Моногенная полугруппа

В математике моногенная полугруппа — это полугруппа , порожденная одним элементом. ^{[ 1 ]} Моногенные полугруппы также называют циклическими полугруппами . ^{[ 2 ]}

Структура

Моногенная полугруппа, порожденная одноэлементным набором { a }, обозначается $\langle a\rangle$ . Набор элементов $\langle a\rangle$ { а , а ², а ³, ...}. Есть две возможности для моногенной полугруппы. $\langle a\rangle$ :

а ^м = а ^н ⇒ м знак равно п .
Существуют m ≠ n такие, что a ^м = а ^н.

В первом случае $\langle a\rangle$ изоморфна натуральных полугруппе ({1, 2, ...}, +) чисел при сложении . В таком случае $\langle a\rangle$ — бесконечная моногенная полугруппа элемент a , и говорят, что имеет бесконечный порядок . Ее иногда называют свободной моногенной полугруппой , поскольку она также является свободной полугруппой с одним образующим.

В последнем случае пусть m — наименьшее целое положительное число такое, что a ^м = а ^х для некоторого положительного целого числа x ≠ m , и пусть r — наименьшее положительное целое число такое, что a ^м = а ^{м + р}. Положительное целое число m называется индексом , а положительное целое число r моногенной - периодом полугруппы. $\langle a\rangle$ . Порядок a определяется + как m r − 1. Период и индекс удовлетворяют следующим свойствам:

а ^м = а ^{м + р}
а ^{м + х} = а ^{м + у} тогда и только тогда, когда m + x ≡ m + y (mod r )
$\langle a\rangle$ = { а , а ², ... , а ^{м + р −1}}
К _а = { а ^м, а ^{м +1}, ... , а ^{м + р −1}} — циклическая подгруппа , а идеал также $\langle a\rangle$ . Оно называется ядром а . и является минимальным идеалом моногенной полугруппы $\langle a\rangle$ . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Пара ( m , r ) натуральных чисел определяет структуру моногенных полугрупп. Для каждой пары ( m , r ) натуральных чисел существует моногенная полугруппа с индексом m и периодом r . Моногенная полугруппа, имеющая индекс m и период r, обозначается M ( m , r ). Моногенная полугруппа M (1, r ) является циклической группой порядка r .

Результаты этого раздела фактически справедливы для любого элемента a произвольной полугруппы и моногенной подполугруппы. $\langle a\rangle$ он генерирует.

Связанные понятия

Связанное с этим понятие — периодическая полугруппа (также называемая периодической полугруппой ), в которой каждый элемент имеет конечный порядок (или, что то же самое, в которой каждая монгенная подполугруппа конечна). Более общий класс — это класс квазипериодических полугрупп (также известных как полугруппы, связанные с группой или эпигруппы ), в которых каждый элемент полугруппы имеет степень, лежащую в подгруппе. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Апериодическая полугруппа — это группа, в которой каждая моногенная подполугруппа имеет период, равный 1.

См. также

Обнаружение цикла , проблема поиска параметров конечной моногенной полугруппы с использованием ограниченного объема памяти.
Специальные классы полугрупп

Ссылки

^ Хауи, Дж. М. (1976). Введение в теорию полугрупп . Монографии LMS. Том. 7. Академическая пресса. стр. 7–11. ISBN 0-12-356950-8 .
^ А. Х. Клиффорд; ГБ Престон (1961). Алгебраическая теория полугрупп Том I. Математические обзоры. Том. 7. Американское математическое общество. стр. 19–20. ISBN 978-0821802724 .
^ «Ядро полугруппы — Математическая энциклопедия» .
^ «Минимальный идеал — Математическая энциклопедия» .
^ «Периодическая полугруппа — Математическая энциклопедия» .
^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5 .

[1] Хауи, Дж. М. (1976). Введение в теорию полугрупп . Монографии LMS. Том. 7. Академическая пресса. стр. 7–11. ISBN 0-12-356950-8 .

[2] А. Х. Клиффорд; ГБ Престон (1961). Алгебраическая теория полугрупп Том I. Математические обзоры. Том. 7. Американское математическое общество. стр. 19–20. ISBN 978-0821802724 .

[3] «Ядро полугруппы — Математическая энциклопедия» .

[4] «Минимальный идеал — Математическая энциклопедия» .

[5] «Периодическая полугруппа — Математическая энциклопедия» .

[Higgins1992-6] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]