-387-96198-9
• Серр, Жан-Пьер (1977), Курс арифметики , Le Mathématicien, vol. 2 (2-е изд.), Press Universitaires de France
• Серр, Жан-Пьер (1980), Деревья , перевод Стиллвелла, Джона, Springer-Verlag, ISBN  3-540-10103-9 , МР   0607504
• Гельфанд, ИМ; Граев, М.И.; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1969), Теория представлений и автоморфные функции , Academic Press, ISBN  978-0-12-279506-0
• Магнус, Вильгельм; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (1976), Комбинаторная теория групп. Представления групп с точки зрения генераторов и отношений (2-е изд.), Dover Publications, ISBN  978-0-486-43830-6
• Фига-Таламанка, Алессандро; Пикарделло, Массимо А. (1983), Гармонический анализ свободных групп , Конспект лекций по чистой и прикладной математике, том. 87, Марсель Деккер
• Пытлик Т.; Шварц, Р. (1986), "Аналитическое семейство равномерно ограниченных представлений свободных групп", Acta Math. , 157 : 287–309, doi : 10.1007/bf02392596
• Шварц, Рышард (1988), «Аналитическая серия неприводимых представлений свободной группы» (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 38 : 87–110, doi : 10.5802/aif.1124