Неразборный модуль
В абстрактной алгебре модуль , является неразложимым если он ненулевой и не может быть записан в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей . [1] [2]
Неразложимость — более слабое понятие, чем простой модуль (который также иногда называют неприводимым модулем):простой означает «нет подходящего подмодуля» N < M ,в то время как неразложимое «не выражается как N ⊕ P = M ».
Прямая сумма неразложимых называется вполне разложимой ; [ нужна ссылка ] это слабее, чем полупростота , которая представляет собой прямую сумму простых модулей .
Разложение модуля в прямую сумму на неразложимые модули называется неразложимым разложением .
Мотивация
[ редактировать ]Во многих ситуациях все интересующие модули полностью разложимы; тогда неразложимые модули можно рассматривать как «базовые строительные блоки», единственные объекты, которые необходимо изучить. Это относится к модулям над поле или PID ,и лежит в основе жордановой нормальной формы операторов .
Примеры
[ редактировать ]Поле
[ редактировать ]Модули над полями представляют собой векторные пространства . [3] Векторное пространство неразложимо тогда и только тогда, когда его размерность равна 1. Таким образом, каждое векторное пространство полностью разложимо (действительно, полупросто) с бесконечным количеством слагаемых, если размерность бесконечна. [4]
Основная идеальная область
[ редактировать ]Конечно порожденные модули над областями главных идеалов (PID) классифицируются на основании структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов : первичное разложение представляет собой разложение на неразложимые модули, поэтому каждый конечно порожденный модуль над PID полностью разложим.
Явно модули вида R / p н для простых идеалов p (включая p = 0 , что дает R ) неразложимы. Каждый конечно порожденный R -модуль является их прямой суммой. Обратите внимание, что это просто тогда и только тогда, когда n = 1 (или p = 0 ); например, циклическая группа порядка 4 Z /4 неразложима, но не проста – у нее есть подгруппа 2 Z /4 порядка 2, но у нее нет дополнения.
Над целыми числами Z модули являются абелевыми группами . Конечно порожденная абелева группа неразложима тогда и только тогда, когда она Z или p фактор -группе вида Z / изоморфна н Z для некоторого простого числа p и некоторого положительного целого числа n . Каждая конечно порожденная абелева группа является прямой суммой (конечного числа) неразложимых абелевых групп.
Однако существуют и другие неразложимые абелевы группы, которые не являются конечно порожденными; примерами являются рациональные числа Q и Прюфера p -группы Z ( p ∞ ) для любого простого числа p .
Для фиксированного положительного целого числа n рассмотрим кольцо R размером n на n матриц с элементами из действительных чисел (или из любого другого поля K ). Тогда К н является левым R -модулем (скалярное умножение есть умножение матриц ). Это с точностью до изоморфизма неразложимый модуль над R. единственный Каждый левый R -модуль является прямой суммой (конечного или бесконечного числа) копий этого модуля K н .
Факты
[ редактировать ]Каждый простой модуль неразложим. Обратное, вообще говоря, неверно, как показано во втором примере выше.
Глядя на кольцо эндоморфизмов модуля, можно определить, является ли модуль неразложимым: тогда и только тогда, когда кольцо эндоморфизмов не содержит идемпотентного элемента, отличного от 0 и 1. [1] (Если f — такой идемпотентный эндоморфизм , M то M — прямая сумма ker( f ) и im( f ).)
Модуль конечной длины неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально . Еще больше информации об эндоморфизмах неразложимых тел конечной длины дает лемма Фиттинга .
В ситуации конечной длины разложение на неразложимые модули особенно полезно из-за теоремы Крулля-Шмидта : каждый модуль конечной длины может быть записан как прямая сумма конечного числа неразложимых модулей, и это разложение по существу уникально (это означает, что если у вас другое разложение на неразложимые, то слагаемые первого разложения можно соединить в пары со слагаемыми второго разложения так, чтобы члены каждой пары были изоморфны). [5]
Цитаты
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Джейкобсон 2009 , с. 111
- ^ Роман 2008 , с. 158 §6
- ^ Роман 2008 , с. 110 §4
- ^ Джейкобсон 2009 , с. 111, в комментариях после предложения 3.1.
- ^ Джейкобсон 2009 , с. 115
Ссылки
[ редактировать ]- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47187-7
- Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, ISBN 978-0-387-72828-5