Полугруппа с двумя элементами

В математике полугруппа с двумя элементами — это полугруппа , для которой мощность равна базового множества двум. Существует ровно пять неизоморфных полугрупп, имеющих два элемента:

O ₂ , нулевая полугруппа второго порядка,
LO ₂ — левая нулевая полугруппа второго порядка,
RO ₂ — полугруппа правых нулей второго порядка,
({0,1}, ∧) (где «∧» — логическая связка « и ») или, что эквивалентно, множество {0,1} при умножении: единственная полурешетка с двумя элементами и единственная ненулевая полугруппа с нулем второго порядка, также моноид и, в конечном счете, двухэлементная булева алгебра ,
(Z ₂ , + ₂ ) (где Z ₂ = {0,1} и «+ ₂ » — «сложение по модулю 2») или, что то же самое, ({0,1}, ⊕) (где «⊕» — логическая связка " xor "), или, что то же самое, набор {−1,1} при умножении: единственная группа второго порядка. Это также изоморфно (Z ₂ , · ₂ ), мультипликативной группе {0,1} по модулю 2.

Полугруппы LO _и RO ₂ антиизоморфны . 2 O ₂ , ({0,1}, ∧) ( Z ₂ , + ₂ ) коммутативны и , а LO ₂ и RO ₂ некоммутативны. LO ₂ , RO ₂ и ({0,1}, ∧) — полосы .

Определение полугрупп с двумя элементами [ править ]

Выбрав набор A = { 1, 2 } в качестве базового набора, имеющего два элемента, шестнадцать бинарных операций можно определить в A . Эти операции показаны в таблице ниже. В таблице матрица вида

х	и
С	т

указывает на бинарную операцию над A, имеющую следующую таблицу Кэли .

	1	2
1	х	и
2	С	т

Список бинарных операций в { 1, 2 }

1	1
1	1

1	1
1	2

1	1
2	1

1	1
2	2

Нулевая полугруппа O ₂

≡ Полугруппа ({0,1},

\wedge

)

2·(1·2) = 2 , (2·1)·2 = 1

Левая нулевая полугруппа LO ₂

1	2
1	1

1	2
1	2

1	2
2	1

1	2
2	2

2·(1·2) = 1 , (2·1)·2 = 2

Полугруппа правых нулей RO ₂

≡ Группа (Z ₂ , · ₂ )

≡ Полугруппа ({0,1},

\wedge

)

2	1
1	1

2	1
1	2

2	1
2	1

2	1
2	2

1·(1·2) = 2 , (1·1)·2 = 1

≡ Группа (Z ₂ , + ₂ )

1·(1·1) = 1 , (1·1)·1 = 2

1·(2·1) = 1 , (1·2)·1 = 2

2	2
1	1

2	2
1	2

2	2
2	1

2	2
2	2

1·(1·1) = 2 , (1·1)·1 = 1

1·(2·1) = 2 , (1·2)·1 = 1

1·(1·2) = 2 , (1·1)·2 = 1

Нулевая полугруппа O ₂

В этой таблице:

Полугруппа ({0,1}, $\wedge$ ) обозначает двухэлементную полугруппу, содержащую нулевой элемент 0 и единичный элемент 1. Две бинарные операции, определенные матрицами на зеленом фоне, являются ассоциативными, и соединение любой из них с A создает полугруппу, изоморфную полугруппе ({0,1}, $\wedge$ ) . В этой полугруппе каждый элемент идемпотентен , поэтому это полоса . Более того, она коммутативна (абелева) и, следовательно, является полурешеткой . является Индуцированный порядок линейным порядком , и поэтому на самом деле это решетка , а также дистрибутивная и дополненная решетка , то есть на самом деле это двухэлементная булева алгебра .
Две бинарные операции, определенные матрицами на синем фоне, ассоциативны, и соединение любой из них с A создает полугруппу, изоморфную нулевой полугруппе O ₂ с двумя элементами.
Бинарная операция, определенная матрицей на оранжевом фоне, является ассоциативной, и ее соединение с A создает полугруппу. Это полугруппа левых нулей LO ₂ . Это не коммутативно.
Бинарная операция, определяемая матрицей на фиолетовом фоне, является ассоциативной, и ее соединение с A создает полугруппу. Это полугруппа правых нулей RO ₂ . Это также не коммутативно.
Две бинарные операции, определенные матрицами на красном фоне, ассоциативны, и соединение любой из них с A создает полугруппу, изоморфную группе ( Z ₂ , + ₂ ) .
Остальные восемь бинарных операций, определяемых матрицами на белом фоне, не являются ассоциативными и, следовательно, ни одна из них не создает полугруппу в сочетании с A .

Двухэлементная полугруппа ({0,1}, ∧) [ править ]

Таблица Кэли для полугруппы ({0,1}, $\wedge$ ) приведено ниже:

$\wedge$	0	1
0	0	0
1	0	1

Это простейший нетривиальный пример полугруппы, которая не является группой. Эта полугруппа имеет единичный элемент 1, что делает ее моноидом . Оно также коммутативно. Это не группа, поскольку элемент 0 не имеет обратного, и она даже не является сокращающейся полугруппой, поскольку мы не можем отменить 0 в уравнении 1·0 = 0·0.

Эта полугруппа возникает в различных контекстах. Например, если мы выберем 1 в качестве значения истинности « истина », а 0 в качестве значения истинности « ложь », а операцию — в качестве логической связки « и », мы получим эту полугруппу в логике . Он изоморфен моноиду {0,1} при умножении. Она также изоморфна полугруппе

S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right\}

при матричном умножении .

Двухэлементная полугруппа (Z ₂ , + ₂ ) [ править ]

Таблица Кэли для полугруппы (Z ₂ , + ₂ ) приведена ниже:

+ ₂	0	1
0	0	1
1	1	0

Эта группа изоморфна циклической группе Z ₂ и симметрической группе S ₂ .

Полугруппы порядка 3 [ править ]

Пусть A — трехэлементное множество {1, 2, 3} . В общей сложности 3 ⁹ 19683 различных двоичных операций могут быть определены над A. = 113 из 19683 бинарных операций определяют 24 неизоморфных полугруппы или 18 неэквивалентных полугрупп (причем эквивалентность является изоморфизмом или антиизоморфизмом). ^[1] За исключением группы с тремя элементами , каждая из них имеет одну (или более) из вышеуказанных двухэлементных полугрупп в качестве подполугрупп. ^[2] Например, набор {−1, 0, 1} при умножении является полугруппой порядка 3 и содержит как {0, 1}, так и {−1, 1} в качестве подполугрупп.

Конечные полугруппы высших порядков [ править ]

Разработаны алгоритмы и компьютерные программы определения неизоморфных конечных полугрупп заданного порядка. Они были применены для определения неизоморфных полугрупп малого порядка. ^[2]^[3]^[4] Количество неизоморфных полугрупп с n элементами, где n — неотрицательное целое число, указано в разделе OEIS : A027851 в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей . OEIS : A001423 перечисляет количество неэквивалентных полугрупп, а OEIS : A023814 количество ассоциативных бинарных операций из общего числа n. ^{н ²}, определяющий полугруппу.

См. также [ править ]

Пустая полугруппа
Тривиальная полугруппа (полугруппа с одним элементом)
Полугруппа с тремя элементами
Специальные классы полугрупп

Ссылки [ править ]

^ Фридрик Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над набором из трех элементов» (PDF) . Энтузиаст математики из Монтаны . 5 (2 и 3): 257–268. дои : 10.54870/1551-3440.1106 . S2CID 118704099 . Проверено 6 февраля 2014 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп. Архивировано 2 апреля 2015 г. в Wayback Machine , докторская диссертация, Университет Сент-Эндрюс.
^ Црвенкович, Синиша; Стойменович, Иван (1993). «Алгоритм для таблиц Кэли алгебр» (PDF) . Известия естественно-математического факультета. Серия по математике. Обзор исследований. Факультет естественных наук. Математическая серия . 23 (2): 221–231. МР 1333549 .
^ Джон Хильдебрант (2001). Справочник по конечным полугрупповым программам . (Препринт). [1]

[1] Фридрик Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над набором из трех элементов» (PDF) . Энтузиаст математики из Монтаны . 5 (2 и 3): 257–268. дои : 10.54870/1551-3440.1106 . S2CID 118704099 . Проверено 6 февраля 2014 г.

[distler-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп. Архивировано 2 апреля 2015 г. в Wayback Machine , докторская диссертация, Университет Сент-Эндрюс.

[3] Црвенкович, Синиша; Стойменович, Иван (1993). «Алгоритм для таблиц Кэли алгебр» (PDF) . Известия естественно-математического факультета. Серия по математике. Обзор исследований. Факультет естественных наук. Математическая серия . 23 (2): 221–231. МР 1333549 .

[4] Джон Хильдебрант (2001). Справочник по конечным полугрупповым программам . (Препринт). [1]

[1]

[2]

[3]

[4]