Антиизоморфизм

В теории категорий , разделе математики , антиизоморфизм (или антиизоморфизм ) между структурированными множествами A и B — это изоморфизм от A к противоположности B (или, что то же самое , от противоположности A к B ). Если между двумя структурами существует антиизоморфизм, их называют антиизоморфными.

Интуитивно сказать, что две математические структуры антиизоморфны, значит сказать, что они по сути являются противоположностями друг друга.

Эта концепция особенно полезна в алгебраической ситуации, например, применительно к кольцам .

Простой пример

Пусть A — бинарное отношение (или ориентированный граф ), состоящее из элементов {1,2,3} и бинарного отношения $\rightarrow$ определяется следующим образом:

• $1\rightarrow 2,$
• $1\rightarrow 3,$
• $2\rightarrow 1.$

Пусть B — набор бинарных отношений, состоящий из элементов { a , b , c } и бинарного отношения $\Rightarrow$ определяется следующим образом:

• $b\Rightarrow a,$
• $c\Rightarrow a,$
• $a\Rightarrow b.$

Обратите внимание, что противоположность B (обозначается B ^на ) — тот же набор элементов с противоположным бинарным отношением $\Leftarrow$ (то есть перевернуть все дуги ориентированного графа):

• $b\Leftarrow a,$
• $c\Leftarrow a,$
• $a\Leftarrow b.$

Если мы заменим a , b и c на 1, 2 и 3 соответственно, мы увидим, что каждое правило в B ^на то же самое, что и некоторое правило в A . То есть мы можем определить изоморфизм $\phi$ От а до б ^на к $\phi (1)=a,\phi (2)=b,\phi (3)=c$. $\phi$ тогда является антиизоморфизмом между A и B .

антиизоморфизмы

Специализируя общий язык теории категорий на алгебраической теме колец, мы имеем: Пусть R и S — кольца, а f : R → S — биекция . Тогда f — кольцевой антиизоморфизм если

$f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)\ \ \ {\text{and}}\ \ \ f(x\cdot _{R}y)=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{for all }}x,y\in R.$

Если R = S , то f — кольцевой антиавтоморфизм .

Примером кольцевого антиавтоморфизма является сопряженное отображение кватернионов :

$x_{0}+x_{1}\mathbf {i} +x_{2}\mathbf {j} +x_{3}\mathbf {k} \ \ \mapsto \ \ x_{0}-x_{1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k} .$

Ссылки

• Баер, Рейнхольд (2005) [1952], Линейная алгебра и проективная геометрия , Дувр, ISBN  0-486-44565-8
• Джейкобсон, Натан (1948), Теория колец , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1502-4
• Парейгис, Бодо (1970), Категории и функторы , Academic Press, ISBN  0-12-545150-4