Тривиальная полугруппа
В математике ( тривиальная полугруппа полугруппа с одним элементом ) — это полугруппа , для которой мощность множества базового равна единице . Число различных неизоморфных полугрупп с одним элементом равно одному. Если S = { a } — полугруппа с одним элементом, то таблица Кэли S — это
а а а
Единственный элемент в S — это нулевой элемент 0 из S а также единичный элемент 1 из S. , [1] Однако не все теоретики полугрупп считают единственный элемент в полугруппе с одним элементом нулевым элементом полугруппы. Они определяют нулевые элементы только в полугруппах, имеющих не менее двух элементов. [2] [3]
Несмотря на свою крайнюю тривиальность, полугруппа с одним элементом важна во многих ситуациях. Это отправная точка для понимания структуры полугрупп. Он служит контрпримером для освещения многих ситуаций. Например, полугруппа с одним элементом — это единственная полугруппа, в которой 0 = 1, то есть нулевой элемент и единичный элемент равны. Далее, если S — полугруппа с одним элементом, полугруппа, полученная присоединением единичного элемента к S, изоморфна полугруппе, полученной присоединением нулевого элемента к S .
Полугруппа с одним элементом также является группой .
На языке теории категорий любая полугруппа с одним элементом является терминальным объектом в категории полугрупп.
См. также [ править ]
- Тривиальная группа
- Нулевое кольцо
- Поле с одним элементом
- Пустая полугруппа
- Полугруппа с двумя элементами
- Полугруппа с тремя элементами
- Специальные классы полугрупп
Ссылки [ править ]
- ^ А. Х. Клиффорд ; ГБ Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп . Том. Я (2-е изд.). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4 .
- ^ П. А. Грилье (1995). Полугруппы . ЦРК Пресс . стр. 3–4. ISBN 978-0-8247-9662-4 .
- ^ Хауи, Дж. М. (1976). Введение в теорию полугрупп . Монографии LMS. Том. 7. Академическая пресса. стр. 2–3.