Нигде коммутативная полугруппа

В математике — нигде не коммутативная полугруппа это полугруппа S такая, что для всех a и b в S , если ab = ba , то a = b . Полугруппа S нигде не коммутативна тогда и только тогда, когда любые два элемента S являются обратными друг другу.

Характеристика нигде

Нигде коммутативные полугруппы нельзя охарактеризовать несколькими различными способами. Если S — полугруппа, то следующие утверждения эквивалентны :

• S нигде не коммутативен.
• S — прямоугольная полоса (в том смысле, в котором этот термин использует Джон Хоуи). ).
• всех a и b в S aba a = . Для
• Для всех a , b и c в S , a ² = а и abc = ac .

Хотя прямоугольные полосы по определению являются конкретными полугруппами, у них есть тот недостаток, что их определение сформулировано не в терминах основной бинарной операции в полугруппе. Подход через определение нигде не коммутативных полугрупп исправляет этот недостаток.

Чтобы убедиться, что нигде не коммутативная полугруппа является прямоугольной полосой, пусть S — нигде не коммутативная полугруппа. Используя определяющие свойства нигде не коммутативной полугруппы, можно увидеть, что для каждого в S пересечение классов a Грина R a _и L a _{содержит} единственный элемент a . Пусть S   /   L — семейство L -классов в S и S   /   R — семейство R в S. - классов Отображение

ψ : S → ( S   /   R ) × ( S   /   L )

определяется

а ψ знак равно ( р _а   , L _а )

является биекцией . Если декартово произведение ( S   /   R ) × ( S   /   L ) превратить в полугруппу, снабдив его умножением прямоугольной ленты, отображение ψ станет изоморфизмом . Итак, S изоморфна прямоугольной полосе.

Другие утверждения об эквивалентности следуют непосредственно из соответствующих определений.

См. также

Специальные классы полугрупп