Матричная полугруппа Риса

В математике матричные полугруппы Риса представляют собой особый класс полугрупп , введенный Дэвидом Рисом в 1940 году. Они имеют фундаментальное значение в теории полугрупп, поскольку используются для классификации определенных классов простых полугрупп.

Определение

Пусть S — полугруппа, I и Λ — непустые множества , а P — матрица , индексированная I и Λ, с элементами p _{λ , i,} взятыми из S .Тогда полугруппа матриц Риса M ( S ; I , Λ ; P ) представляет собой множество I × S × Λ вместе с умножением

(i, s, λ)(j, t, µ) = (i, s p _λ,j t, µ) .

Матричные полугруппы Риса — важный метод построения новых полугрупп из старых.

Теорема Риса

В своей статье 1940 года Рис доказал следующую теорему, характеризующую вполне простые полугруппы :

Полугруппа является вполне простой тогда и только тогда, когда она изоморфна матричной полугруппе Риса над группой .

То есть каждая вполне простая полугруппа изоморфна полугруппе вида M ( G ; I , Λ ; P ) для некоторой G. группы Более того, Рис доказал, что если G — группа и G ⁰ — полугруппа, полученная из G присоединением нулевого элемента , то M ( G ⁰; Я , Λ ; P ) является регулярной полугруппой тогда и только тогда, когда каждая строка и столбец матрицы P содержит элемент, отличный от 0. Если такой M ( G ⁰; Я , Λ ; P ) регулярно, то оно также вполне 0-просто .

См. также

Ссылки

Рис, Дэвид (1940), О полугруппах , т. 1, с. 3, Учеб. Кэмб. Филос. Соц. , стр. 387–400 .
Хоуи, Джон М. (1995), Основы теории полугрупп , Clarendon Press , ISBN 0-19-851194-9 .