Пустая полугруппа
В математике полугруппа без элементов ( пустая полугруппа ) — это полугруппа , в которой базовым набором является пустое множество . Многие авторы не допускают существования такой полугруппы. Для них полугруппа по определению является непустым множеством с ассоциативной бинарной операцией. [1] [2] Однако не все авторы настаивают на непустоте основного множества полугруппы. [3] Логически можно определить полугруппу, в которой базовое множество S пусто. Бинарная операция в полугруппе — это пустая функция от S × S до S . Эта операция бессмысленно удовлетворяет аксиомам замыкания и ассоциативности полугруппы. Отсутствие исключения пустой полугруппы упрощает некоторые результаты о полугруппах. Например, результат о том, что пересечение двух подполугрупп полугруппы T является подполугруппой T, становится действительным, даже если пересечение пусто.
Если определено, что полугруппа имеет дополнительную структуру, проблема может не возникнуть. Например, определение моноида требует единичного элемента , который исключает пустую полугруппу как моноид.
В теории категорий всегда допускается пустая полугруппа. Это единственный исходный объект категории полугрупп.
Полугруппа без элементов является инверсной полугруппой , поскольку необходимое условие выполняется бессмысленно.
См. также [ править ]
- Поле с одним элементом
- Полугруппа с одним элементом
- Полугруппа с двумя элементами
- Полугруппа с тремя элементами
- Специальные классы полугрупп
Ссылки [ править ]
- ^ А. Х. Клиффорд , ГБ Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп Vol. Я (второе издание). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4
- ^ Хауи, Дж. М. (1976). Введение в теорию полугрупп . Л.М.Монографии. Том. 7. Академическая пресса. стр. 2–3
- ^ П.А.Грийе (1995). Полугруппы . ЦРК Пресс . ISBN 978-0-8247-9662-4 стр. 3–4