Регулярная полугруппа

В математике регулярная полугруппа — это полугруппа S , в которой каждый элемент регулярен , т. е. для каждого элемента a в S существует элемент x в S такой, что axa = a . ^[1] Регулярные полугруппы — один из наиболее изученных классов полугрупп, и их структура особенно поддается изучению с помощью отношений Грина . ^[2]

История [ править ]

Регулярные полугруппы были введены Дж. А. Грином в его влиятельной статье 1951 года «О структуре полугрупп»; в этой же статье были представлены соотношения Грина . Понятие регулярности в полугруппе было заимствовано из аналогичного условия для колец , уже рассмотренного Джоном фон Нейманом . ^[3] Именно исследование регулярных полугрупп привело Грина к определению его знаменитых соотношений . Согласно сноске Грина 1951 года, предложение о применении понятия регулярности к полугруппам было впервые сделано Дэвидом Рисом .

Термин инверсивная полугруппа (французский: demi-groupe inversif) исторически использовался как синоним в работах Габриэля Тьеррена (ученика Поля Дюбрейля ) в 1950-х годах. ^[4]^[5] и он до сих пор иногда используется. ^[6]

Основы [ править ]

Существует два эквивалентных способа определения регулярной полугруппы S :

(1) для каждого a в S существует x в S , который называется псевдообратным , ^[7] с axa = a ;

(2) каждый элемент a имеет хотя бы один обратный b в том смысле, что aba = a и bab = b .

Чтобы убедиться в эквивалентности этих определений, сначала предположим, что S определяется формулой (2). Тогда b будет искомым x в (1). И наоборот, если S определяется формулой (1), то xax является обратным для a , поскольку a ( xax ) a = axa ( xa ) = axa = a и ( xax ) a ( xax ) = x ( axa )( xax ) знак равно ха ( xax ) = x ( axa ) x = xax . ^[8]

Множество обратных (в указанном выше смысле) элемента a в произвольной полугруппе S обозначается V ( a ). ^[9] Таким образом, другой способ выразить определение (2) выше — сказать, что в регулярной полугруппе ( a ) непусто для каждого a в S. V Произведение любого элемента a на любой b из V ( a ) всегда идемпотентно : abab = ab , поскольку aba = a . ^[10]

Примеры правильных полугрупп [ править ]

Любая группа является регулярной полугруппой.
Всякая полоса подразумевается не это (идемпотентная полугруппа) регулярна в смысле этой статьи, хотя под регулярной полосой .
Бициклическая полугруппа регулярна.
Любая полугруппа полного преобразования является регулярной.
Полугруппа матриц Риса является регулярной.
Гомоморфный образ регулярной полугруппы регулярен. ^[11]

Уникальные обратные и уникальные псевдообратные [ править ]

Регулярная полугруппа, в которой идемпотенты коммутируют (с идемпотентами), является инверсной полугруппой или, что то же самое, каждый элемент имеет уникальный обратный. Чтобы убедиться в этом, пусть S — регулярная полугруппа, в которой идемпотенты коммутируют. Тогда каждый элемент S имеет хотя бы один обратный. Предположим, что a в S имеет два обратных b и c , т. е.

аба = а , баб = б , аса = а и как = с . Также ab , ba , ac и ca являются идемпотентами, как указано выше.

Затем

б = bab = b ( aca ) b = bac ( a ) b = bac ( aca ) b = bac ( ac )( ab ) = bac ( ab )( ac ) = ba ( ca ) bac = ca ( ba ) bac = c ( аба ) bac = cabac = cac = c .

Итак, путем коммутации пар идемпотентов ab & ac и ba & ca , что инверсия a показано уникальна. Обратно, можно показать, что любая инверсная полугруппа является регулярной полугруппой, в которой идемпотенты коммутируют. ^[12]

Существование уникального псевдообратного подразумевает существование уникального обратного, но обратное неверно. Например, в симметричной инверсной полугруппе пустое преобразование Ø не имеет единственного псевдообратного, поскольку Ø = Ø f Ø для любого преобразования f . Однако обратное Ø уникально, поскольку только одно f удовлетворяет дополнительному ограничению f = f Ø f , а именно f = Ø. В более общем смысле это замечание справедливо для любой полугруппы с нулем. Более того, если каждый элемент имеет единственный псевдообратный, то полугруппа является группой и единственный псевдообратный элемент совпадает с обратной группой.

Грина Отношения

Напомним, что главные идеалы полугруппы S определяются через S ¹, присоединена полугруппа с единицей ; это делается для того, чтобы элемент a принадлежал главным правым, левым и двусторонним идеалам , которые он порождает. Однако в регулярной полугруппе S элемент a = axa автоматически принадлежит этим идеалам, не прибегая к присоединению единицы. Поэтому отношения Грина можно переопределить для регулярных полугрупп следующим образом:

a\,{\mathcal {L}}\,b

тогда и только тогда, когда Sa = Sb ;

a\,{\mathcal {R}}\,b

тогда и только тогда, когда aS = bS ;

a\,{\mathcal {J}}\,b

тогда и только тогда, когда SaS = SbS . ^[13]

В регулярной полугруппе S каждое ${\mathcal {L}}$ - и ${\mathcal {R}}$ -class содержит хотя бы один идемпотент . Если a — любой элемент из S и a ′ — любой обратный элемент a , то a — это ${\mathcal {L}}$ -относящийся к a ′ a и ${\mathcal {R}}$ -относящийся к аа ' . ^[14]

Теорема. Пусть S — регулярная полугруппа; пусть a и b — элементы S , и пусть V(x) множество обратных x в S. обозначает Затем

$a\,{\mathcal {L}}\,b$ тогда и только тогда, когда существуют a ′ в V ( a ) и b ′ в V ( b ) такие, что a ′ a = b ′ b ;
$a\,{\mathcal {R}}\,b$ тогда и только тогда, когда существуют a ′ в V ( a ) и b ′ в V ( b ) такие, что aa ′ = bb ′ ,
$a\,{\mathcal {H}}\,b$ тогда и только тогда, когда существуют a ′ в V ( a ) и b ′ в V ( b ) такие, что a ′ a = b ′ b и aa ′ = bb ′ . ^[15]

Если S — обратная полугруппа , то идемпотент в каждой ${\mathcal {L}}$ - и ${\mathcal {R}}$ -класс уникален. ^[12]

Специальные классы регулярных полугрупп [ править ]

Некоторые специальные классы регулярных полугрупп: ^[16]

Локально инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S является локально инверсной, если eSe — инверсная полугруппа, для каждого идемпотента e .
Ортодоксальные полугруппы : регулярная полугруппа S является ортодоксальной , если ее подмножество идемпотентов образует подполугруппу.
Обобщенные инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S называется обобщенной инверсной полугруппой , если ее идемпотенты образуют нормальную полосу, т. е. xyzx = xzyx для всех идемпотентов x , y , z .

Класс обобщенных инверсных полугрупп является пересечением класса локально инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп. ^[17]

Все инверсные полугруппы ортодоксальны и локально обратны. Обратные утверждения не верны.

Обобщения [ править ]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Хоуи 1995 с. 54
^ Хоуи 2002.
^ фон Нейман 1936.
^ Кристофер Холлингс (16 июля 2014 г.). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 181. ИСБН 978-1-4704-1493-1 .
^ «Публикации» . www.csd.uwo.ca. Архивировано из оригинала 4 ноября 1999 г.
^ Джонатан С. Голан (1999). Степенные алгебры над полукольцами: с приложениями в математике и информатике . Springer Science & Business Media. п. 104. ИСБН 978-0-7923-5834-3 .
^ Клип, Кнауэр и Михалев: с. 33
^ Клиффорд и Престон, 2010. Лемма 1.14.
^ Хоуи 1995 с. 52
^ Клиффорд и Престон, 2010, стр. 26
^ Хоуи 1995. Лемма 2.4.4.
^ Jump up to: ^а ^б Хоуи 1995 г. 5.1.1. Теорема
^ Хоуи 1995 с. 55
^ Клиффорд и Престон, 2010. Лемма 1.13.
^ Хоуи, 1995 г. , Предложение 2.4.1.
^ Хоуи 1995 гл. 6, § 2.4
^ Хоуи 1995 с. 222

Источники [ править ]

Клиффорд, Альфред Хоблицелле ; Престон, Гордон Бэмфорд (2010) [1967]. Алгебраическая теория полугрупп . Том. 2. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4 .
Хауи, Джон Макинтош (1995). Основы теории полугрупп (1-е изд.). Кларендон Пресс . ISBN 978-0-19-851194-6 .
М. Килп, У. Кнауэр, А. В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000 г., ISBN 3-11-015248-7 .
Дж. А. Грин (1951). «О строении полугрупп». Анналы математики . Вторая серия. 54 (1): 163–172. дои : 10.2307/1969317 . hdl : 10338.dmlcz/100067 . JSTOR 1969317 .
Дж. М. Хоуи, Полугруппы, прошлое, настоящее и будущее, Материалы Международной конференции по алгебре и ее приложениям , 2002, 6–20.
Дж. фон Нейман (1936). «На штатных кольцах» . Труды Национальной академии наук США . 22 (12): 707–713. Бибкод : 1936ПНАС...22..707В . дои : 10.1073/pnas.22.12.707 . ПМЦ 1076849 . ПМИД 16577757 .

[1] Хоуи 1995 с. 54

[2] Хоуи 2002.

[3] фон Нейман 1936.

[Hollings2014-4] Кристофер Холлингс (16 июля 2014 г.). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 181. ИСБН 978-1-4704-1493-1 .

[5] «Публикации» . www.csd.uwo.ca. Архивировано из оригинала 4 ноября 1999 г.

[Golan1999-6] Джонатан С. Голан (1999). Степенные алгебры над полукольцами: с приложениями в математике и информатике . Springer Science & Business Media. п. 104. ИСБН 978-0-7923-5834-3 .

[7] Клип, Кнауэр и Михалев: с. 33

[8] Клиффорд и Престон, 2010. Лемма 1.14.

[9] Хоуи 1995 с. 52

[10] Клиффорд и Престон, 2010, стр. 26

[11] Хоуи 1995. Лемма 2.4.4.

[:0-12] Jump up to: ^а ^б Хоуи 1995 г. 5.1.1. Теорема

[13] Хоуи 1995 с. 55

[14] Клиффорд и Престон, 2010. Лемма 1.13.

[15] Хоуи, 1995 г. , Предложение 2.4.1.

[16] Хоуи 1995 гл. 6, § 2.4

[17] Хоуи 1995 с. 222

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]