Моногенная полугруппа

Моногенная полугруппа порядка 9 и периода 6. Числа являются показателями образующей a ; стрелки указывают умножение . на

В математике моногенная полугруппа — это полугруппа , порожденная одним элементом. Моногенные полугруппы также называют циклическими полугруппами .

Структура

Моногенная полугруппа, порожденная одноэлементным набором { a }, обозначается $\langle a\rangle$. Набор элементов $\langle a\rangle$ { а , а ² , а ³ , ...}. Есть две возможности для моногенной полугруппы. $\langle a\rangle$:

• а ^м = а ^н ⇒ м знак равно п .
• Существуют m ≠ n такие, что a ^м = а ^н .

В первом случае $\langle a\rangle$ изоморфна натуральных полугруппе ({1, 2, ...}, +) чисел при сложении . В таком случае $\langle a\rangle$ — бесконечная моногенная полугруппа элемент a , и говорят, что имеет бесконечный порядок . Ее иногда называют свободной моногенной полугруппой , поскольку она также является свободной полугруппой с одним образующим.

В последнем случае пусть m — наименьшее целое положительное число такое, что a ^м = а ^х для некоторого положительного целого числа x ≠ m , и пусть r — наименьшее положительное целое число такое, что a ^м = а ^{м + р} . Целое положительное число m называется индексом , а целое положительное число r моногенной - периодом полугруппы. $\langle a\rangle$. Порядок a определяется + как m r − 1. Период и индекс удовлетворяют следующим свойствам:

• а ^м = а ^{м + р}
• а ^{м + х} = а ^{м + у} тогда и только тогда, когда m + x ≡ m + y (mod r )
• $\langle a\rangle$ = { а , а ² , ... , а ^{м + р −1} }
• К _а = { а ^м , а ^{м +1} , ... , а ^{м + р −1} } — циклическая подгруппа , а идеал также $\langle a\rangle$. Оно называется ядром а . и является минимальным идеалом моногенной полугруппы $\langle a\rangle$.

Пара ( m , r ) натуральных чисел определяет структуру моногенных полугрупп. Для каждой пары ( m , r ) натуральных чисел существует моногенная полугруппа, имеющая индекс m и период r . Моногенная полугруппа, имеющая индекс m и период r, обозначается M ( m , r ). Моногенная полугруппа M (1, r ) является циклической группой порядка r .

Результаты этого раздела фактически справедливы для любого элемента a произвольной полугруппы и моногенной подполугруппы. $\langle a\rangle$ он генерирует.

Связанные понятия

Связанное с этим понятие — периодическая полугруппа (также называемая периодической полугруппой ), в которой каждый элемент имеет конечный порядок (или, что то же самое, в которой каждая монгенная подполугруппа конечна). Более общий класс — это класс квазипериодических полугрупп (также известных как полугруппы, связанные с группой или эпигруппы ), в которых каждый элемент полугруппы имеет степень, лежащую в подгруппе.

Апериодическая полугруппа — это группа, в которой каждая моногенная подполугруппа имеет период, равный 1.

См. также

• Обнаружение цикла , проблема поиска параметров конечной моногенной полугруппы с использованием ограниченного объема памяти.
• Специальные классы полугрупп