Представительство группы

Не путать с Презентацией группы .

Представление группы « воздействует» на объект. Простой пример — как симметрии правильного многоугольника , состоящие из отражений и вращений, преобразуют многоугольник.

В математической области теории представлений описывают представления групп абстрактные группы в терминах биективных линейных преобразований векторного пространства в себя (т.е. автоморфизмы векторного пространства ); в частности, их можно использовать для представления элементов группы в виде обратимых матриц , чтобы групповую операцию можно было представить путем умножения матриц .

В химии представление группы может связать элементы математической группы с симметричными вращениями и отражениями молекул.

Представления групп позволяют многие теоретико-групповые свести задачи к задачам линейной алгебры . В физике они описывают, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Термин «представление группы» также используется в более общем смысле для обозначения любого «описания» группы как группы преобразований некоторого математического объекта. Более формально, «представление» означает гомоморфизм группы в группу автоморфизмов объекта. Если объект является векторным пространством, у нас есть линейное представление . Некоторые люди используют реализацию в качестве общего понятия и оставляют термин «представление» для частного случая линейных представлений. Основная часть этой статьи описывает теорию линейного представления; см. последний раздел для обобщений.

Разделы теории представления групп

Теория представлений групп делится на подтеории в зависимости от типа представляемой группы. Различные теории сильно различаются в деталях, хотя некоторые основные определения и концепции схожи. Наиболее важными подразделениями являются:

• Конечные группы . Представления групп являются очень важным инструментом в изучении конечных групп. Они также возникают в приложениях теории конечных групп к кристаллографии и геометрии. Если поле скаляров векторного пространства имеет характеристику p и если p делит порядок группы, то это называется модулярной теорией представлений ; этот особый случай имеет совсем другие свойства. См. Теорию представлений конечных групп .
• Компактные группы или локально компактные группы . Многие результаты теории представлений конечных групп доказываются путем усреднения по группе. Эти доказательства могут быть перенесены на бесконечные группы путем замены среднего интегралом при условии, что можно определить приемлемое понятие интеграла. Это можно сделать для локально компактных групп, используя меру Хаара . Полученная теория является центральной частью гармонического анализа . Двойственность Понтрягина описывает теорию коммутативных групп как обобщенное преобразование Фурье . См. также: Теорема Питера–Вейля .
• Группы Ли . Многие важные группы Ли компактны, поэтому к ним применимы результаты теории компактных представлений. Используются и другие методы, специфичные для групп Ли. Большинство групп, важных в физике и химии, являются группами Ли, и их теория представлений имеет решающее значение для применения теории групп в этих областях. См. «Представления групп Ли» и «Представления алгебр Ли» .
• Линейные алгебраические группы (или, в более общем плане, схемы аффинных групп ). Это аналоги групп Ли, но над более общими полями, чем R или C. просто Хотя линейные алгебраические группы имеют классификацию, очень похожую на классификацию групп Ли, и порождают одни и те же семейства алгебр Ли, их представления довольно различны (и гораздо менее понятны). Аналитические методы, используемые для изучения групп Ли, должны быть заменены методами алгебраической геометрии , где относительно слабая топология Зарисского вызывает множество технических сложностей.
• Некомпактные топологические группы . Класс некомпактных групп слишком широк, чтобы построить какую-либо общую теорию представлений, но конкретные частные случаи изучались, иногда с использованием специальных методов. Полупростые группы Ли имеют глубокую теорию, основанную на компактном случае. Дополнительные разрешимые группы Ли не могут быть классифицированы таким же образом. Общая теория групп Ли имеет дело с полупрямыми произведениями двух типов посредством общих результатов, называемых теорией Макки , которые являются обобщением методов классификации Вигнера .

Теория представлений также сильно зависит от типа векторного пространства , в котором действует группа. Различают конечномерные представления и бесконечномерные. В бесконечномерном случае важны дополнительные структуры (например, является ли пространство гильбертовым , банаховым и т. д.).

Необходимо также учитывать тип поля, над которым определяется векторное пространство. Наиболее важным случаем является поле комплексных чисел . Другими важными случаями являются поля действительных чисел , конечные поля и поля p-адических чисел . В общем, с алгебраически замкнутыми полями работать легче, чем с неалгебраически замкнутыми. Характеристика ; поля также имеет значение многие теоремы для конечных групп зависят от характеристики поля, не делящего порядок группы .

Определения

Представление группы G из V в векторном пространстве V над полем K представляет собой группы G V. в GL( ) , группу на гомоморфизм общую линейную То есть представление — это карта

$\rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)$

такой, что

$\rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G.$

Здесь V называется пространством представления , а размерность V называется размерностью или степенью представления. Обычно V сам по себе называют представлением, когда гомоморфизм ясен из контекста.

В случае, когда V имеет конечную размерность n, обычно выбирают базис для V и отождествляют GL( V ) с GL( n , K ) , группой $n\times n$ обратимые матрицы на поле K .

• Если G — топологическая группа , а V — топологическое векторное пространство , непрерывное представление G Φ на V — это представление ρ такое, что приложение Φ: G × V → V, определенное формулой ( g , v ) = ρ ( g )( v ) является непрерывным .
• Ядро ρ представления ρ группы G определяется как нормальная подгруппа группы G , образ которой под действием является тождественным преобразованием:

$\ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.$

Точным представлением в котором гомоморфизм G → GL( V ) инъективен является представление , ; другими словами, тот, ядром которого является тривиальная подгруппа { e }, состоящая только из единичного элемента группы.

• Для двух K векторных пространств V и W два представления ρ : G → GL( V ) и π : G → GL( W ) называются эквивалентными или изоморфными , если существует изоморфизм векторного пространства α : V → W так, что для все г в г ,

$\alpha \circ \rho (g)\circ \alpha ^{-1}=\pi (g).$

Примеры

Рассмотрим комплексное число u = e ^{2πi / 3} который обладает свойством u ³ = 1. Множество C ₃ = {1, u , u ² } образует циклическую группу при умножении. Эта группа имеет представление ρ на $\mathbb {C} ^{2}$ предоставлено:

$\rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.$

Это представление является точным, поскольку ρ является взаимно однозначным отображением .

Другое представление C ₃ на $\mathbb {C} ^{2}$, изоморфный предыдущему, представляет собой σ, определяемый формулой:

$\sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.$

Группа C ₃ также может быть точно представлена ​​на $\mathbb {R} ^{2}$ по τ, определяемому формулой:

$\tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}$

где

$a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.$

Другой пример:

Позволять $V$ — пространство однородных полиномов степени 3 над комплексными числами от переменных $x_{1},x_{2},x_{3}.$

Затем $S_{3}$ действует на $V$ путем перестановки трех переменных.

Например, $(12)$ отправляет $x_{1}^{3}$ к $x_{2}^{3}$.

сводимость

Основная статья: Неприводимое представление

Подпространство W в V , инвариантное относительно действия группы, называется подпредставлением . Если V имеет ровно два подпредставления, а именно нульмерное подпространство и само V , то представление называется неприводимым ; если оно имеет собственное подпредставление ненулевой размерности, то представление называется приводимым . Представление нулевой размерности не считается ни приводимым, ни неприводимым. точно так же, как число 1 не считается ни составным , ни простым .

В предположении, что характеристика поля К не делит размер группы, представления конечных групп можно разложить в прямую сумму неприводимых подпредставлений (см. теорему Машке ). Это справедливо, в частности, для любого представления конечной группы над комплексными числами , поскольку характеристика комплексных чисел равна нулю, что никогда не делит размер группы.

В приведенном выше примере первые два заданных представления (ρ и σ) оба можно разложить на два одномерных подпредставления (задаваемые span{(1,0)} и span{(0,1)}), а третье представление (τ) неприводим.

Обобщения

Теоретико-множественные представления

Теоретико -множественное представление (также известное как групповое действие или представление перестановок ) группы G на множестве X задается функцией ρ : G → X ^Х , набор функций от X до X , таких, что для всех g ₁ , g ₂ в G и всех x в X :

$\rho (1)[x]=x$

$\rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]],$

где $1$ является единичным элементом G . Из этого условия и аксиом группы следует, что ρ( ) является биекцией (или перестановкой ) для всех g в G. g Таким образом, мы можем эквивалентно определить представление перестановки как гомоморфизм группы из G в симметрическую группу S _X группы X .

Более подробную информацию по этой теме можно найти в статье о групповых действиях .

Представительства в других категориях

Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом; морфизмы в этой категории — это просто элементы G . произвольной C представление ​ G в в C является функтором из G Для C. категории функтор выбирает объект X в C и групповой гомоморфизм из G в Aut( X ), группу X. Такой автоморфизмов

В случае, когда C — это Vect _K , категория векторных пространств над полем K , это определение эквивалентно линейному представлению. Аналогично, теоретико-множественное представление — это просто представление G в категории множеств .

Когда C является Ab , категорией абелевых групп , полученные объекты называются G -модулями .

В качестве другого примера рассмотрим категорию топологических пространств Top . Представления в Top это гомоморфизмы из G в группу гомеоморфизмов топологического пространства X. —

Два типа представлений, тесно связанных с линейными представлениями:

• Проективные представления : в категории проективных пространств . Их можно описать как «линейные представления с точностью до скалярных преобразований».
• аффинные представления : в категории аффинных пространств . Например, евклидова группа действует аффинно в евклидовом пространстве .

См. также

• Неприводимые представления
• Таблица символов
• Теория персонажей
• Молекулярная симметрия
• Список тем гармонического анализа
• Список тем теории представлений
• Теория представлений конечных групп
• Полупростое представление

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 . . Введение в теорию представлений с акцентом на группы Ли .
• Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод русскоязычного издания 1985 года (Харьков, Украина). Биркхойзер Верлаг. 1988.