Порядок Намборипада
В математике порядок Намборипада. [ 1 ] (также называемый частичным порядком Намбурипада ) — некоторый естественный частичный порядок регулярной полугруппы, открытый К.С.С. Намбурипадом. [ 2 ] в конце семидесятых. Поскольку тот же частичный порядок был независимо открыт Робертом Э. Хартвигом, [ 3 ] некоторые авторы называют его порядком Хартвига-Намборипада . [ 4 ] «Естественный» здесь означает, что порядок определяется в терминах операции над полугруппой.
В общем, порядок Намбурипада в регулярной полугруппе несовместим с умножением. Оно совместимо с умножением только в том случае, если полугруппа псевдообратна (локально инверсна).
Прекурсоры
[ редактировать ]Частичный порядок Намбурипада является обобщением ранее известного частичного порядка на множестве идемпотентов в любой полугруппе . Частичный порядок на множестве E идемпотентов в полугруппе S определяется следующим образом: для любых e и f в E e если ⩽ f, и только если e = ef = fe .
Вагнер в 1952 году распространил это на инверсные полугруппы следующим образом: для любых a и b в инверсной полугруппе a S ⩽ b тогда и только тогда, когда a = eb для некоторого идемпотента e в S . В симметричной обратной полугруппе этот порядок фактически совпадает с включением частичных преобразований, рассматриваемых как множества. Этот частичный порядок совместим с умножением с обеих сторон, то есть, если a ⩽ b, то ac ⩽ bc и ca ⩽ cb для всех c в S .
Намбурипад распространил эти определения на регулярные полугруппы.
Определения (регулярная полугруппа)
[ редактировать ]Частичный порядок в регулярной полугруппе, открытой Намборипадом, можно определить несколькими эквивалентными способами. Три из этих определений приведены ниже. Эквивалентность этих определений и других определений установлена Митчем. [ 5 ]
Определение (Намбурипад)
[ редактировать ]Пусть S — любая регулярная полугруппа и S 1 — полугруппа, полученная присоединением единицы 1 к S . Для любого x в S пусть R x будет R-классом Грина S , содержащим x . Отношение R x ≤ R y, определенное соотношением xS 1 ⊆ yS 1 является частичным порядком в наборе зеленых R-классов в S . Для a и b в S отношение ≤ определяется формулой
- a ⩽ b тогда и только тогда, когда R a ⩽ R b и a = fb для некоторого идемпотента f из R a
является частичным порядком в S . Это естественный частичный порядок S. в
Определение (Хартвиг)
[ редактировать ]Для любого элемента a в регулярной полугруппе S пусть V ( a ) будет множеством обратных к a , то есть множеством всех x в S таких, что axa = a и xax = x . Для a и b в S отношение ≤ определяется формулой
- a ≤ b тогда и только тогда, когда a'a = a'b и aa' = ba' для некоторого a' в V ( a )
является частичным порядком в S . Это естественный частичный порядок S. в
Определение (Митч)
[ редактировать ]Для a и b в регулярной полугруппе S отношение ≤ определяется формулой
- a ≤ b тогда и только тогда, когда a = xa = xb = by для некоторых элементов x и y из S
является частичным порядком в S . Это естественный частичный порядок S. в
Расширение на произвольные полугруппы (П.Р. Джонс)
[ редактировать ]Для a и b в произвольной полугруппе S , a ⩽ J b тогда и только тогда, когда существуют e , f идемпотенты в S 1 такой, что a = be = fb .
Это рефлексивное отношение на любой полугруппе, и если S регулярно, оно совпадает с порядком Намбурипада. [ 6 ]
Естественный частичный порядок Митча
[ редактировать ]Митч далее обобщил определение порядка Намбурипада на произвольные полугруппы. [ 7 ] [ 8 ]
Наиболее проницательная формулировка приказа Митча следующая. Пусть a и b — два элемента произвольной S. полугруппы Тогда a ⩽ M b тогда и только тогда, когда существуют t и s в S 1 такой, что tb = ta = a = as = bs .
В общем случае для произвольной полугруппы ≤ J является подмножеством ≤ M . Однако для эпигрупп они совпадают. Более того, если b — регулярный элемент из S (который не обязательно должен быть регулярным), то для любого a из S a ⩽ J b тогда и только тогда, когда a ⩽ M b. [ 6 ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Томас Скотт Блит (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Спрингер. стр. 228–232 . ISBN 978-1-85233-905-0 .
- ^ КСС Намборипад (1980). «Естественный частичный порядок на регулярной полугруппе» . Труды Эдинбургского математического общества . 23 (3): 249–260. дои : 10.1017/s0013091500003801 .
- ^ Р. Хартвиг (1980). «Как частично упорядочить обычные элементы». Японская математика . 25 (1): 1–13.
- ^ Дж. Б. Хики (2004). «О сохранении регулярности на полугруппе» . Бюллетень Австралийского математического общества . 69 : 69–86. дои : 10.1017/s0004972700034274 .
- ^ Х. Митч (июль 1986 г.). «Естественный частичный порядок полугрупп» (PDF) . Труды Американского математического общества . 97 (3): 384. doi : 10.1090/s0002-9939-1986-0840614-0 . Проверено 11 апреля 2011 г.
- ^ Jump up to: а б Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. стр. 46–48 . ISBN 978-0-19-853577-5 .
- ^ Питер М. Хиггинс (1994). «Порядок Митча на полугруппе». Полугрупповой форум . 49 (1): 261–266. дои : 10.1007/BF02573488 .
- ^ Марио Петрич (2001). «Некоторые частичные порядки на полугруппах» (PDF) . Чехословацкий математический журнал . 51 (2): 415–432. дои : 10.1023/а:1013711417539 . hdl : 10338.dmlcz/127657 . Проверено 11 апреля 2011 г.