Полугруппа с тремя элементами

В абстрактной алгебре полугруппа определенной с тремя элементами — это объект, состоящий из трех элементов и над ними ассоциативной операции . Базовым примером могут быть три целых числа 0, 1 и -1 вместе с операцией умножения. Умножение целых чисел ассоциативно, и произведение любых двух из этих трех целых чисел снова является одним из этих трех целых чисел.

Существует 18 неэквивалентных способов определения ассоциативной операции над тремя элементами, а всего их 3. ⁹ = 19683 различных бинарных операций, которые могут быть определены, только 113 из них ассоциативны, и многие из них изоморфны или антиизоморфны, так что по существу существует только 18 возможностей. ^[1]^[2]

Одной из них является C ₃ , циклическая группа из трех элементов. Все остальные имеют полугруппу с двумя элементами в качестве подполугрупп . В приведенном выше примере набор {-1,0,1} при умножении содержит как {0,1}, так и {-1,1} в качестве подполугрупп (последняя является C подгруппой 2 ₎ .

Шесть из них являются полосами , что означает, что все три элемента идемпотентны , так что произведение любого элемента на самого себя снова является самим собой. Две из этих зон коммутативны , то есть являются полурешетками (одна из них представляет собой трехэлементное вполне упорядоченное множество, а другая — трехэлементную полурешетку, не являющуюся решеткой). Остальные четыре входят в антиизоморфные пары.

Одна из этих некоммутативных полос возникает в результате присоединения единичного элемента к LO ₂ , левой полугруппе нулей с двумя элементами (или, двойственно, к RO ₂ , правой полугруппе нулей ). Его иногда называют моноидом триггера , имея в виду схемы триггера, используемые в электронике: три элемента можно описать как «установка», «сброс» и «ничего не делать». Эта полугруппа встречается в разложении Крона–Родса конечных полугрупп. ^[3] Неприводимые элементы в этом разложении — это конечные простые группы плюс эта трехэлементная полугруппа и ее подполугруппы.

Существуют две циклические полугруппы , одна из которых описывается уравнением x ⁴ = х ³, которая имеет O ₂ , нулевую полугруппу с двумя элементами, в качестве подполугруппы. Другой описывается x ⁴ = х ² и имеет C ₂ , группу из двух элементов, в качестве подгруппы. (Уравнение x ⁴ = x описывает C ₃ , уже упомянутую группу из трех элементов.)

Существует семь других нециклических незональных коммутативных полугрупп, включая первоначальный пример {−1, 0, 1} и O ₃ , нулевую полугруппу с тремя элементами. Существуют также две другие антиизоморфные пары некоммутативных неленточных полугрупп.

Список полугрупп с тремя элементами (с точностью до изоморфизма) с таблицами Кэли для полугрупповой операции

1. Циклическая группа (С ₃ )

	х	и	С
х	х	и	С
и	и	С	х
С	С	х	и

2. Моногенная полугруппа (индекс 2, период 2)

	х	и	С
х	и	С	и
и	С	и	С
С	и	С	и

Подполугруппа: {y,z} ≈ C ₂

3. Апериодическая моногенная полугруппа (индекс 3)

	х	и	С
х	и	С	С
и	С	С	С
С	С	С	С

Подполугруппа: {y,z} ≈ O ₂

4. Коммутативный моноид ({−1,0,1} при умножении)

	х	и	С
х	С	и	х
и	и	и	и
С	х	и	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ C ₂ . {y,z} ≈ CH ₂

5. Коммутативный моноид.

	х	и	С
х	С	х	х
и	х	и	С
С	х	С	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ C ₂ . {y,z} ≈ CH ₂

6. Коммутативная полугруппа.

	х	и	С
х	С	х	х
и	х	С	С
С	х	С	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ C ₂ . {y,z} ≈ О ₂

7. Нулевая полугруппа (O ₃ ).

	х	и	С
х	С	С	С
и	С	С	С
С	С	С	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ {y,z} ≈ O ₂

8. Коммутативная апериодическая полугруппа.

	х	и	С
х	С	С	С
и	С	и	С
С	С	С	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ O ₂ . {y,z} ≈ CH ₂

9. Коммутативная апериодическая полугруппа.

	х	и	С
х	С	и	С
и	и	и	и
С	С	и	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ O ₂ . {y,z} ≈ CH ₂

10. Коммутативный апериодический моноид.

	х	и	С
х	С	х	С
и	х	и	С
С	С	С	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ O ₂ . {y,z} ≈ CH ₂

11А. апериодическая полугруппа

	х	и	С
х	С	С	С
и	и	и	и
С	С	С	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ O ₂ , {y,z} ≈ LO _2.

11Б. это противоположность

	х	и	С
х	С	и	С
и	С	и	С
С	С	и	С

12А. апериодическая полугруппа

	х	и	С
х	С	С	С
и	х	и	С
С	С	С	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ O ₂ , {y,z} ≈ CH ₂

12Б. это противоположность

	х	и	С
х	С	х	С
и	С	и	С
С	С	С	С

13. Полурешетка ( цепочка )

	х	и	С
х	х	и	С
и	и	и	С
С	С	С	С

Подполугруппы: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH ₂

14. Полурешетка

	х	и	С
х	х	С	С
и	С	и	С
С	С	С	С

Подполугруппы: {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH ₂

15А. идемпотентная полугруппа

	х	и	С
х	х	х	х
и	и	и	и
С	х	х	С

Подполугруппы: {x,y} ≈ LO ₂ , {x,z} ≈ CH _2.

15Б. это противоположность

	х	и	С
х	х	и	х
и	х	и	х
С	х	и	С

16А. идемпотентная полугруппа

	х	и	С
х	х	х	С
и	и	и	С
С	С	С	С

Подполугруппы: {x,y} ≈ LO ₂ , {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH ₂

16Б. это противоположность

	х	и	С
х	х	и	С
и	х	и	С
С	С	С	С

17А. левая нулевая полугруппа (LO ₃ )

	х	и	С
х	х	х	х
и	и	и	и
С	С	С	С

Подполугруппы: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ LO ₂

17Б. его противоположность (RO ₃ )

	х	и	С
х	х	и	С
и	х	и	С
С	х	и	С

18А. идемпотентная полугруппа (левый триггерный моноид)

	х	и	С
х	х	х	х
и	и	и	и
С	х	и	С

Подполугруппы: {x,y} ≈ LO ₂ , {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH ₂

18Б. его противоположность (моноид правого триггера)

	х	и	С
х	х	и	х
и	х	и	и
С	х	и	С

Индекс двух элементных подполугрупп : C ₂ : циклическая группа, O ₂ : нулевая полугруппа, CH ₂ : полурешетка (цепь), LO ₂ /RO ₂ : левая/правая нулевая полугруппа.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп. Архивировано 2 апреля 2015 г. в Wayback Machine , докторская диссертация, Университет Сент-Эндрюс.
^ Фридрик Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над набором из трех элементов» (PDF) . Энтузиаст математики из Монтаны . 5 (2 и 3): 257–268. дои : 10.54870/1551-3440.1106 . S2CID 118704099 . Проверено 6 февраля 2014 г.
^ «Эта безобидная трехэлементная полугруппа играет важную роль в дальнейшем...» – Приложения теории автоматов и алгебры» « Джон Л. Роудс .

[distler-1] Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп. Архивировано 2 апреля 2015 г. в Wayback Machine , докторская диссертация, Университет Сент-Эндрюс.

[2] Фридрик Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над набором из трех элементов» (PDF) . Энтузиаст математики из Монтаны . 5 (2 и 3): 257–268. дои : 10.54870/1551-3440.1106 . S2CID 118704099 . Проверено 6 февраля 2014 г.

[3] «Эта безобидная трехэлементная полугруппа играет важную роль в дальнейшем...» – Приложения теории автоматов и алгебры» « Джон Л. Роудс .

[1]

[2]

[3]