Специальные классы полугрупп

В математике полугруппа с — это непустое множество ассоциативной бинарной операцией . Специальный класс полугрупп — это класс полугрупп , удовлетворяющих дополнительным свойствам или условиям. Таким образом, класс коммутативных полугрупп состоит из всех тех полугрупп, в которых бинарная операция удовлетворяет свойству коммутативности, состоящему в том, что ab = ba для всех элементов a и b в полугруппе.Класс конечных полугрупп состоит из тех полугрупп, у которых базовое множество имеет конечную мощность . Члены класса полугрупп Брандта должны удовлетворять не одному условию, а набору дополнительных свойств. Определен большой набор специальных классов полугрупп, хотя не все из них изучены одинаково интенсивно.

В алгебраической теории полугрупп при построении специальных классов внимание концентрируется только на тех свойствах, ограничениях и условиях, которые могут быть выражены через бинарные операции в полугруппах, а иногда и на мощности и подобных свойствах подмножеств основного множества. . базовые наборы Предполагается, что не несут в себе никаких других математических структур, таких как порядок или топология .

Как и в любой алгебраической теории, одной из основных задач теории полугрупп является классификация всех полугрупп и полное описание их строения. В случае полугрупп, поскольку от бинарной операции требуется удовлетворение только свойства ассоциативности, проблема классификации считается чрезвычайно сложной. Получены описания структур некоторых специальных классов полугрупп. Например, полностью известно строение множеств идемпотентов регулярных полугрупп. Описания структур даны в терминах более известных типов полугрупп. Самый известный тип полугруппы — это группа .

Ниже представлен (обязательно неполный) список различных специальных классов полугрупп. По мере возможности определяющие свойства формулируются в терминах бинарных операций в полугруппах. Ссылки указывают на места, откуда получены определяющие свойства.

Обозначения

При описании определяющих свойств различных специальных классов полугрупп принимаются следующие соглашения об обозначениях.

Обозначения
Обозначения	Значение
С	Произвольная полугруппа
И	Набор идемпотентов в S
Г	Группа юнитов в S
я	Минимальный идеал S
V	Регулярные элементы S
Х	Произвольный набор
а , б , в	Произвольные элементы S
х , у , я	Конкретные элементы S
е , ж , г	Произвольные элементы E
час	Конкретный элемент E
л , м , н	Произвольные положительные целые числа
дж , к	Определенные положительные целые числа
в , ш	Произвольные элементы V
0	Нулевой элемент S
1	Идентификатор S
С ¹	S, если 1 ∈ S ; S ∪ { 1 }, если 1 ∉ S
а ≤ _L б а ≤ _Р б а ≤ _Н б а ≤ _J б	С ¹а ⊆ S ¹б как ¹ ⊆ бС ¹ С ¹а ⊆ S ¹б и аС ¹ ⊆ бС ¹ С ¹как ¹ ⊆ С ¹бакалавриат ¹
Л , Р , Ч , Д , Дж	Отношения Грина
Л _а , Ра _, Ха _, Д _а , Джа	Зеленые классы, содержащие
$x^{\omega }$	Единственная степень x , которая является идемпотентной. Этот элемент существует в предположении, что полугруппа (локально) конечна. см . Разнообразие конечных полугрупп Для получения дополнительной информации об этом обозначении .
$\|X\|$	Мощность X при условии, что X конечна.

Например, определение xab = xba следует читать так:

Существует x — элемент полугруппы такой, что для каждого a и b в полугруппе xab и xba равны.

Список специальных классов полугрупп

В третьем столбце указано, образует ли этот набор полугрупп многообразие . И образует ли множество конечных полугрупп этого специального класса множество конечных полугрупп . Обратите внимание: если это множество является многообразием, его множество конечных элементов автоматически является многообразием конечных полугрупп.

Список специальных классов полугрупп
Терминология	Определение свойства	Многообразие конечной полугруппы	Ссылка(и)
Конечная полугруппа	S — конечное множество .	Не бесконечный Конечный
Пустая полугруппа	С = $\emptyset$	Нет
Тривиальная полугруппа	Мощность S равна 1.	бесконечный Конечный
Моноид	1 ∈ S	Нет	Гриль г. 3
Группа (Идемпотентная полугруппа)	а ² = а	бесконечный Конечный	C&P стр. 4
Прямоугольная полоса	Полоса такая, что abca = acba	бесконечный Конечный	Феннемор
Полурешетка	Коммутативная группа, то есть: а ² = а аб = ба	бесконечный Конечный	C&P стр. 24 Феннемор
Коммутативная полугруппа	аб = ба	бесконечный Конечный	C&P стр. 3
Архимедова коммутативная полугруппа	аб = ба Существуют x и k такие, что a ^к = хб .		C&P стр. 131
Нигде коммутативная полугруппа	аб = ба ⇒ а = б		C&P стр. 26
Левая слабо коммутативна	Существуют x и k такие, что ( ab ) ^к = бх .		Большой п. 59
Правая слабо коммутативна	Существуют x и k такие, что ( ab ) ^к = ха .		Большой п. 59
Слабо коммутативный	Левая и правая слабо коммутативны. То есть: Существуют x и j такие, что ( ab ) ^дж = бх . Существуют y и k такие, что ( ab ) ^к = из .		Большой п. 59
Условно коммутативная полугруппа	Если ab = ba , то axb = bxa для всех x .		Большой п. 77
R -коммутативная полугруппа	аб Р ба		Большой п. 69–71
RC -коммутативная полугруппа	R -коммутативный и условно коммутативный		Большой п. 93–107
L -коммутативная полугруппа	аб л ба		Большой п. 69–71
LC -коммутативная полугруппа	L -коммутативный и условно коммутативный		Большой п. 93–107
H -коммутативная полугруппа	аб ч ба		Большой п. 69–71
Квазикоммутативная полугруппа	аб = ( ба ) ^к для некоторого k .		Большой п. 109
Правая коммутативная полугруппа	хаб = хба		Большой п. 137
Левая коммутативная полугруппа	abx = см.		Большой п. 137
Внешне коммутативная полугруппа	axb = bxa		Большой п. 175
Медиальная полугруппа	xaby = xbay		Большой п. 119
Полугруппа E- k ( k фиксированная)	( аб ) ^к = а ^кб ^к	бесконечный Конечный	Большой п. 183
Экспоненциальная полугруппа	( аб ) ^м = а ^мб ^м на все м	бесконечный Конечный	Большой п. 183
WE- k полугруппа ( k фиксировано)	Существует целое положительное число j, зависящее от пары (a,b), такое, что ( ab ) ^{к + дж} = а ^кб ^к ( аб ) ^дж = ( аб ) ^джа ^кб ^к		Большой п. 199
Слабо экспоненциальная полугруппа	МЫ- м для всех м		Большой п. 215
Правая сокращающаяся полугруппа	ба = ca ⇒ б = с		C&P стр. 3
Левая сокращающаяся полугруппа	аб = ак ⇒ б = с		C&P стр. 3
Отрицательная полугруппа	Левая и правая сокращающаяся полугруппа, т.е. аб = ак ⇒ б = с ба = ca ⇒ б = с		C&P стр. 3
''E''-инверсивная полугруппа ( E -плотная полугруппа)	Существует x такой, ax ∈ E. что		C&P стр. 98
Регулярная полугруппа	Существует x такой, что axa = a .		C&P стр. 26
Обычная группа	Полоса такая, что абака = abca	бесконечный Конечный	Феннемор
Внутрирегулярная полугруппа	Существуют x и y такие, что xa ²у = а .		C&P стр. 121
Левая регулярная полугруппа	Существует x такой, что xa ² = а .		C&P стр. 121
Лево-регулярная группа	Полоса такая, что aba = ab	бесконечный Конечный	Феннемор
Правая регулярная полугруппа	Существует x такой, что a ²х знак равно а .		C&P стр. 121
Правая-регулярная полоса	Полоса такая, что аба = ба	бесконечный Конечный	Феннемор
Вполне регулярная полугруппа	Ха _– это группа.		Гриль г. 75
(обратная) полугруппа Клиффорда	Регулярная полугруппа, в которой все идемпотенты центральные. Эквивалентно, для конечной полугруппы: $a^{\omega }b=ba^{\omega }$	Конечный	Петрич п. 65
k -регулярная полугруппа ( k фиксированная)	Существует x такой, что a ^кшах ^к = а ^к.		День
В конце концов регулярная полугруппа (π-регулярная полугруппа, Квазирегулярная полугруппа)	Существуют k и x (в зависимости от a ) такие, что a ^кшах ^к = а ^к.		Эдвард Shum Хигг п. 49
Квазипериодическая полугруппа, эпигруппа , полугруппа, связанная с группой, полностью (или сильно) π-регулярная полугруппа и многие другие; см. в Kela список )	Существует k (зависящее от a ) такое, что a ^к принадлежит подгруппе S		Что Гриль г. 110 Хигг п. 4
Примитивная полугруппа	Если 0 ≠ e и f = ef = fe, то e = f .		C&P стр. 26
Единичная регулярная полугруппа	существует что В G такой, aua = a .		ТВМ
Сильно единичная регулярная полугруппа	существует что В G такой, aua = a . е D ж ⇒ ж = v ⁻¹ev для некоторого v в G .		ТВМ
Православная полугруппа	Существует x такой, что axa = a . E является подполугруппой S .		Гриль г. 57 Хауи п. 226
Обратная полугруппа	Существует единственный x такой, что axa = a и xax = x .		C&P стр. 28
Левая инверсная полугруппа ( R -унипотентный)	Ra _{уникальный} содержит h .		Гриль г. 382
Правая инверсная полугруппа ( L -унипотентный)	L _a содержит уникальный h .		Гриль г. 382
Локально инверсная полугруппа (Псевдообратная полугруппа)	Существует x такой, что axa = a . E — псевдополурешетка.		Гриль г. 352
M -инверсивная полугруппа	Существуют x и y такие, что baxc = bc и byac = bc .		C&P стр. 98
Обильная полугруппа	Классы L * _a и R * _a , где a L * b , если ac = ad ⇔ bc = bd, и a R * b, если ca = da ⇔ cb = db , содержат идемпотенты.		Чен
РПП-полугруппа (Правая главная проективная полугруппа)	Класс L * _a , где aL . * b , если ac = ad ⇔ bc = bd , содержит хотя бы один идемпотент		Shum
ЛПП-полугруппа (Левая главная проективная полугруппа)	Класс R * _a , где a R * b , если ca = da ⇔ cb = db , содержит хотя бы один идемпотент.		Shum
Нулевая полугруппа ( Нулевая полугруппа )	0 ∈ S аб = 0 Эквивалентно ab = cd	бесконечный Конечный	C&P стр. 4
Левая нулевая полугруппа	аб = а	бесконечный Конечный	C&P стр. 4
Левая нулевая полоса	Полугруппа левых нулей, являющаяся полосой. То есть: аб = а аа = а	бесконечный Конечный	Феннемор
Левая группа	Полугруппа, простая слева и сокращающаяся справа. Прямое произведение полугруппы левых нулей и абелевой группы.		C&P стр. 37, 38
Правая нулевая полугруппа	аб = б	бесконечный Конечный	C&P стр. 4
Правая нулевая полоса	Полугруппа правых нулей, являющаяся полосой. То есть: аб = б аа = а	бесконечный Конечный	Феннемор
Правая группа	Полугруппа, простая справа и сокращающаяся слева. Прямое произведение полугруппы правых нулей и группы.		C&P стр. 37, 38
Правая абелева группа	Правая простая и условно коммутативная полугруппа. Прямое произведение полугруппы правых нулей и абелевой группы.		Большой п. 87
Унипотентная полугруппа	E — синглтон.	бесконечный Конечный	C&P стр. 21
Левая редуктивная полугруппа	Если xa = xb для всех x, то a = b .		C&P стр. 9
Правая редуктивная полугруппа	Если ax = bx для всех x , то a = b .		C&P стр. 4
Редуктивная полугруппа	Если xa = xb для всех x, то a = b . Если ax = bx для всех x , то a = b .		C&P стр. 4
Сепаративная полугруппа	аб = а ² = б ² ⇒ а = б		C&P стр. 130–131
Обратимая полугруппа	Са ∩ Sb ≠ Ø аS ∩ bS ≠ Ø		C&P стр. 34
Правая обратимая полугруппа	Са ∩ Sb ≠ Ø		C&P стр. 34
Левая обратимая полугруппа	аS ∩ bS ≠ Ø		C&P стр. 34
Апериодическая полугруппа	Существует k (зависящее от a ) такое, что a ^к = а ^к+1 Эквивалентно, для конечной полугруппы: для каждого a , $a^{\omega }a=a^{\omega }$ .		ККМ п. 29 Пин п. 158
ω-полугруппа	E — счетная нисходящая цепь порядка a ≤ _H b		Гриль г. 233–238
Левая полугруппа Клиффорда (LC-полугруппа)	аС ⊆ Са		Shum
Правая полугруппа Клиффорда (RC-полугруппа)	В ⊆ аS		Shum
Ортогруппа	Ха _– это группа. E является подполугруппой S		Shum
Полная коммутативная полугруппа	аб = ба а ^к находится в подгруппе S для некоторого k . Каждое непустое подмножество E имеет нижнюю границу.		Гриль г. 110
Нильсемигруппа (Нильпотентная полугруппа)	0 ∈ S а ^к = 0 для некоторого целого числа k, зависящего от a . Эквивалентно, для конечной полугруппы: для каждого элемента x и y , $yx^{\omega }=x^{\omega }=x^{\omega }y$ .	Конечный	Гриль г. 99 Пин п. 148
Элементарная полугруппа	аб = ба S имеет вид G ∪ N , где G — группа, и 1 ∈ G N — идеал, нильполугруппа и 0 ∈ N		Гриль г. 111
E -унитарная полугруппа	Существует единственный x такой, что axa = a и xax = x . of = e ⇒ a ∈ E		Гриль г. 245
Конечно-представленная полугруппа	S имеет представление ( X ; R ), в котором X и R конечны.		Гриль г. 134
Фундаментальная полугруппа	Равенство на S — единственное сравнение, содержащееся H. в		Гриль г. 88
Идемпотентно-порожденная полугруппа	S равна полугруппе, порожденной E .		Гриль г. 328
Локально конечная полугруппа	Любая конечно порожденная подполугруппа группы S конечна.	Не бесконечный Конечный	Гриль г. 161
N -полугруппа	аб = ба Существуют x и целое положительное число n такие, что a = xb ^н. топор = ай ⇒ х = у ха = я ⇒ х = у Е = Ø		Гриль г. 100
L -унипотентная полугруппа (Правая обратная полугруппа)	L _a содержит уникальный e .		Гриль г. 362
R -унипотентная полугруппа (Левая инверсная полугруппа)	Ra _{уникальный} содержит e .		Гриль г. 362
Левая простая полугруппа	L _а = S		Гриль г. 57
Правая простая полугруппа	Ра = S		Гриль г. 57
Субэлементарная полугруппа	аб = ба S = C ∪ N, где C — сокращающаяся полугруппа, N — нильполугруппа или одноэлементная полугруппа. N является идеалом S . Ноль N равен 0 S . Для x , y в S и c в C , cx = cy подразумевает, что x = y .		Гриль г. 134
Симметричная полугруппа ( Полугруппа полного преобразования )	Множество всех отображений X в себя с композицией отображений как бинарной операцией.		C&P стр. 2
Слабо редуктивная полугруппа	Если xz = yz и zx = zy для всех z в S, то x = y .		C&P стр. 11
Правая однозначная полугруппа	Если x , y ≥ _R z , то x ≥ _R y или y ≥ _R x .		Гриль г. 170
Левая однозначная полугруппа	Если x , y ≥ _L z , то x ≥ _L y или y ≥ _L x .		Гриль г. 170
Однозначная полугруппа	Если x , y ≥ _R z , то x ≥ _R y или y ≥ _R x . Если x , y ≥ _L z , то x ≥ _L y или y ≥ _L x .		Гриль г. 170
Слева 0-однозначно	0ε S 0 ≠ x ≤ _L y , z ⇒ y ≤ _L z или z ≤ _L y		Гриль г. 178
Верно 0-однозначно	0ε S 0 ≠ x ≤ _R y , z ⇒ y ≤ _L z или z ≤ _R y		Гриль г. 178
0-однозначная полугруппа	0ε S 0 ≠ x ≤ _L y , z ⇒ y ≤ _L z или z ≤ _L y 0 ≠ x ≤ _R y , z ⇒ y ≤ _L z или z ≤ _R y		Гриль г. 178
Left Putcha semigroup	€ а bS ¹ ⇒ а ^н б € ²С ¹ для некоторых н .		Большой п. 35
Правая полугруппа Путча	€ а S ¹б ⇒ а ^н ∈ S ¹б ² для некоторых н .		Большой п. 35
Putcha semigroup	€ а S ¹б С ¹ ⇒ а ^н ∈ S ¹б ²С ¹ для некоторого натурального числа n		Большой п. 35
Бипростая полугруппа ( D -простая полугруппа)	Д _а = S		C&P стр. 49
0-бипростая полугруппа	0 ∈ S S- {0} является D классом S. -		C&P стр. 76
Совершенно простая полугруппа	Не существует A ⊆ S , A ≠ S таких, SA ⊆ A и AS ⊆ A. что существует h В E такой, что всякий раз, когда hf = f и fh = f, мы имеем h = f .		C&P стр. 76
Вполне 0-простая полугруппа	0 ∈ S С ² ≠ 0 Если A ⊆ S таков, что AS ⊆ A и SA ⊆ A, то A = 0 или A = S . существует ненулевой h В E такой, что всякий раз, когда hf = f , fh = f и f ≠ 0, мы имеем h = f .		C&P стр. 76
D -простая полугруппа (бипростая полугруппа)	Д _а = S		C&P стр. 49
Полупростая полугруппа	Пусть J ( a ) = S ¹как ¹, я ( а ) знак равно J ( а ) - J _а . Каждая фактор-полугруппа Риса J ( a )/ I ( a ) 0-проста или проста.		C&P стр. 71–75
$\mathbf {CS}$ : Простая полугруппа	J _а = S . (Не существует A ⊆ S , A ≠ S таких, что SA ⊆ A и AS ⊆ A .), эквивалентно, для конечной полугруппы: $a^{\omega }a=a$ и $(aba)^{\omega }=a^{\omega }$ .	Конечный	C&P стр. 5 Хигг п. 16 Пин стр. 151, 158
0-простая полугруппа	0 ∈ S С ² ≠ 0 Если A ⊆ S таков, что AS ⊆ A и SA ⊆ A, то A = 0.		C&P стр. 67
Левая 0-простая полугруппа	0 ∈ S С ² ≠ 0 Если A ⊆ S таков, что SA ⊆ A, то A = 0.		C&P стр. 67
Правая 0-простая полугруппа	0 ∈ S С ² ≠ 0 Если A ⊆ S таков, что AS ⊆ A, то A = 0.		C&P стр. 67
Циклическая полугруппа ( Моногенная полугруппа )	S знак равно { ш , ш ², В ³, ... } для некоторого w из S	Не бесконечный Не конечно	C&P стр. 19
Периодическая полугруппа	{ а , а ², а ³, ... } — конечное множество.	Не бесконечный Конечный	C&P стр. 20
Бициклическая полугруппа	1 ∈ S С. признает презентацию $\langle x,y\mid xy=1\rangle$ .		C&P стр. 43–46
Полугруппа полного преобразования T _X (Симметричная полугруппа)	Множество всех отображений X композицией в себя с отображений как бинарной операцией .		C&P стр. 2
Прямоугольная полоса	Полоса такая, что aba = a Эквивалентно abc = ac	бесконечный Конечный	Феннемор
Прямоугольная полугруппа	Всякий раз, когда три из ax , ay , bx , by равны, все четыре равны.		C&P стр. 97
Симметричная инверсная полугруппа I _X	Полугруппа взаимно однозначных преобразований X . частичных		C&P стр. 29
Полугруппа Брандта	0 ∈ S ( ac = bc ≠ 0 или ca = cb ≠ 0) ⇒ a = b ( ab ≠ 0 и bc ≠ 0 ) ⇒ abc ≠ 0 Если a ≠ 0, существуют уникальные x , y , z такие, что xa = a , ay = a , za = y . ( е ≠ 0 и f ≠ 0 ) ⇒ eSf ≠ 0.		C&P стр. 101
Свободная полугруппа F _X	Множество конечных последовательностей элементов X с операцией ( Икс ₁ , ..., Икс _м ) ( y ₁ , ..., y _п ) знак равно ( Икс ₁ , ..., Икс _м , y ₁ , ..., y _п )		Гриль г. 18
Риса Матричная полугруппа	Г ⁰ присоединилась группа G с 0. П : Λ × I → G ⁰ карта. Определить операцию в I × G ⁰ × Λ через ( я , грамм , λ ) ( j , час , μ ) знак равно ( я , грамм P( λ, j ) час , μ ). ( Я , Г ⁰, Λ )/( I × { 0 } × Λ ) — полугруппа матриц Риса M ⁰ ( Г ⁰; Я , Л; П ).		К&П стр.88
Полугруппа линейных преобразований	Полугруппа линейных преобразований векторного пространства V над полем F при композиции функций .		К&П стр.57
Полугруппа бинарных отношений B _X	Набор всех бинарных отношений на X в композиции		К&П стр. 13
Числовая полугруппа	0 ∈ S ⊆ N = { 0,1,2, ... } при + . N - S конечно		Дельг
Полугруппа с инволюцией (*-полугруппа)	Существует унарная операция a → a * в S такая, что a ** = a и ( ab )* = b * a *.		Почему?
Полугруппа Бэра – Леви	Полугруппа однозначных преобразований f числа X таких, что X − f ( X ) бесконечно.		К&П II, глава 8
U -полугруппа	Существует унарная операция a → a ' в S такая, что ( a ')' = a .		Хауи стр.102
Я - полугруппа	Существует унарная операция a → a ' в S такая, что ( a ')' = a и aa ' a = a .		Хауи стр.102
Полуполосный	Регулярная полугруппа, порожденная своими идемпотентами.		Хауи стр.230
Группа	Существует h такой, что для всех a ah = ha = a . Существует x (зависящий от a ) такой, что ax = xa = h .	Не бесконечный Конечный
Топологическая полугруппа	Полугруппа, которая также является топологическим пространством. Такого, что произведение полугруппы непрерывно.	Непригодный	Пин п. 130
Синтаксическая полугруппа	Наименьший конечный моноид, который может распознавать подмножество другой полугруппы.		Пин п. 14
$\mathbf {R}$ : R -тривиальные моноиды	Р -тривиально. То есть каждый класс R -эквивалентности тривиален. Эквивалентно, для конечной полугруппы: $(ab)^{\omega }a=(ab)^{\omega }$ .	Конечный	Пин п. 158
$\mathbf {L}$ : L -тривиальные моноиды	Л - тривиально. То есть каждый класс L -эквивалентности тривиален. Эквивалентно, для конечных моноидов, $b(ab)^{\omega }=(ab)^{\omega }$ .	Конечный	Пин п. 158
$\mathbf {J}$ : J -тривиальные моноиды	Моноиды, J -тривиальные. То есть каждый класс J -эквивалентности тривиален. Эквивалентно, моноиды являются L -тривиальными и R -тривиальными.	Конечный	Пин п. 158
$\mathbf {R_{1}}$ : идемпотент и R -тривиальные моноиды	Р -тривиально. То есть каждый класс R -эквивалентности тривиален. Эквивалентно, для конечных моноидов: aba = ab .	Конечный	Пин п. 158
$\mathbf {L_{1}}$ : идемпотент и L -тривиальные моноиды	Л - тривиально. То есть каждый класс L -эквивалентности тривиален. Эквивалентно, для конечных моноидов: aba = ba .	Конечный	Пин п. 158
$\mathbb {D} \mathbf {S}$ : полугруппа, регулярные D которой являются полугруппой	Эквивалентно, для конечных моноидов: $(a^{\omega }a^{\omega }a^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }$ . Эквивалентно, регулярные H-классы — это группы, Эквивалентно, v ≤ _J a влечет v R va и v L av Эквивалентно, для каждого идемпотента e множество a такое, что e ≤ _J a, замкнуто относительно произведения (т. е. это множество является подполугруппой) Эквивалентно, не существует идемпотентов e и f таких, что e J f , но не ef J e Эквивалентно, моноид $B_{2}^{1}$ не делит $S\times S$	Конечный	Пин стр. 154, 155, 158
$\mathbb {D} \mathbf {A}$ : Полугруппа, регулярные D которой являются апериодической полугруппой.	Каждый регулярный D-класс является апериодической полугруппой. Эквивалентно, каждый обычный D-класс представляет собой прямоугольную полосу. Эквивалентно, регулярный D-класс является полугруппой, и, кроме того, S апериодичен. Эквивалентно для конечного моноида: регулярные D-классы являются полугруппой, и, кроме того, $aa^{\omega }=a^{\omega }$ Эквивалентно, e ≤ _J a подразумевает eae = e Эквивалентно, e ≤ _J f подразумевает efe = e .	Конечный	Пин п. 156, 158
$\ell \mathbf {1}$ / $\mathbf {K}$ : Левая тривиальная полугруппа	е : еS = е , Эквивалентно, I - полугруппа левых нулей, равная E , Эквивалентно, для конечной полугруппы: I — полугруппа левых нулей, равна $S^{\|S\|}$ , Эквивалентно, для конечной полугруппы: $a_{1}\dots a_{n}y=a_{1}\dots a_{n}$ , Эквивалентно, для конечной полугруппы: $a^{\omega }b=a^{\omega }$ .	Конечный	Пин стр. 149, 158
$\mathbf {r1}$ / $\mathbf {D}$ : Правая тривиальная полугруппа	е : Если = е , Эквивалентно, I - полугруппа правых нулей, равная E , Эквивалентно, для конечной полугруппы: I — полугруппа правых нулей, равна $S^{\|S\|}$ , Эквивалентно, для конечной полугруппы: $ba_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}$ , Эквивалентно, для конечной полугруппы: $ba^{\omega }=a^{\omega }$ .	Конечный	Пин стр. 149, 158
$\mathbb {L} \mathbf {1}$ : Локально тривиальная полугруппа	еЕсли = е , Эквивалентно, I равен E , Эквивалентно, eaf = ef , Эквивалентно, для конечной полугруппы: $ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}$ , Эквивалентно, для конечной полугруппы: $a_{1}\dots a_{n}ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}$ , Эквивалентно, для конечной полугруппы: $a^{\omega }ba^{\omega }=a^{\omega }$ .	Конечный	Пин стр. 150, 158
$\mathbb {L} \mathbf {G}$ : Локальные группы	eSe — это группа, Эквивалентно, E ⊆ I , Эквивалентно, для конечной полугруппы: $(a^{\omega }ba^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }$ .	Конечный	Пин стр. 151, 158

Список специальных классов упорядоченных полугрупп
Терминология	Определение свойства	Разнообразие	Ссылка(и)

Упорядоченная полугруппа	Полугруппа с отношением частичного порядка ≤, такая что из a ≤ b влечет c•a ≤ c•b и a•c ≤ b•c.	Конечный	Пин п. 14
$\mathbf {N} ^{+}$	Нильпотентные конечные полугруппы с $a\leq b^{\omega }$	Конечный	Пин стр. 157, 158
$\mathbf {N} ^{-}$	Нильпотентные конечные полугруппы с $b^{\omega }\leq a$	Конечный	Пин стр. 157, 158
$\mathbf {J} _{1}^{+}$	Полурешетки с $1\leq a$	Конечный	Пин стр. 157, 158
$\mathbf {J} _{1}^{-}$	Полурешетки с $a\leq 1$	Конечный	Пин стр. 157, 158
$\mathbb {L} \mathbf {J} _{1}^{+}$ локально положительная J-тривиальная полугруппа	Конечные полугруппы, удовлетворяющие $a^{\omega }\leq a^{\omega }ba^{\omega }$	Конечный	Пин стр. 157, 158

Ссылки

[КиП]		А. Х. Клиффорд , ГБ Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп Vol. Я (второе издание). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4
[К&П II]		А. Х. Клиффорд, ГБ Престон (1967). Алгебраическая теория полугрупп Vol. II (второе издание). Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0272-0
[Чен]		Хуэй Чен (2006), «Построение своего рода обильных полугрупп», Mathematical Communications ( 11 ), 165–171 (по состоянию на 25 апреля 2009 г.)
[Удалить]		М. Дельгадо и др. , Числовые полугруппы , [1] (По состоянию на 27 апреля 2009 г.)
[edu]		П. М. Эдвардс (1983), «В конечном итоге регулярные полугруппы», Бюллетень Австралийского математического общества 28 , 23–38.
[Гриль]		П. А. Грилье (1995). Полугруппы . ЦРК Пресс . ISBN 978-0-8247-9662-4
[День]		К. С. Харинатх (1979), «Некоторые результаты о k -регулярных полугруппах», Индийский журнал чистой и прикладной математики 10 (11), 1422–1431.
[Сказать]		Дж. М. Хоуи (1995), Основы теории полугрупп , Oxford University Press
[Большой]		Аттила Надь (2001). Специальные классы полугрупп . Спрингер . ISBN 978-0-7923-6890-8
[Домашний питомец]		М. Петрич, Н. Р. Рейли (1999). Вполне регулярные полугруппы . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-19571-9
[Shum]		К. П. Шум «Полугруппы Rpp, их обобщения и специальные подклассы» в журнале « Успехи в алгебре и комбинаторике» под редакцией К. П. Шума и др. (2008), Всемирный научный журнал , ISBN 981-279-000-4 (стр. 303–334)
[Твм]		Труды международного симпозиума по теории регулярных полугрупп и ее приложениям , Университет Кералы , Тируванантапурам , Индия , 1986 г.
[что]		А. В. Келарев, Приложения эпигрупп к градуированной теории колец , Форум полугрупп , Том 50, Номер 1 (1995), 327-350 дои : 10.1007/BF02573530
[МЗ]		Мати Килп, Ульрих Кнауэр, Александр В. Михалев (2000), Моноиды, действия и категории: с приложениями к сплетениям и графам , Изложения по математике 29 , Вальтер де Грюйтер, Берлин, ISBN 978-3-11-015248-7 .
[Хигг]		Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853577-5 .
[Приколоть]		Пин, Жан-Эрик (30 ноября 2016 г.). Математические основы теории автоматов (PDF) .
[Феннемор]		Феннемор, Чарльз (1970), «Все разновидности полос», Semigroup Forum , 1 (1): 172–179, doi : 10.1007/BF02573031