Нулевой объект (алгебра)

В алгебре нулевой объект данной алгебраической структуры в смысле, объясненном ниже, является простейшим объектом такой структуры. Как множество это синглтон , а как магма имеет тривиальную структуру, которая также является абелевой группой . Вышеупомянутая абелева групповая структура обычно определяется как сложение , а единственный элемент называется нулем , поэтому сам объект обычно обозначается как ${0}$ . Часто говорят о тривиальном объекте (определенной категории ), поскольку каждый тривиальный объект изоморфен любому другому (при уникальном изоморфизме).

Экземпляры нулевого объекта включают, помимо прочего, следующее:

В качестве группы нулевая группа или тривиальная группа .
В качестве кольца — нулевое кольцо или тривиальное кольцо .
Как алгебра над полем или алгебра над кольцом , тривиальная алгебра .
Как модуль (над кольцом $R$ ) нулевой модуль . термин «тривиальный модуль» Также используется , хотя он может быть неоднозначным, поскольку тривиальный G-модуль — это G-модуль с тривиальным действием.
В качестве векторного пространства (над полем $R$ ) используется нулевое векторное пространство , нульмерное векторное пространство или просто нулевое пространство .

Эти объекты описываются совместно не только на основе общей одноэлементной и тривиальной групповой структуры, но также из-за общих теоретико-категорных свойств .

В последних трех случаях скалярное умножение на элемент базового кольца (или поля) определяется как:

κ 0 знак равно 0

, где

κ \in р

.

Самый общий из них — нулевой модуль — является конечно-порожденным модулем с пустым порождающим набором.

Для структур, требующих структуры умножения внутри нулевого объекта, таких как тривиальное кольцо , существует только один возможный вариант, $0 \times 0 = 0$ , поскольку нет ненулевых элементов. Эта структура ассоциативна и коммутативна . Кольцо $R$ , имеющее как аддитивную, так и мультипликативную идентичность, тривиально тогда и только тогда, когда $= 0$ , поскольку из этого равенства следует, что для всех $r$ внутри $R$ 1

r=r\times 1=r\times 0=0.

В этом случае можно определить деление на ноль , поскольку отдельный элемент является собственным мультипликативным обратным. Некоторые свойства ${0}$ зависят от точного определения мультипликативного тождества; см. § Унитарные структуры ниже.

Любая тривиальная алгебра также является тривиальным кольцом. Тривиальная алгебра над полем нулевым векторным пространством одновременно является рассматриваемым ниже . Над коммутативным кольцом тривиальная алгебра одновременно является нулевым модулем.

Тривиальное кольцо является примером кольца с квадратным нулем . Тривиальная алгебра является примером нулевой алгебры .

Нульмерный векторное пространство — особенно распространенный пример нулевого объекта, векторного пространства над полем с пустым базисом . Следовательно, он имеет нулевую размерность . Это также тривиальная группа над сложением и тривиальный модуль, упомянутый выше .

Характеристики

2 ↕	${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$	=	${\begin{bmatrix}\,\\\,\end{bmatrix}}$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (крайний правый), умножается на пустую матрицу 2 × 0 , чтобы получить двумерный нулевой вектор (крайний левый). Правила умножения матриц соблюдаются.

Нулевое кольцо, нулевой модуль и нулевое векторное пространство являются нулевыми объектами соответственно категории псевдоколец , категории модулей и категории векторных пространств . Однако нулевое кольцо не является нулевым объектом в категории колец , поскольку не существует кольцевого гомоморфизма нулевого кольца ни в каком другом кольце.

Нулевой объект по определению должен быть терминальным объектом, а это означает, что морфизм → ${0} должен$ существовать и быть уникальным для произвольного объекта $A.$ A Этот морфизм отображает любой элемент $A$ в $0$ .

это значит, что морфизм ${0} \to A$ должен существовать и быть уникальным для произвольного объекта $A.$ Нулевой объект также по определению должен быть исходным объектом, а Этот морфизм отображает $0$ , единственный элемент ${0}$ , в нулевой элемент $0 \in A$ , называемый нулевым вектором в векторных пространствах. Это отображение является мономорфизмом , и, следовательно, его образ изоморфен ${0}$ . Для модулей и векторных пространств это подмножество ${0} \subset A$ является единственным пустым порожденным подмодулем 0-мерным линейным подпространством ) в каждом модуле (или векторном пространстве) $A.$ ( или

Единичные конструкции

Объект ${0}$ — это конечный объект любой алгебраической структуры, где он существует, как это было описано в примерах выше. Но его существование и, если оно существует, свойство быть исходным объектом (и, следовательно, нулевым объектом в теоретико-категорном смысле) зависят от точного определения мультипликативного тождества 1 в заданной структуре.

Если определение $1$ требует, чтобы $1 \neq 0$ , то $объект {0}$ не может существовать, поскольку он может содержать только один элемент. В частности, нулевое кольцо не является полем . Если математики иногда говорят о поле с одним элементом , то этот абстрактный и несколько загадочный математический объект полем не является.

В категориях, где мультипликативная идентичность должна сохраняться морфизмами, но может равняться нулю, $объект {0}$ может существовать. Но не в качестве исходного объекта, поскольку сохраняющие идентичность морфизмы из ${0}$ в любой объект, где $1 \neq 0,$ не существуют. Например, в категории колец Ring кольцо целых чисел Z исходным объектом является $, а не {0}$ .

Если алгебраическая структура требует мультипликативного тождества, но не требует его сохранения морфизмами или $1 \neq 0$ , то нулевые морфизмы существуют, и ситуация не отличается от неединичных структур, рассмотренных в предыдущем разделе.

Обозначения

Нулевые векторные пространства и нулевые модули обычно обозначаются $0$ (вместо ${0}$ ). Это всегда так, когда они происходят в точной последовательности .

См. также

Внешние ссылки

Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . п. 10 : тривиальное кольцо . ISBN 0-521-33718-6 .
Бариле, Маргарита . «Тривиальные модули» . Математический мир .
Бариле, Маргарита. «Нулевой модуль» . Математический мир .