Эпигруппа

В абстрактной алгебре эпигруппа — это полугруппа , в которой каждый элемент имеет степень, принадлежащую подгруппе . Формально для всех x в полугруппе S существует целое положительное число n и подгруппа G группы S такие, что x ^н принадлежит Г.

Эпигруппы известны под множеством других названий, включая квазипериодическую полугруппу , полугруппу, связанную с группой , полностью π-регулярную полугруппу, сильно π-регулярную полугруппу ( sπr ^[1]), ^[2] или просто π-регулярная полугруппа ^[3] (хотя последнее неоднозначно).

В более общем смысле, в произвольной полугруппе элемент называется групповым, если его степень принадлежит подгруппе.

Эпигруппы имеют приложения к теории колец . Многие из их свойств изучаются в этом контексте. ^[4]

Эпигруппы были впервые изучены Дугласом Манном в 1961 году, который назвал их псевдообратимыми . ^[5]

Свойства [ править ]

Эпигруппы являются обобщением периодических полугрупп . ^[6] таким образом, все конечные полугруппы также являются эпигруппами.
Класс вполне эпигрупп содержит также все регулярные полугруппы и все вполне 0-простые полугруппы . ^[5]
Все эпигруппы также в конечном счете являются регулярными полугруппами . ^[7] (также известные как π-регулярные полугруппы)
эпигруппа Отменяющаяся — это группа . ^[8]
Отношения Грина D и J совпадают для любой эпигруппы. ^[9]
Если S — эпигруппа, любая регулярная подполугруппа в S также является эпигруппой. ^[1]
В эпигруппе порядок Намбурипада (расширенный П. Р. Джонсом) и естественный частичный порядок (Митча) совпадают. ^[10]

Примеры [ править ]

Полугруппа всех квадратных матриц заданного размера над телом является эпигруппой. ^[5]
Мультипликативная полугруппа всякого полупростого артинова кольца является эпигруппой. ^[4]^: 5
Любая алгебраическая полугруппа является эпигруппой.

Структура [ править ]

По аналогии с периодическими полугруппами эпигруппа S разбивается на классы , заданные ее идемпотентами , которые действуют как тождества для каждой подгруппы. Для каждого идемпотента e из S набор: $K_{e}=\{x\in S\mid \exists n>0:x^{n}\in G_{e}\}$ называется классом унипотентности (тогда как периодические полугруппы обычно называются классом кручения). ^[5]

Подполугруппы эпигруппы не обязательно должны быть эпигруппами, но если они есть, то они называются подэпигруппами. Если эпигруппа S имеет разбиение на унипотентные подэпигруппы (т. е. каждая из которых содержит один идемпотент), то это разбиение уникально, и его компонентами являются в точности классы унипотентности, определенные выше; такая эпигруппа называется унипотентно разделяемой . Однако не каждая эпигруппа обладает этим свойством. Простым контрпримером является полугруппа Брандта с пятью элементами B2 _, поскольку класс унипотентности ее нулевого элемента не является подполугруппой. B ₂ на самом деле является квинтэссенцией эпигруппы, которая не является однозначно разделимой. Эпигруппа унипотентно делима тогда и только тогда, когда она не содержит подполугруппы, которая является идеальным расширением унипотентной эпигруппы с помощью B ₂ . ^[5]

См. также [ править ]

Специальные классы полугрупп

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Лекс Э. Реннер (2005). Линейные алгебраические моноиды . Спрингер. стр. 27–28. ISBN 978-3-540-24241-3 .
^ А. В. Келарев, Приложения эпигрупп к градуированной теории колец , Форум полугрупп , Том 50, Номер 1 (1995), 327–350 дои : 10.1007/BF02573530
^ Эрик Джесперс; Ян Окнинский (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры . Спрингер. п. 16. ISBN 978-1-4020-5809-7 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Андрей В. Келарев (2002). Кольцевые конструкции и их применение . Всемирная научная. ISBN 978-981-02-4745-4 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Лев Н. Шеврин (2002). «Эпигруппы». В Александре Васильевиче Михалеве и Гюнтере Пильце (ред.). Краткий справочник по алгебре . Спрингер. стр. 23–26. ISBN 978-0-7923-7072-7 .
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5 .
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 50. ISBN 978-0-19-853577-5 .
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 12. ISBN 978-0-19-853577-5 .
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 28. ISBN 978-0-19-853577-5 .
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 48. ИСБН 978-0-19-853577-5 .

[Renner2005-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Лекс Э. Реннер (2005). Линейные алгебраические моноиды . Спрингер. стр. 27–28. ISBN 978-3-540-24241-3 .

[2] А. В. Келарев, Приложения эпигрупп к градуированной теории колец , Форум полугрупп , Том 50, Номер 1 (1995), 327–350 дои : 10.1007/BF02573530

[JespersOkninski2007-3] Эрик Джесперс; Ян Окнинский (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры . Спрингер. п. 16. ISBN 978-1-4020-5809-7 .

[Kelarev2002-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Андрей В. Келарев (2002). Кольцевые конструкции и их применение . Всемирная научная. ISBN 978-981-02-4745-4 .

[MikhalevPilz2002-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Лев Н. Шеврин (2002). «Эпигруппы». В Александре Васильевиче Михалеве и Гюнтере Пильце (ред.). Краткий справочник по алгебре . Спрингер. стр. 23–26. ISBN 978-0-7923-7072-7 .

[6] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5 .

[7] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 50. ISBN 978-0-19-853577-5 .

[8] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 12. ISBN 978-0-19-853577-5 .

[9] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 28. ISBN 978-0-19-853577-5 .

[10] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 48. ИСБН 978-0-19-853577-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]