Представительское кольцо

В математике , особенно в области алгебры , известной как теория представлений , кольцо представлений (или кольцо Грина после Дж. А. Грина ) группы — это кольцо, образованное из всех (классов изоморфизма) конечномерных линейных представлений группы. Элементы кольца представлений иногда называют виртуальными представлениями. Для данной группы кольцо будет зависеть от основного поля представлений. Случай комплексных коэффициентов является наиболее разработанным, но теоретически доступен и случай полей характеристики , p где силовские p -подгруппы цикличны алгебраически замкнутых .

Формальное определение

Для группы G и поля F элементы ее кольца представлений R _F ( G ) являются формальными разностями классов изоморфизма конечномерных линейных F -представлений G. группы Для кольцевой структуры сложение задаётся прямой суммой представлений, а умножение — их произведением по F. тензорным Когда F опускается в обозначениях, как в R ( G ), тогда F неявно считается полем комплексных чисел .

Кольцо представлений группы G — это кольцо Гротендика категории конечномерных представлений G. группы

Примеры

• Для комплексных представлений циклической группы порядка n кольцо представлений ( _RC Cn ) ₍ изоморфно Z [ X ]/ X ^н − 1), где X соответствует комплексному представлению, отправляющему генератор группы к примитивному корню n-й степени из единицы.
• В более общем смысле кольцо комплексных представлений конечной абелевой группы можно отождествить с групповым кольцом группы характеров .
• Для рациональных представлений циклической группы порядка 3 кольцо представлений R _Q (C ₃ ) изоморфно Z [ X ]/( X ² − X − 2), где X соответствует неприводимому рациональному представлению размерности 2.
• Для модулярных представлений циклической группы порядка 3 над полем F характеристики 3 кольцо представлений R _F ( C ₃ ) изоморфно Z [ X , Y ]/( X ² - Y - 1, XY - 2 Y , Y ² - 3 года ).
• Непрерывное кольцо представлений R (S ¹ ) для группы окружностей изоморфна Z [ X , X  ⁻¹ ]. Кольцо вещественных представлений — это подкольцо в R ( G ) элементов, фиксированных инволюцией на R ( G ), заданной формулой X ↦ X.  ⁻¹ .
• Кольцо R _C ( S ₃ ) для симметрической группы в трех точках изоморфно Z [ X , Y ]/( XY − Y , X ² − 1, Ю ² − X − Y − 1), где X — одномерное альтернирующее представление, а Y — двумерное неприводимое представление S ₃ .

Персонажи

определяет характер χ: G → C. Любое представление Такая функция постоянна на классах сопряженности G , так называемая классовая функция ; обозначим кольцо функций классов через C ( G ). Если G конечен, гомоморфизм R ( G ) → C ( G ) инъективен, так что R ( G ) можно отождествить с подкольцом в C ( G ). Для полей F, характеристика которых делит порядок группы G , гомоморфизм из R _F ( G ) → C ( G ), определенный характерами Брауэра , перестает быть инъективным.

Для компактной связной группы R ( G ) изоморфно подкольцу в R ( T ) (где T — максимальный тор), состоящему из тех функций класса, которые инвариантны относительно действия группы Вейля (Атья и Хирцебрух, 1961). Об общей компактной группе Ли см. Сигал (1968).

λ-кольцо и операции Адамса

Учитывая представление G и натуральное число n , мы можем сформировать n -ю внешнюю степень представления, которая снова является представлением G . Это индуцирует операцию λ ^н : р ( г ) → р ( г ). С помощью этих операций R ( G ) становится λ-кольцом .

Операциями Адамса на кольце представлений R ( G ) являются отображения Ψ ^к характеризуются своим влиянием на символы χ:

$\Psi ^{k}\chi (g)=\chi (g^{k})\ .$

Операции Ψ ^к являются кольцевыми гомоморфизмами R ( G ) в себя, а на представлениях ρ размерности d

$\Psi ^{k}(\rho )=N_{k}(\Lambda ^{1}\rho ,\Lambda ^{2}\rho ,\ldots ,\Lambda ^{d}\rho )\$

где Λ ^я ρ — внешние степени ρ, а N _k — сумма k -й степени, выраженная как функция d элементарных симметрических функций от d переменных.

Ссылки

• Атья, Майкл Ф .; Хирцебрух, Фридрих (1961), «Векторные расслоения и однородные пространства», Proc. Симпозиумы. Чистая математика. , Труды симпозиумов по чистой математике, III , Американское математическое общество: 7–38, doi : 10.1090/pspum/003/0139181 , ISBN  9780821814031 , МР   0139181 , Збл   0108.17705 .
• Брёкер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли , Тексты для аспирантов по математике , том. 98, Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг, Токио: Springer-Verlag , ISBN  0-387-13678-9 , МР   1410059 , OCLC   11210736 , Збл   0581.22009
• Сигал, Грэм (1968), «Кольцо представлений компактной группы Ли» , Опубл. Математика. IHÉS , 34 : 113–128, doi : 10.1007/BF02684592 , MR   0248277 , S2CID   55847918 , Zbl   0209.06203 .
• Снайт, вице-президент (1994), Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 40, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-46015-8 , Збл   0991.20005