Специальные классы полугрупп
Эту статью может потребовать очистки Википедии , чтобы она соответствовала стандартам качества . Конкретная проблема: разные, см. разговор. ( Октябрь 2012 г. ) |
В математике полугруппа с — это непустое множество ассоциативной бинарной операцией . Специальный класс полугрупп — это класс полугрупп , удовлетворяющих дополнительным свойствам или условиям. Таким образом, класс коммутативных полугрупп состоит из всех тех полугрупп, в которых бинарная операция удовлетворяет свойству коммутативности, состоящему в том, что ab = ba для всех элементов a и b в полугруппе.Класс конечных полугрупп состоит из тех полугрупп, у которых базовое множество имеет конечную мощность . Члены класса полугрупп Брандта должны удовлетворять не одному условию, а набору дополнительных свойств. Определен большой набор специальных классов полугрупп, хотя не все из них изучены одинаково интенсивно.
В алгебраической теории полугрупп при построении специальных классов внимание концентрируется только на тех свойствах, ограничениях и условиях, которые могут быть выражены через бинарные операции в полугруппах, а иногда и на мощности и подобных свойствах подмножеств основного множества. . базовые наборы Предполагается, что не несут в себе никаких других математических структур, таких как порядок или топология .
Как и в любой алгебраической теории, одной из основных задач теории полугрупп является классификация всех полугрупп и полное описание их строения. В случае полугрупп, поскольку от бинарной операции требуется удовлетворение только свойства ассоциативности, проблема классификации считается чрезвычайно сложной. Получены описания структур некоторых специальных классов полугрупп. Например, полностью известно строение множеств идемпотентов регулярных полугрупп. Описания структур даны в терминах более известных типов полугрупп. Самый известный тип полугруппы — это группа .
Ниже представлен (обязательно неполный) список различных специальных классов полугрупп. По мере возможности определяющие свойства формулируются в терминах бинарных операций в полугруппах. Ссылки указывают на места, откуда получены определяющие свойства.
Обозначения
[ редактировать ]При описании определяющих свойств различных специальных классов полугрупп принимаются следующие соглашения об обозначениях.
Обозначения | Значение |
---|---|
С | Произвольная полугруппа |
И | Набор идемпотентов в S |
Г | Группа юнитов в S |
я | Минимальный идеал S |
V | Регулярные элементы S |
Х | Произвольный набор |
а , б , в | Произвольные элементы S |
х , у , я | Конкретные элементы S |
е , ж , г | Произвольные элементы E |
час | Конкретный элемент E |
л , м , н | Произвольные положительные целые числа |
дж , к | Определенные положительные целые числа |
в , ш | Произвольные элементы V |
0 | Нулевой элемент S |
1 | Идентификатор S |
С 1 | S, если 1 ∈ S ; S ∪ { 1 }, если 1 ∉ S |
а ≤ L б а ≤ Р б а ≤ Н б а ≤ J б | С 1 а ⊆ S 1 б как 1 ⊆ бС 1 С 1 а ⊆ S 1 б и аС 1 ⊆ бС 1 С 1 как 1 ⊆ С 1 бакалавриат 1 |
Л , Р , Ч , Д , Дж | Отношения Грина |
Л а , Ра , Ха , Д а , Джа | Зеленые классы, содержащие |
Единственная степень x , которая является идемпотентной. Этот элемент существует в предположении, что полугруппа (локально) конечна. см . Разнообразие конечных полугрупп Для получения дополнительной информации об этом обозначении . | |
Мощность X при условии, что X конечна. |
Например, определение xab = xba следует читать так:
- Существует x — элемент полугруппы такой, что для каждого a и b в полугруппе xab и xba равны.
Список специальных классов полугрупп
[ редактировать ]В третьем столбце указано, образует ли этот набор полугрупп многообразие . И образует ли множество конечных полугрупп этого специального класса множество конечных полугрупп . Обратите внимание: если это множество является многообразием, его множество конечных элементов автоматически является многообразием конечных полугрупп.
Терминология | Определение свойства | Многообразие конечной полугруппы | Ссылка(и) |
---|---|---|---|
Конечная полугруппа |
|
| |
Пустая полугруппа |
| Нет | |
Тривиальная полугруппа |
|
| |
Моноид |
| Нет | Гриль г. 3 |
Группа (Идемпотентная полугруппа) |
|
| C&P стр. 4 |
Прямоугольная полоса |
|
| Феннемор |
Полурешетка | Коммутативная группа, то есть:
|
| |
Коммутативная полугруппа |
|
| C&P стр. 3 |
Архимедова коммутативная полугруппа |
| C&P стр. 131 | |
Нигде коммутативная полугруппа |
| C&P стр. 26 | |
Левая слабо коммутативна |
| Большой п. 59 | |
Правая слабо коммутативна |
| Большой п. 59 | |
Слабо коммутативный | Левая и правая слабо коммутативны. То есть:
| Большой п. 59 | |
Условно коммутативная полугруппа |
| Большой п. 77 | |
R -коммутативная полугруппа |
| Большой п. 69–71 | |
RC -коммутативная полугруппа |
| Большой п. 93–107 | |
L -коммутативная полугруппа |
| Большой п. 69–71 | |
LC -коммутативная полугруппа |
| Большой п. 93–107 | |
H -коммутативная полугруппа |
| Большой п. 69–71 | |
Квазикоммутативная полугруппа |
| Большой п. 109 | |
Правая коммутативная полугруппа |
| Большой п. 137 | |
Левая коммутативная полугруппа |
| Большой п. 137 | |
Внешне коммутативная полугруппа |
| Большой п. 175 | |
Медиальная полугруппа |
| Большой п. 119 | |
Полугруппа E- k ( k фиксированная) |
|
| Большой п. 183 |
Экспоненциальная полугруппа |
|
| Большой п. 183 |
WE- k полугруппа ( k фиксировано) |
| Большой п. 199 | |
Слабо экспоненциальная полугруппа |
| Большой п. 215 | |
Правая сокращающаяся полугруппа |
| C&P стр. 3 | |
Левая сокращающаяся полугруппа |
| C&P стр. 3 | |
Отрицательная полугруппа | Левая и правая сокращающаяся полугруппа, т.е.
| C&P стр. 3 | |
''E''-инверсивная полугруппа ( E -плотная полугруппа) |
| C&P стр. 98 | |
Регулярная полугруппа |
| C&P стр. 26 | |
Обычная группа |
|
| Феннемор |
Внутрирегулярная полугруппа |
| C&P стр. 121 | |
Левая регулярная полугруппа |
| C&P стр. 121 | |
Лево-регулярная группа |
|
| Феннемор |
Правая регулярная полугруппа |
| C&P стр. 121 | |
Правая-регулярная полоса |
|
| Феннемор |
Вполне регулярная полугруппа |
| Гриль г. 75 | |
(обратная) полугруппа Клиффорда |
|
| Петрич п. 65 |
k -регулярная полугруппа ( k фиксированная) |
| День | |
В конце концов регулярная полугруппа (π-регулярная полугруппа, Квазирегулярная полугруппа) |
| Эдвард Shum Хигг п. 49 | |
Квазипериодическая полугруппа, эпигруппа , полугруппа, связанная с группой, полностью (или сильно) π-регулярная полугруппа и многие другие; см. в Kela список ) |
| Что Гриль г. 110 Хигг п. 4 | |
Примитивная полугруппа |
| C&P стр. 26 | |
Единичная регулярная полугруппа |
| ТВМ | |
Сильно единичная регулярная полугруппа |
| ТВМ | |
Православная полугруппа |
| Гриль г. 57 Хауи п. 226 | |
Обратная полугруппа |
| C&P стр. 28 | |
Левая инверсная полугруппа ( R -унипотентный) |
| Гриль г. 382 | |
Правая инверсная полугруппа ( L -унипотентный) |
| Гриль г. 382 | |
Локально инверсная полугруппа (Псевдообратная полугруппа) |
| Гриль г. 352 | |
M -инверсивная полугруппа |
| C&P стр. 98 | |
Обильная полугруппа |
| Чен | |
РПП-полугруппа (Правая главная проективная полугруппа) |
| Shum | |
ЛПП-полугруппа (Левая главная проективная полугруппа) |
| Shum | |
Нулевая полугруппа ( Нулевая полугруппа ) |
|
| C&P стр. 4 |
Левая нулевая полугруппа |
|
| C&P стр. 4 |
Левая нулевая полоса | Полугруппа левых нулей, являющаяся полосой. То есть:
|
| |
Левая группа |
| C&P стр. 37, 38 | |
Правая нулевая полугруппа |
|
| C&P стр. 4 |
Правая нулевая полоса | Полугруппа правых нулей, являющаяся полосой. То есть:
|
| Феннемор |
Правая группа |
| C&P стр. 37, 38 | |
Правая абелева группа |
| Большой п. 87 | |
Унипотентная полугруппа |
|
| C&P стр. 21 |
Левая редуктивная полугруппа |
| C&P стр. 9 | |
Правая редуктивная полугруппа |
| C&P стр. 4 | |
Редуктивная полугруппа |
| C&P стр. 4 | |
Сепаративная полугруппа |
| C&P стр. 130–131 | |
Обратимая полугруппа |
| C&P стр. 34 | |
Правая обратимая полугруппа |
| C&P стр. 34 | |
Левая обратимая полугруппа |
| C&P стр. 34 | |
Апериодическая полугруппа |
| ||
ω-полугруппа |
| Гриль г. 233–238 | |
Левая полугруппа Клиффорда (LC-полугруппа) |
| Shum | |
Правая полугруппа Клиффорда (RC-полугруппа) |
| Shum | |
Ортогруппа |
| Shum | |
Полная коммутативная полугруппа |
| Гриль г. 110 | |
Нильсемигруппа (Нильпотентная полугруппа) |
|
| |
Элементарная полугруппа |
| Гриль г. 111 | |
E -унитарная полугруппа |
| Гриль г. 245 | |
Конечно-представленная полугруппа |
| Гриль г. 134 | |
Фундаментальная полугруппа |
| Гриль г. 88 | |
Идемпотентно-порожденная полугруппа |
| Гриль г. 328 | |
Локально конечная полугруппа |
|
| Гриль г. 161 |
N -полугруппа |
| Гриль г. 100 | |
L -унипотентная полугруппа (Правая обратная полугруппа) |
| Гриль г. 362 | |
R -унипотентная полугруппа (Левая инверсная полугруппа) |
| Гриль г. 362 | |
Левая простая полугруппа |
| Гриль г. 57 | |
Правая простая полугруппа |
| Гриль г. 57 | |
Субэлементарная полугруппа |
| Гриль г. 134 | |
Симметричная полугруппа ( Полугруппа полного преобразования ) |
| C&P стр. 2 | |
Слабо редуктивная полугруппа |
| C&P стр. 11 | |
Правая однозначная полугруппа |
| Гриль г. 170 | |
Левая однозначная полугруппа |
| Гриль г. 170 | |
Однозначная полугруппа |
| Гриль г. 170 | |
Слева 0-однозначно |
| Гриль г. 178 | |
Верно 0-однозначно |
| Гриль г. 178 | |
0-однозначная полугруппа |
| Гриль г. 178 | |
Left Putcha semigroup |
| Большой п. 35 | |
Правая полугруппа Путча |
| Большой п. 35 | |
Putcha semigroup |
| Большой п. 35 | |
Бипростая полугруппа ( D -простая полугруппа) |
| C&P стр. 49 | |
0-бипростая полугруппа |
| C&P стр. 76 | |
Совершенно простая полугруппа |
| C&P стр. 76 | |
Вполне 0-простая полугруппа |
| C&P стр. 76 | |
D -простая полугруппа (бипростая полугруппа) |
| C&P стр. 49 | |
Полупростая полугруппа |
| C&P стр. 71–75 | |
: Простая полугруппа |
|
| |
0-простая полугруппа |
| C&P стр. 67 | |
Левая 0-простая полугруппа |
| C&P стр. 67 | |
Правая 0-простая полугруппа |
| C&P стр. 67 | |
Циклическая полугруппа ( Моногенная полугруппа ) |
|
| C&P стр. 19 |
Периодическая полугруппа |
|
| C&P стр. 20 |
Бициклическая полугруппа |
| C&P стр. 43–46 | |
Полугруппа полного преобразования T X (Симметричная полугруппа) |
| C&P стр. 2 | |
Прямоугольная полоса |
|
| Феннемор |
Прямоугольная полугруппа |
| C&P стр. 97 | |
Симметричная инверсная полугруппа I X |
| C&P стр. 29 | |
Полугруппа Брандта |
| C&P стр. 101 | |
Свободная полугруппа F X |
| Гриль г. 18 | |
Риса Матричная полугруппа |
| К&П стр.88 | |
Полугруппа линейных преобразований |
| К&П стр.57 | |
Полугруппа бинарных отношений B X |
| К&П стр. 13 | |
Числовая полугруппа |
| Дельг | |
Полугруппа с инволюцией (*-полугруппа) |
| Почему? | |
Полугруппа Бэра – Леви |
| К&П II, глава 8 | |
U -полугруппа |
| Хауи стр.102 | |
Я - полугруппа |
| Хауи стр.102 | |
Полуполосный |
| Хауи стр.230 | |
Группа |
|
| |
Топологическая полугруппа |
|
| Пин п. 130 |
Синтаксическая полугруппа |
| Пин п. 14 | |
: R -тривиальные моноиды |
|
| Пин п. 158 |
: L -тривиальные моноиды |
|
| Пин п. 158 |
: J -тривиальные моноиды |
|
| Пин п. 158 |
: идемпотент и R -тривиальные моноиды |
|
| Пин п. 158 |
: идемпотент и L -тривиальные моноиды |
|
| Пин п. 158 |
: полугруппа, регулярные D которой являются полугруппой |
|
| Пин стр. 154, 155, 158 |
: Полугруппа, регулярные D которой являются апериодической полугруппой. |
|
| Пин п. 156, 158 |
/ : Левая тривиальная полугруппа |
|
| Пин стр. 149, 158 |
/ : Правая тривиальная полугруппа |
|
| Пин стр. 149, 158 |
: Локально тривиальная полугруппа |
|
| Пин стр. 150, 158 |
: Локальные группы |
|
| Пин стр. 151, 158 |
Терминология | Определение свойства | Разнообразие | Ссылка(и) |
---|---|---|---|
Упорядоченная полугруппа |
|
| Пин п. 14 |
|
| Пин стр. 157, 158 | |
|
| Пин стр. 157, 158 | |
|
| Пин стр. 157, 158 | |
|
| Пин стр. 157, 158 | |
локально положительная J-тривиальная полугруппа |
|
| Пин стр. 157, 158 |
Ссылки
[ редактировать ][КиП] | А. Х. Клиффорд , ГБ Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп Vol. Я (второе издание). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4 | |
[К&П II] | А. Х. Клиффорд, ГБ Престон (1967). Алгебраическая теория полугрупп Vol. II (второе издание). Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0272-0 | |
[Чен] | Хуэй Чен (2006), «Построение своего рода обильных полугрупп», Mathematical Communications ( 11 ), 165–171 (по состоянию на 25 апреля 2009 г.) | |
[Удалить] | М. Дельгадо и др. , Числовые полугруппы , [1] (По состоянию на 27 апреля 2009 г.) | |
[edu] | П. М. Эдвардс (1983), «В конечном итоге регулярные полугруппы», Бюллетень Австралийского математического общества 28 , 23–38. | |
[Гриль] | П. А. Грилье (1995). Полугруппы . ЦРК Пресс . ISBN 978-0-8247-9662-4 | |
[День] | К. С. Харинатх (1979), «Некоторые результаты о k -регулярных полугруппах», Индийский журнал чистой и прикладной математики 10 (11), 1422–1431. | |
[Сказать] | Дж. М. Хоуи (1995), Основы теории полугрупп , Oxford University Press | |
[Большой] | Аттила Надь (2001). Специальные классы полугрупп . Спрингер . ISBN 978-0-7923-6890-8 | |
[Домашний питомец] | М. Петрич, Н. Р. Рейли (1999). Вполне регулярные полугруппы . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-19571-9 | |
[Shum] | К. П. Шум «Полугруппы Rpp, их обобщения и специальные подклассы» в журнале « Успехи в алгебре и комбинаторике» под редакцией К. П. Шума и др. (2008), Всемирный научный журнал , ISBN 981-279-000-4 (стр. 303–334) | |
[Твм] | Труды международного симпозиума по теории регулярных полугрупп и ее приложениям , Университет Кералы , Тируванантапурам , Индия , 1986 г. | |
[что] | А. В. Келарев, Приложения эпигрупп к градуированной теории колец , Форум полугрупп , Том 50, Номер 1 (1995), 327-350 дои : 10.1007/BF02573530 | |
[МЗ] | Мати Килп, Ульрих Кнауэр, Александр В. Михалев (2000), Моноиды, действия и категории: с приложениями к сплетениям и графам , Изложения по математике 29 , Вальтер де Грюйтер, Берлин, ISBN 978-3-11-015248-7 . | |
[Хигг] | Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853577-5 . | |
[Приколоть] | Пин, Жан-Эрик (30 ноября 2016 г.). Математические основы теории автоматов (PDF) . | |
[Феннемор] | Феннемор, Чарльз (1970), «Все разновидности полос», Semigroup Forum , 1 (1): 172–179, doi : 10.1007/BF02573031 |