Нулевая полугруппа

В математике нулевая полугруппа (также называемая нулевой полугруппой ) — это полугруппа с поглощающим элементом , называемым нулем , в которой произведение любых двух элементов равно нулю. ^{[ 1 ]} Если каждый элемент полугруппы является левым нулем , то полугруппа называется полугруппой левых нулей ; полугруппа правых нулей определяется аналогично. ^{[ 2 ]}

По мнению А. Х. Клиффорда и Дж. Престона , «несмотря на свою тривиальность, эти полугруппы естественным образом возникают в ряде исследований». ^{[ 1 ]}

Нулевая полугруппа

Пусть S — полугруппа с нулевым элементом 0. Тогда S называется нулевой полугруппой , если xy = 0 для всех x и y в S .

Таблица Кэли для нулевой полугруппы

Пусть S = {0, a , b , c } — (основное множество) нулевой полугруппы. Тогда таблица Кэли для S будет выглядеть следующим образом:

Таблица Кэли для нулевой полугруппы
	0	а	б	с
0	0	0	0	0
а	0	0	0	0
б	0	0	0	0
с	0	0	0	0

Левая нулевая полугруппа

Полугруппа, в которой каждый элемент является левым нулевым элементом, называется полугруппой левых нулей . Таким образом, полугруппа S является полугруппой левых нулей, если xy = x для всех x и y в S .

Таблица Кэли для полугруппы левых нулей

Пусть S = { a , b , c } — полугруппа левых нулей. Тогда таблица Кэли для S будет выглядеть следующим образом:

Таблица Кэли для полугруппы левых нулей
	а	б	с
а	а	а	а
б	б	б	б
с	с	с	с

Правая нулевая полугруппа

Полугруппа, в которой каждый элемент является элементом правого нуля , называется полугруппой правых нулей . Таким образом, полугруппа S является полугруппой правых нулей, если xy = y для всех x и y в S .

Таблица Кэли для полугруппы правых нулей

Пусть S = { a , b , c } — полугруппа правых нулей. Тогда таблица Кэли для S будет выглядеть следующим образом:

Таблица Кэли для полугруппы правых нулей
	а	б	с
а	а	б	с
б	а	б	с
с	а	б	с

Характеристики

Нетривиальная нулевая (левый/правый ноль) полугруппа не содержит единичного элемента . Отсюда следует, что единственный нулевой (левый/правый ноль) моноид — это тривиальный моноид.

Класс нулевых полугрупп:

замкнутый при взятии подполугрупп
замкнутый при факторизации подполугруппы
замкнутый при произвольном прямом произведении .

Отсюда следует, что класс нулевых (левый/правый нуль) полугрупп является разновидностью универсальной алгебры и, следовательно, разновидностью конечных полугрупп . Многообразие конечных нуль-полугрупп определяется тождеством ab = cd .

См. также

Правая группа

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б А. Х. Клиффорд; ГБ Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп, том I. математические обзоры. Том. 1 (2-е изд.). Американское математическое общество . стр. 3–4. ISBN 978-0-8218-0272-4 .
^ М. Килп, У. Кнауэр, А. В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000 г., ISBN 3-11-015248-7 , с. 19

[clifford-1] Jump up to: ^а ^б А. Х. Клиффорд; ГБ Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп, том I. математические обзоры. Том. 1 (2-е изд.). Американское математическое общество . стр. 3–4. ISBN 978-0-8218-0272-4 .

[2] М. Килп, У. Кнауэр, А. В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000 г., ISBN 3-11-015248-7 , с. 19

[ 1 ]

[ 2 ]