Подгоночная лемма

В математике лемма Фиттинга , названная в честь математика Ганса Фиттинга , является основным утверждением абстрактной алгебры . Предположим, что M — модуль над некоторым кольцом . Если M неразложимо , и имеет конечную , то каждый эндоморфизм M длину является либо автоморфизмом либо нильпотентным .

Как непосредственное следствие, мы видим, что кольцо эндоморфизмов каждого неразложимого модуля конечной длины является локальным .

Вариант леммы Фиттинга часто используется в теории представлений групп . На самом деле это частный случай приведенной выше версии, поскольку каждое K -линейное представление группы G можно рассматривать как модуль над групповой алгеброй KG .

Доказательство

Чтобы доказать лемму Фиттинга, мы возьмем эндоморфизм f модуля M и рассмотрим следующие две цепочки подмодулей :

• Первая — нисходящая цепь. $\mathrm {im} (f)\supseteq \mathrm {im} (f^{2})\supseteq \mathrm {im} (f^{3})\supseteq \ldots$,
• вторая — восходящая цепочка $\mathrm {ker} (f)\subseteq \mathrm {ker} (f^{2})\subseteq \mathrm {ker} (f^{3})\subseteq \ldots$

Потому что $M$ имеет конечную длину, обе эти цепи должны в конечном итоге стабилизироваться, поэтому существует некоторая $n$ с $\mathrm {im} (f^{n})=\mathrm {im} (f^{n'})$ для всех $n'\geq n$и некоторые $m$ с $\mathrm {ker} (f^{m})=\mathrm {ker} (f^{m'})$ для всех $m'\geq m.$

Пусть сейчас $k=\max\{n,m\}$и заметим, что по построению $\mathrm {im} (f^{2k})=\mathrm {im} (f^{k})$ и $\mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k}).$

Мы утверждаем, что $\mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})=0$. Действительно, каждый $x\in \mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})$ удовлетворяет $x=f^{k}(y)$ для некоторых $y\in M$ но и $f^{k}(x)=0$, так что $0=f^{k}(x)=f^{k}(f^{k}(y))=f^{2k}(y)$, поэтому $y\in \mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k})$ и таким образом $x=f^{k}(y)=0.$

Более того, $\mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k})=M$: для каждого $x\in M$, существует некоторый $y\in M$ такой, что $f^{k}(x)=f^{2k}(y)$ (с $f^{k}(x)\in \mathrm {im} (f^{k})=\mathrm {im} (f^{2k})$), и таким образом $f^{k}(x-f^{k}(y))=f^{k}(x)-f^{2k}(y)=0$, так что $x-f^{k}(y)\in \mathrm {ker} (f^{k})$ и таким образом $x\in \mathrm {ker} (f^{k})+f^{k}(y)\subseteq \mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k}).$

Следовательно, $M$ является прямой суммой $\mathrm {im} (f^{k})$ и $\mathrm {ker} (f^{k})$. (Это утверждение также известно как теорема о разложении Фиттинга .) Поскольку $M$ неразложимо, одно из этих двух слагаемых должно быть равно $M$ а другой должен быть нулевым подмодулем . В зависимости от того, какое из двух слагаемых равно нулю, находим, что $f$ либо биективен , либо нильпотентен.

Ссылки

• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47187-7