Jump to content

Неразборный модуль

В абстрактной алгебре модуль , является неразложимым если он ненулевой и не может быть записан в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей . [1] [2]

Неразложимость — более слабое понятие, чем простой модуль (который также иногда называют неприводимым модулем):простой означает «нет подходящего подмодуля» N < M ,в то время как неразложимое «не выражается как N P = M ».

Прямая сумма неразложимых называется вполне разложимой ; [ нужна ссылка ] это слабее, чем полупростота , которая представляет собой прямую сумму простых модулей .

Разложение модуля в прямую сумму на неразложимые модули называется неразложимым разложением .

Мотивация

[ редактировать ]

Во многих ситуациях все интересующие модули полностью разложимы; тогда неразложимые модули можно рассматривать как «базовые строительные блоки», единственные объекты, которые необходимо изучить. Это относится к модулям над поле или PID ,и лежит в основе жордановой нормальной формы операторов .

Модули над полями представляют собой векторные пространства . [3] Векторное пространство неразложимо тогда и только тогда, когда его размерность равна 1. Таким образом, каждое векторное пространство полностью разложимо (действительно, полупросто) с бесконечным количеством слагаемых, если размерность бесконечна. [4]

Основная идеальная область

[ редактировать ]

Конечно порожденные модули над областями главных идеалов (PID) классифицируются на основании структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов : первичное разложение представляет собой разложение на неразложимые модули, поэтому каждый конечно порожденный модуль над PID полностью разложим.

Явно модули вида R / p н для простых идеалов p (включая p = 0 , что дает R ) неразложимы. Каждый конечно порожденный R -модуль является их прямой суммой. Обратите внимание, что это просто тогда и только тогда, когда n = 1 (или p = 0 ); например, циклическая группа порядка 4 Z /4 неразложима, но не проста – у нее есть подгруппа 2 Z /4 порядка 2, но у нее нет дополнения.

Над целыми числами Z модули являются абелевыми группами . Конечно порожденная абелева группа неразложима тогда и только тогда, когда она Z или p фактор -группе вида Z / изоморфна н Z для некоторого простого числа p и некоторого положительного целого числа n . Каждая конечно порожденная абелева группа является прямой суммой (конечного числа) неразложимых абелевых групп.

Однако существуют и другие неразложимые абелевы группы, которые не являются конечно порожденными; примерами являются рациональные числа Q и Прюфера p -группы Z ( p ) для любого простого числа p .

Для фиксированного положительного целого числа n рассмотрим кольцо R размером n на n матриц с элементами из действительных чисел (или из любого другого поля K ). Тогда К н является левым R -модулем (скалярное умножение есть умножение матриц ). Это с точностью до изоморфизма неразложимый модуль над R. единственный Каждый левый R -модуль является прямой суммой (конечного или бесконечного числа) копий этого модуля K н .

Каждый простой модуль неразложим. Обратное, вообще говоря, неверно, как показано во втором примере выше.

Глядя на кольцо эндоморфизмов модуля, можно определить, является ли модуль неразложимым: тогда и только тогда, когда кольцо эндоморфизмов не содержит идемпотентного элемента, отличного от 0 и 1. [1] (Если f — такой идемпотентный эндоморфизм , M то M — прямая сумма ker( f ) и im( f ).)

Модуль конечной длины неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально . Еще больше информации об эндоморфизмах неразложимых тел конечной длины дает лемма Фиттинга .

В ситуации конечной длины разложение на неразложимые модули особенно полезно из-за теоремы Крулля-Шмидта : каждый модуль конечной длины может быть записан как прямая сумма конечного числа неразложимых модулей, и это разложение по существу уникально (это означает, что если у вас другое разложение на неразложимые, то слагаемые первого разложения можно соединить в пары со слагаемыми второго разложения так, чтобы члены каждой пары были изоморфны). [5]

  1. ^ Перейти обратно: а б Джейкобсон 2009 , с. 111
  2. ^ Роман 2008 , с. 158 §6
  3. ^ Роман 2008 , с. 110 §4
  4. ^ Джейкобсон 2009 , с. 111, в комментариях после предложения 3.1.
  5. ^ Джейкобсон 2009 , с. 115
  • Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47187-7
  • Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, ISBN  978-0-387-72828-5
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 60f4c4eee6b50ebf0e9022b4c6f0abbe__1698521220
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/60/be/60f4c4eee6b50ebf0e9022b4c6f0abbe.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Indecomposable module - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)