Группа (алгебра)

В математике полоса , (также называемая идемпотентной полугруппой ) — это полугруппа в которой каждый элемент идемпотентен (другими словами, равен своему квадрату). Полосы были впервые изучены и названы А. Х. Клиффордом ( 1954 ).

Решетка - разновидностей полос была независимо описана в начале 1970 х годов Бирюковым, Феннемором и Герхардом. ^[1] Полурешетки , левонулевые полосы , правонулевые полосы , прямоугольные полосы , нормальные полосы , леворегулярные полосы , праворегулярные полосы и регулярные полосы — это особые подклассы полос, которые лежат вблизи нижней части этой решетки и представляют особый интерес; они кратко описаны ниже.

Разновидности полос

Класс полос образует многообразие , если он замкнут относительно образования подполугрупп, гомоморфных образов и прямого произведения . Каждое разнообразие полос может быть определено одним определяющим идентификатором . ^[2]

Полурешетки

Полурешетки — это в точности коммутативные зоны; то есть это полосы, удовлетворяющие уравнению

$xy = yx$ для всех $x$ и $y$ .

Полосы вызывают предварительный порядок, который можно определить как $x\leq y$ если $xy=x$ . Требование коммутативности означает, что этот предварительный порядок становится (полурешетчатым) частичным порядком.

Нулевые полосы

— Левонулевая полоса это полоса, удовлетворяющая уравнению

$ху = х$ ,

поэтому ее таблица Кэли имеет постоянные строки.

Симметрично, полоса правого нуля удовлетворяет

$ху = у$ ,

чтобы таблица Кэли имела постоянные столбцы.

Прямоугольные полосы

— Прямоугольная полоса это полоса $S,$ удовлетворяющая условию

$xyx = x$ для всех $x, y \in S$ или, что то же самое,
$xyz = xz$ для всех $x, y, z \in S$ ,

В любой полугруппе первого тождества достаточно, чтобы охарактеризовать нигде коммутативную полугруппу .

Нигде из коммутативной полугруппы не следует первое тождество.

В любой гибкой магме $(aa)a=a(aa)$ поэтому каждый элемент коммутирует со своим квадратом. Таким образом, в любой коммутативной полугруппе «Нигде» каждый элемент идемпотентен, поэтому любая коммутативная полугруппа «Нигде» фактически является коммутативной группой «Нигде».

Таким образом, в любой коммутативной полугруппе Nowhere

x(xyx)=(xx)yx=xyx=xy(xx)=(xyx)x

Так $x$ ездит с $xyx$ и таким образом $xyx=x$ - первая характеристика личности.

В любой полугруппе первое тождество влечет идемпотентность, поскольку $a=aaa$ так $aa=aaaa=a(aa)a=a$ такой идемпотент (группа). Затем

нигде не коммутативен, поскольку группа $xy=yx\implies (xy)(yx)=(yx)(xy)$ Итак, в группе

xy=yx\implies x=xyx=x(yy)x=(xy)(yx)=(yx)(xy)=y(xx)y=yxy=y

В любой полугруппе первое тождество также влечет за собой второе, поскольку $xyz = xy (zxz) = (x (yz) x) z = xz$ .

Идемпотенты прямоугольной полугруппы образуют поддиапазон, который представляет собой прямоугольную полосу, но прямоугольная полугруппа может иметь элементы, которые не являются идемпотентами. В группе второе тождество, очевидно, подразумевает первое, но для этого необходима идемпотентность. Существуют полугруппы, удовлетворяющие второму тождеству, но не являющиеся полосами и не удовлетворяющие первому тождеству.

Существует полная классификация прямоугольных полос. Учитывая произвольные множества $I$ и $J,$ можно определить операцию магмы над $I \times J$ , установив

(i,j)\cdot (k,\ell )=(i,\ell )\,

Эта операция ассоциативна, поскольку для любых трех $(ix), j x)$ , $(i y, j y ($ , $пар i z, j z)$ имеем

((i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y}))\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})

и аналогично

(i_{x},j_{x})\cdot ((i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z}))=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})

Эти две личности магмы

(xy)z = xz

и

x(yz) = xz

вместе эквивалентны второму характеристическому тождеству, приведенному выше.

Вместе они также подразумевают ассоциативность $(xy)z = x(yz)$ . Следовательно, любая магма, удовлетворяющая этим двум прямоугольным тождествам и идемпотентности, представляет собой прямоугольную полосу. Таким образом, любая магма, которая удовлетворяет обоим характеристикам (четырем отдельным характеристикам магмы), представляет собой полосу и, следовательно, прямоугольную полосу.

Определенная выше операция магмы представляет собой прямоугольную полосу, потому что для любой пары $(i, j)$ мы имеем $(i, j) \cdot (i, j) = (i, j)$ , поэтому каждый элемент идемпотентен, и первое характеристическое тождество следует из второй вместе с идемпотентностью.

Но магма, которая удовлетворяет только тождествам для первой характеристики и идемпотентности, не обязательно должна быть ассоциативной, поэтому вторая характеристика следует только из первой в полугруппе.

Любая прямоугольная полоса изоморфна одной из указанных выше форм (либо $S$ пусто или выберите любой элемент $e\in S$ , а потом ( $s\mapsto (se,es)$ ) определяет изоморфизм $S\cong Se\times eS$ ). Левонулевые и правонулевые полосы являются прямоугольными полосами, и на самом деле каждая прямоугольная полоса изоморфна прямому произведению левонулевой полосы и правонулевой полосы. Все прямоугольные полосы простого порядка являются нулевыми полосами, как левыми, так и правыми. Прямоугольная полоса называется чисто прямоугольной, если она не является полосой с левым или правым нулем. ^[3]

На категориальном что категория непустых прямоугольных полос эквивалентна языке можно сказать , $\mathrm {Set} _{\neq \emptyset }\times \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }$ , где $\mathrm {Set} _{\neq \emptyset }$ — категория с непустыми множествами в качестве объектов и функциями в качестве морфизмов. Это означает не только то, что каждая непустая прямоугольная полоса изоморфна множеству, происходящему из пары множеств, но и эти множества однозначно определены с точностью до канонического изоморфизма, и все гомоморфизмы между полосами возникают из пар функций между множествами. ^[4] Если в приведенном выше результате множество $I$ пусто, прямоугольная полоса $I \times J$ не зависит от $J$ , и наоборот. Вот почему приведенный выше результат дает эквивалентность только между непустыми прямоугольными полосами и парами непустых множеств.

Прямоугольные полосы также являются $T$ -алгебрами, где $T$ — монада на множестве с $T (X) = X \times X$ , $T (f) = f \times f$ , $\eta _{X}$ диагональная карта $X\to X\times X$ , и $\mu _{X}((x_{11},x_{12}),(x_{21},x_{22}))=(x_{11},x_{22})$ .

Нормальные полосы

— Нормальная полоса это полоса $S,$ удовлетворяющая

$zxyz = zyxz$ для $x$ , $y$ и $z \in S.$ всех

Мы также можем сказать, что нормальная полоса — это полоса $S,$ удовлетворяющая

$axyb = ayxb$ всех $a$ , $b$ , $x$ и $y \in S.$ для

Это то же уравнение, которое используется для определения медиальной магмы , поэтому нормальную полосу также можно назвать медиальной полосой, а нормальные полосы являются примерами медиальной магмы. ^[3]

Лево-регулярные полосы

Леворегулярная полоса — это полоса $S,$ удовлетворяющая

$xyx = xy$ для всех $x$ , $y \in S$

Если мы возьмем полугруппу и определим $a ⩽ b$ , если $ab = b$ , мы получим частичный порядок тогда и только тогда, когда эта полугруппа является леворегулярной полосой. Таким образом, леворегулярные полосы естественным образом появляются при изучении частично упорядоченных множеств . ^[5]

Право-регулярные полосы

Праворегулярная полоса — это полоса $S,$ удовлетворяющая

$xyx = yx$ для всех $x, y \in S$

Любая праворегулярная полоса становится леворегулярной при использовании противоположного произведения. Действительно, у каждой разновидности групп есть «противоположная» версия; это приводит к симметрии отражения, как показано на рисунке ниже.

Обычные группы

— Регулярная полоса это полоса $S,$ удовлетворяющая

$zxzyz = zxyz$ для всех $x, y, z \in S$

Решетка сортов

Решетка разновидностей регулярных полос.

При частичном упорядочении путем включения разновидности полос естественным образом образуют решетку , в которой встреча двух разновидностей является их пересечением, а соединение двух разновидностей — это наименьшее разнообразие, содержащее их обе. Полное строение этой решетки известно; в частности, оно счетно , полно и распределительно . ^[1] На рисунке изображена подрешетка, состоящая из 13 разновидностей правильных полос. Разновидности левонулевых зон, полурешеток и правонулевых зон представляют собой три атома (нетривиальные минимальные элементы) этой решетки.

Каждая разновидность полос, показанная на рисунке, определяется только одним идентификатором. Это не совпадение: на самом деле каждую разновидность полос можно определить по одному тождеству. ^[1]

См. также

Булево кольцо — кольцо, в котором каждый элемент (мультипликативно) идемпотентен.
Нигде коммутативная полугруппа
Специальные классы полугрупп
Православная полугруппа
Обратимый клеточный автомат § Одномерные автоматы

Примечания

Ссылки

Бирюков А. П. (1970), «Многообразия идемпотентных полугрупп», Алгебра и логика , 9 (3): 153–164, doi : 10.1007/BF02218673 .
Браун, Кен (2000), «Полугруппы, кольца и цепи Маркова», J. Theoret. Вероятно. , 13 : 871–938, arXiv : math/0006145 , Bibcode : 2000math......6145B .
Клиффорд, Альфред Хоблицелле (1954), «Полосы полугрупп», Труды Американского математического общества , 5 : 499–504, doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0062119-9 , MR 0062119 .
Клиффорд, Альфред Хоблицелле ; Престон, Гордон Бэмфорд (1972), Алгебраическая теория полугрупп , Москва: Мир .
Феннемор, Чарльз (1970), «Все разновидности полос», Semigroup Forum , 1 (1): 172–179, doi : 10.1007/BF02573031 .
Герхард, Дж. А. (1970), «Решетка эквациональных классов идемпотентных полугрупп», Journal of Algebra , 15 (2): 195–224, doi : 10.1016/0021-8693(70)90073-6 , hdl : 10338.dmlcz /128238 .
Герхард, Дж.А.; Петрич, Марио (1989), «Возвращённые разновидности полос», Труды Лондонского математического общества , 3 : 323–350, doi : 10.1112/plms/s3-58.2.323 .
Хоуи, Джон М. (1995), Основы теории полугрупп , Oxford U. Press, ISBN 978-0-19-851194-6 .
Надь, Аттила (2001), Специальные классы полугрупп , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6890-8 .
Ямада, Миюки (1971), «Заметка об исключительных полугруппах», Semigroup Forum , 3 (1): 160–167, doi : 10.1007/BF02572956 .

[bfg-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Бирюков (1970) ; Феннемор (1970) ; Герхард (1970) ; Герхард и Петрич (1989) .

[FOOTNOTEFennemore1970-2] Феннемор (1970) .

[y71-3] Перейти обратно: ^а ^б Ямада (1971) .

[FOOTNOTEHowie1995-4] Хоуи (1995) .

[FOOTNOTEBrown2000-5] Браун (2000) .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]