Представление на координатных кольцах

В математике представление на координатных кольцах — это представление группы на координатных кольцах аффинных многообразий.

Пусть X — аффинное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем k нулевой характеристики с действием редуктивной алгебраической группы G . Тогда G действует на координатном кольце $k[X]$ X : как представление левое регулярное $(g\cdot f)(x)=f(g^{-1}x)$. Это представление G на координатном кольце X .

Самый простой случай — когда X — аффинное пространство (то есть X — конечномерное представление G ), а координатное кольцо — кольцо многочленов. Самый важный случай — когда X — симметричное многообразие ; т. е. фактор G по подгруппе неподвижной точки инволюции.

Изотипическое разложение

Позволять $k[X]_{(\lambda )}$ есть сумма всех G -подмодулей модуля $k[X]$ которые изоморфны простому модулю $V^{\lambda }$; это называется $\lambda$- изотипический компонент $k[X]$. Далее происходит разложение в прямую сумму:

$k[X]=\bigoplus _{\lambda }k[X]_{(\lambda )}$

где сумма пробегает все простые G -модули $V^{\lambda }$. Существование разложения следует, например, из того факта, что групповая алгебра группы G полупроста, поскольку G редуктивна.

X называется бескратным (или сферическим многообразием ) если каждое неприводимое представление группы G появляется в координатном кольце не более одного раза; то есть, $\operatorname {dim} k[X]_{(\lambda )}\leq \operatorname {dim} V^{\lambda }$.Например, $G$ свободен от кратности, так как $G\times G$-модуль. Точнее, для замкнутой подгруппы H группы G определим

$\phi _{\lambda }:V^{{\lambda }*}\otimes (V^{\lambda })^{H}\to k[G/H]_{(\lambda )}$

установив $\phi _{\lambda }(\alpha \otimes v)(gH)=\langle \alpha ,g\cdot v\rangle$ а затем расширяя $\phi _{\lambda }$ по линейности. Функции в образе $\phi _{\lambda }$ обычно называются матричными коэффициентами . Затем происходит разложение в прямую сумму $G\times N$-модули ( N нормализатор H )

$k[G/H]=\bigoplus _{\lambda }\phi _{\lambda }(V^{{\lambda }*}\otimes (V^{\lambda })^{H})$,

что является алгебраической версией теоремы Петера–Вейля (и фактически аналитическая версия является непосредственным следствием). Доказательство: пусть W — простая $G\times N$-субмодули $k[G/H]_{(\lambda )}$. Мы можем предположить $V^{\lambda }=W$. Позволять $\delta _{1}$ — линейный функционал от W такой, что $\delta _{1}(w)=w(1)$. Затем $w(gH)=\phi _{\lambda }(\delta _{1}\otimes w)(gH)$.То есть образ $\phi _{\lambda }$ содержит $k[G/H]_{(\lambda )}$ и справедливо обратное включение, поскольку $\phi _{\lambda }$ является эквивариантным.

Примеры

• Позволять $v_{\lambda }\in V^{\lambda }$ — собственный вектор B , а X — замыкание орбиты $G\cdot v_{\lambda }$. Это аффинное многообразие, названное Винбергом-Поповым векторным многообразием старшего веса. Он свободен от множественности.

См. также

• Алгебраическое представление

Ссылки

• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (2009). Симметрия, представления и инварианты (на немецком языке). дои : 10.1007/978-0-387-79852-3 . ISBN  978-0-387-79852-3 . OCLC   699068818 .