Полугруппа Брандта

В математике Брандта полугруппы — это вполне 0-простые инверсные полугруппы . Другими словами, это полугруппы без собственных идеалов, которые также являются обратными полугруппами. Они строятся так же, как и вполне 0-простые полугруппы:

Пусть G — группа и $I,J$ быть непустыми множествами. Определить матрицу $P$ размера $|I|\times |J|$ с записями в $G^{0}=G\cup \{0\}.$

Тогда можно показать, что каждая 0-простая полугруппа имеет вид $S=(I\times G^{0}\times J)$ с операцией $(i,a,j)*(k,b,n)=(i,ap_{jk}b,n)$.

Поскольку полугруппы Брандта также являются инверсными полугруппами, конструкция более специализирована и фактически I = J (Howie 1995). Таким образом, полугруппа Брандта имеет вид $S=(I\times G^{0}\times I)$ с операцией $(i,a,j)*(k,b,n)=(i,ap_{jk}b,n)$, где матрица $P$ находится только единичный элемент e группы G. диагональна, и в ее диагонали

Замечания

1) Идемпотенты имеют вид ( i , e , i где e — тождество G. ) ,

2) Существуют эквивалентные способы определения полугруппы Брандта. Вот еще один:

ac = bc ≠ 0 или ca = cb ≠ 0 ⇒ a = b

ab ≠ 0 и bc ≠ 0 ⇒ abc ≠ 0

Если a ≠ 0, то существуют единственные x , y , z , для которых xa = a , ay = a , za = y .

Для всех идемпотентов e и f, отличных от нуля, eSf ≠ 0

См. также

• Специальные классы полугрупп

Ссылки

• Хоуи, Джон М. (1995), Введение в теорию полугрупп , Оксфорд: Oxford Science Publication .