Правая группа

В математике группа правая ^[1]^[2] — это алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с бинарной операцией , которая объединяет два элемента в третий элемент, подчиняясь при этом правильным аксиомам группы . Аксиомы правой группы аналогичны аксиомам группы , но хотя группы могут иметь только одну единицу, а любой элемент может иметь только один инверсный, правые группы допускают наличие нескольких односторонних элементов идентичности и нескольких односторонних обратных элементов .

Это можно доказать (теорема 1.27 в ^[2]), что правая группа изоморфна прямому произведению полугруппы правых нулей и группы , а правая абелева группа ^[1] является прямым произведением полугруппы правых нулей и абелевой группы . Левая группа ^[1]^[2] и оставил абелеву группу ^[1] определяются аналогичным образом, заменяя в определениях правое на левое. Остальная часть этой статьи будет в основном посвящена правым группам, но все применимо и к левым группам путем выполнения соответствующих замен между правыми и левыми.

Определение [ править ]

Правая группа , первоначально называвшаяся множественной группой , ^[3]^[4] это набор $R$ с бинарной операцией ⋅, удовлетворяющей следующим аксиомам: ^[4]

Закрытие: Для всех $a$ и $b$ в $R$ в , $R$ такой, что $c=a\cdot b$ .
Ассоциативность: Для всех $a,b,c$ в $R$ , $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
Левый идентификационный элемент: Существует хотя бы одно левое тождество в $R$ . То есть существует элемент $e$ такой, что $e\cdot a=a$ для всех $a$ в $R$ . Такой элемент не обязательно должен быть уникальным.
Правые обратные элементы: Для каждого $a$ в $R$ и каждый элемент идентичности $e$ , также в $R$ , существует хотя бы один элемент $b$ в $R$ , такой, что $a\cdot b=e$ . Такой элемент $b$ называется правым обратным $a$ относительно $e$ .

Примеры [ править ]

произведение множеств конечных Прямое

Следующий пример предоставлен. ^[4] Возьмите группу $G=\{e,a,b\}$ , правая нулевая полугруппа $Z=\{1,2\}$ и построить правильную группу $R_{gz}$ как прямой продукт $G$ и $Z$ .

$G$ это просто циклическая группа порядка 3 , причем $e$ как его идентичность, и $a$ и $b$ как инверсии друг друга.

$G$ стол
	и	а	б
и	и	а	б
а	а	б	и
б	б	и	а

$Z$ является полугруппой правых нулей порядка 2. Обратите внимание, что каждый элемент повторяется вдоль своего столбца, поскольку по определению $x\cdot y=y$ , для любого $x$ и $y$ в $Z$ .

$Z$ стол
	1	2
1	1	2
2	1	2

Прямой продукт $R_{gz}=G\times Z$ из этих двух структур определяется следующим образом:

Элементы $R_{gz}$ упорядочены пары $(g,z)$ такой, что $g$ находится в $G$ и $z$ находится в $Z$ .
The $R_{gz}$ операция определяется поэлементно:
Формула 1: $(x,y)\cdot (u,v)=(xu,v)$

Элементы $R_{gz}$ будет выглядеть как $(e,1),(e,2),(a,1)$ и так далее. Для краткости давайте переименуем их как $e_{1},e_{2},a_{1}$ , и так далее. Таблица Кэли $R_{gz}$ заключается в следующем:

$R_{gz}$ стол
	и ₁	1	б ₁	e_е2	a_а2	б ₂
и ₁	и ₁	1	б ₁	e_е2	a_а2	б ₂
1	1	б ₁	и ₁	a_а2	б ₂	e_е2
б ₁	б ₁	и ₁	1	б ₂	e_е2	a_а2
e_е2	и ₁	1	б ₁	e_е2	a_а2	б ₂
a_а2	1	б ₁	и ₁	a_а2	б ₂	e_е2
б ₂	б ₁	и ₁	1	б ₂	e_е2	a_а2

Вот некоторые факты о $R_{gz}$ :

$R_{gz}$ имеет два левых тождества: $e_{1}$ и $e_{2}$ . Некоторые примеры:
$e2\cdot b1=b1$
$e1\cdot a2=a2$
Каждый элемент имеет два правых обратных. Например, правые обратные $a_{2}$ что касается $e_{1}$ и $e_{2}$ являются $b_{1}$ и $b_{2}$ , соответственно.
$a2\cdot b1=e1$
$a2\cdot b2=e2$

Комплексные числа в полярных координатах [ править ]

Клиффорд приводит второй пример. ^[4] с участием комплексных чисел . Учитывая два ненулевых комплексных числа a и b , следующая операция образует правую группу:

a\cdot b=|a|\,b

Все комплексные числа с модулем , равным 1, являются левыми тождествами, и все комплексные числа будут иметь правое обратное по отношению к любому левому тождеству.

Внутренняя структура этой правой группы становится ясной, когда мы используем полярные координаты : пусть $a=Ae^{i\alpha }$ и $b=Be^{i\beta }$ , где A и B — магнитуды и $\alpha$ и $\beta$ являются аргументами (углами) a и b соответственно. $a\cdot b$ (это не обычное умножение комплексных чисел) тогда становится $Ae^{i\alpha }\cdot Be^{i\beta }=ABe^{i\beta }$ . Если мы представим величины и аргументы в виде упорядоченных пар, мы можем записать это как:

Формула 2:

(A,\alpha )\cdot (B,\beta )=(AB,\beta )

Эта правая группа является прямым произведением группы (положительных действительных чисел при умножении) и полугруппы правых нулей, индуцированной действительными числами. Структурно это идентично приведенной выше формуле 1. Фактически, именно так выглядят все правильные групповые операции, если они записаны в виде упорядоченных пар прямого произведения их множителей.

Комплексные числа в декартовых координатах [ править ]

Если мы возьмем и комплексные числа и определим операцию, аналогичную примеру 2, но используем декартову систему координат вместо полярных координат и сложение вместо умножения, мы получим еще одну правую группу, в которой операция определяется следующим образом:

(a+bi)\cdot (c+di)=a+c+di

или эквивалентно:

Формула 3:

(a,b)\cdot (c,d)=(a+c,d)

Практический пример из информатики [ править ]

Рассмотрим следующий пример из информатики, где набор будет реализован как тип языка программирования .

Позволять $X$ быть набором дат и времени на произвольном языке программирования.
Позволять $D$ быть набором преобразований, эквивалентных добавлению длительности к элементу $X$ .
Позволять $Z$ быть набором преобразований часовых поясов на элементах $X$ .

Оба $D$ и $Z$ являются подмножествами $T_{x}$ , полная полугруппа преобразований на $X$ . $D$ ведет себя как группа , где длительность равна нулю, а каждая длительность имеет обратную длительность. Если рассматривать эти преобразования как действия правой полугруппы , $Z$ ведет себя как правая нулевая полугруппа , так что преобразование часового пояса всегда отменяет любое предыдущее преобразование часового пояса в заданную дату и время.

Учитывая любые две произвольные даты и время $a$ и $b$ (игнорируйте проблемы, связанные с границами представления), можно найти пару продолжительности и часового пояса, которая преобразует $a$ в $b$ . Это составное преобразование преобразования часового пояса и добавления длительности изоморфно правой группе. $D\times Z$ .

Взяв в качестве примера пакет java.time, ^[5] наборы $X,D$ и $Z$ будет соответствовать классу ZonedDateTime , функции plus и функции withZoneSameInstant соответственно. Более конкретно, для любых ZonedDateTime t 1 и t 2 существуют Duration d и ZoneId z , такие что:

t2 = t1.plus(d).withZoneSomeInstant(z)

Приведенное выше выражение можно записать более кратко, используя обозначение правильного действия, заимствованное из теории групп, как:

t2=t1.d.z

Также можно проверить, что длительности и часовые пояса, если рассматривать их как преобразования даты/времени, помимо того, что подчиняются аксиомам групп и полугрупп правых нулей соответственно, они коммутируют друг с другом. То есть для любой даты/времени t, любой продолжительности d и любого часового пояса z:

t.d.z=t.z.d

Это то же самое, что сказать:

d\cdot z=z\cdot d

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Надь, Аттила (2001). Специальные классы полугрупп . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-6890-8 . OCLC 46240335 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Клиффорд, Ага (29 июня 2014 г.). Алгебраическая теория полугрупп . Престон, Великобритания (перепечатано с исправлениями под ред.). Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-1234-0 . OCLC 882503487 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Холлингс, Кристофер Д. (01 сентября 2017 г.). « Никто не может неправильно понять, что такое группа»: исследование групповой аксиоматики начала двадцатого века» . Архив истории точных наук . 71 (5): 409–481. дои : 10.1007/s00407-017-0193-8 . ISSN 1432-0657 . ПМЦ 5573778 . ПМИД 28912607 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Клиффорд, АХ (1933). «Система, возникающая из ослабленного набора групповых постулатов» . Анналы математики . 34 (4): 865–871. дои : 10.2307/1968703 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1968703 .
^ "java.time (платформа Java SE 8)" . docs.oracle.com . Проверено 3 июня 2021 г.

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Надь, Аттила (2001). Специальные классы полугрупп . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-6890-8 . OCLC 46240335 .

[:1-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Клиффорд, Ага (29 июня 2014 г.). Алгебраическая теория полугрупп . Престон, Великобритания (перепечатано с исправлениями под ред.). Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-1234-0 . OCLC 882503487 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[3] Холлингс, Кристофер Д. (01 сентября 2017 г.). « Никто не может неправильно понять, что такое группа»: исследование групповой аксиоматики начала двадцатого века» . Архив истории точных наук . 71 (5): 409–481. дои : 10.1007/s00407-017-0193-8 . ISSN 1432-0657 . ПМЦ 5573778 . ПМИД 28912607 .

[:2-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Клиффорд, АХ (1933). «Система, возникающая из ослабленного набора групповых постулатов» . Анналы математики . 34 (4): 865–871. дои : 10.2307/1968703 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1968703 .

[5] "java.time (платформа Java SE 8)" . docs.oracle.com . Проверено 3 июня 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]