Биупорядоченный набор

( Биупорядоченное множество также известное как босет ) — математический объект , встречающийся при описании структуры множества идемпотентов в полугруппе .

Множество идемпотентов в полугруппе является биупорядоченным множеством, и каждое биупорядоченное множество является множеством идемпотентов некоторой полугруппы. Регулярное биупорядоченное множество — это биупорядоченное множество, обладающее дополнительным свойством. Множество идемпотентов в регулярной полугруппе является регулярным биупорядоченным множеством, а каждое регулярное биупорядоченное множество является множеством идемпотентов некоторой регулярной полугруппы.

История

Концепция и терминология были разработаны KSS Nambooripad в начале 1970-х годов. В 2002 году Патрик Джордан ввел термин «босет» как аббревиатуру от «биупорядоченного множества». Определяющие свойства биупорядоченного множества выражаются через два квазипорядка, определенных на этом множестве, отсюда и название «биупорядоченное множество».

По словам Мохана С. Путчи, «аксиомы, определяющие биупорядоченное множество, довольно сложны. Однако, учитывая общую природу полугрупп, довольно удивительно, что такая конечная аксиоматизация вообще возможна». С момента публикации Намбурипадом оригинального определения биупорядоченного множества было предложено несколько вариаций этого определения. Дэвид Исдаун упростил определение и сформулировал аксиомы в специальной изобретенной им стрелочной записи.

Определение

Предварительные сведения

Если X и Y — множества и ρ ⊆ X × Y , пусть ρ ( y ) = { x ∈ X : x ρ y }.

Пусть E — множество , в котором определена частичная бинарная операция , обозначенная сопоставлением. Если DE _и является областью частичной бинарной операции на E то DE _{является} отношением на E и только тогда , ( e , f ) находится в DE _тогда когда произведение ef существует в E. , можно определить следующие отношения В E :

$\omega ^{r}=\{(e,f)\,:\,fe=e\}$

$\omega ^{l}=\{(e,f)\,:\,ef=e\}$

$R=\omega ^{r}\,\cap \,(\omega ^{r})^{-1}$

$L=\omega ^{l}\,\cap \,(\omega ^{l})^{-1}$

$\omega =\omega ^{r}\,\cap \,\omega ^{l}$

Если T — любое утверждение о E, включающее частичную бинарную операцию и вышеуказанные отношения в E , можно определить лево-правое двойственное утверждение T, обозначаемое T *. Если D _E симметричен , то T * имеет смысл всякий раз, когда T симметричен.

Формальное определение

Множество E называется биупорядоченным множеством, если следующие аксиомы для произвольных элементов e , f , g и т. д. в E. и двойственные им аксиомы справедливы

(Б1) ох ^р и ω ^л — рефлексивные и транзитивные отношения на E и D _E = ( ω ^р ∪ о ^л ) ∪ ( ω ^р ∪ о ^л ) ⁻¹ .

(B21) Если f находится в ω ^р ( е ) тогда ж р fe ω е .

(B22) Если g ω ^л f и если f и g находятся в ω ^р ( e ) тогда ge ω ^л фе .

(B31) Если g ω ^р f и f ω ^р е тогда gf знак равно ( ge ) ж .

(B32) Если g ω ^л f и если f и g находятся в ω ^р ( е ) тогда ( fg ) е знак равно ( fe )( ge ).

В M ( e , f ) знак равно ω ^л ( е ) ∩ ω ^р ( f ) ( M -множество e f и в этом порядке ), определяют отношение $\prec$ к

$g\prec h\quad \Longleftrightarrow \quad eg\,\,\omega ^{r}\,\,eh\,,\,\,\,gf\,\,\omega ^{l}\,\,hf$.

Тогда набор

$S(e,f)=\{h\in M(e,f):g\prec h{\text{ for all }}g\in M(e,f)\}$

называется -множеством сэндвич e и f в этом порядке.

(B4) Если f и g находятся в ω ^р ( е ) тогда S ( ж , г ) е знак равно S ( фе , ge ) .

M -биупорядоченные множества и регулярные биупорядоченные множества

Мы говорим, что биупорядоченное множество E является M -биупорядоченным множеством если M ( e , f ) ≠ ∅ для всех e и f в E. , Кроме того, E называется регулярным биупорядоченным множеством если S ( e , f ) ≠ ∅ для всех e и f в E. ,

В 2012 году Роман С. Жигонь дал простое доказательство того, что M -биупорядоченные множества возникают из E -инверсивных полугрупп .

Подобъекты и морфизмы

Биупорядоченные подмножества

Подмножество F биупорядоченного множества E является биупорядоченным подмножеством (подмножеством) E, если F является биупорядоченным множеством при выполнении частичной бинарной операции, унаследованной от E .

Для любого e из E множества ω ^р ( е ), о ^л ( e ) и ω( e ) — биоупорядоченные E. подмножества

Биморфизмы

Отображение φ : E → F между двумя биупорядоченными множествами E и F является гомоморфизмом биупорядоченного множества (также называемым биморфизмом), если для всех ( e , f ) в D _E имеем ( e φ ) ( f φ ) = ( ef ) φ.

Показательные примеры

Пример векторного пространства

Пусть V — векторное пространство и

E знак равно { ( А , B ) | V = А ⊕ Б }

где V = A ⊕ B означает, что B — подпространства V , а V — внутренняя прямая сумма A A и B. и Частичная бинарная операция ⋆ над E, определенная формулой

( А , B ) ⋆ ( C , D ) знак равно ( А + ( B ∩ C ), ( B + C ) ∩ D )

делает E биоупорядоченным множеством. Квазипорядки в E характеризуются следующим образом:

( А , Б ) о ^р ( С , D ​​) ⇔ А ⊇ С

( А , Б ) о ^л ( C , D ) ⇔ B ⊆ D

Биупорядоченное множество полугруппы

Множество E идемпотентов в полугруппе S становится биупорядоченным множеством, если частичная бинарная операция определена в E следующим образом: ef определен в E тогда и только тогда, когда ef = e или ef = f или fe = e или fe = f. выполняется в С. ​Если S — регулярная полугруппа, то E — регулярное биупорядоченное множество.

В качестве конкретного примера пусть S — полугруппа всех отображений X = { 1, 2, 3 } в себя. Пусть символ ( abc ) обозначает отображение, для которого 1 → a , 2 → b и 3 → c . Множество E идемпотентов в S содержит следующие элементы:

(111), (222), (333) (постоянные карты)

(122), (133), (121), (323), (113), (223)

(123) (карта личности)

Следующая таблица (с учетом композиции отображений в порядке диаграммы) описывает частичную бинарную операцию в E . Знак X в ячейке означает, что соответствующее умножение не определено.

∗	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)
(111)	(111)	(222)	(333)	(111)	(111)	(111)	(333)	(111)	(222)	(111)
(222)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(222)	(222)	(111)	(222)	(222)
(333)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(111)	(333)	(333)	(333)	(333)
(122)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(122)	Х	Х	Х	(122)
(133)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	Х	Х	(133)	Х	(133)
(121)	(111)	(222)	(333)	(121)	Х	(121)	(323)	Х	Х	(121)
(323)	(111)	(222)	(333)	Х	Х	(121)	(323)	Х	(323)	(323)
(113)	(111)	(222)	(333)	Х	(113)	Х	Х	(113)	(223)	(113)
(223)	(111)	(222)	(333)	Х	Х	Х	(223)	(113)	(223)	(223)
(123)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)