Представление алгебры Ли

В математической области теории представлений или представление алгебры Ли представление алгебры Ли — это способ записи алгебры Ли как набора матриц (или эндоморфизмов векторного пространства ) таким образом, что скобка Ли задается формулой коммутатор . На языке физики мы ищем векторное пространство. $V$ вместе с набором операторов на $V$ удовлетворяющий некоторому фиксированному набору коммутационных соотношений, таких как отношения, которым удовлетворяют операторы углового момента .

Это понятие тесно связано с понятием представления группы Ли . Грубо говоря, представления алгебр Ли являются дифференцированной формой представлений групп Ли, а представления универсального накрытия группы Ли — интегрированной формой представлений ее алгебры Ли.

При изучении представлений алгебры Ли важную роль играет особое кольцо , называемое универсальной обертывающей алгеброй , связанное с алгеброй Ли. Универсальность этого кольца говорит о том, что категория представлений алгебры Ли совпадает с категорией модулей над ее обертывающей алгеброй.

Формальное определение

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли и пусть $V$ быть векторным пространством. Мы позволяем ${\mathfrak {gl}}(V)$ обозначим пространство эндоморфизмов $V$ , то есть пространство всех линейных отображений $V$ самому себе. Мы делаем ${\mathfrak {gl}}(V)$ в алгебру Ли со скобкой, заданной коммутатором: $[\rho ,\sigma ]=\rho \circ \sigma -\sigma \circ \rho$ для всех ρ,σ в ${\mathfrak {gl}}(V)$ . Тогда представление ${\mathfrak {g}}$ на $V$ является гомоморфизмом алгебры Ли

\rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)

.

Явно это означает, что $\rho$ должна быть линейной картой и удовлетворять

\rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (Y)\rho (X)

для всех X, Y в ${\mathfrak {g}}$ . Векторное пространство V вместе с представлением ρ называется ${\mathfrak {g}}$ -модуль . (Многие авторы злоупотребляют терминологией и называют V самим представлением).

Представительство $\rho$ называется верным, если оно инъективно.

Эквивалентно можно определить ${\mathfrak {g}}$ -модуль как векторное пространство V вместе с билинейным отображением ${\mathfrak {g}}\times V\to V$ такой, что

[X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)

для всех X,Y в ${\mathfrak {g}}$ и v в V . Это связано с предыдущим определением, полагая X ⋅ v = ρ ( X )( v ).

Примеры

Присоединенные представления

Самый простой пример представления алгебры Ли - это присоединенное представление алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ на себе:

{\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X},\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].

, в силу тождества Якоби Действительно $\operatorname {ad}$ является гомоморфизмом алгебры Ли.

Представления бесконечно малых групп Ли

Представление алгебры Ли также возникает в природе. Если $\phi$ : G → H — гомоморфизм (вещественных или комплексных) групп Ли , и ${\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {h}}$ являются алгебрами Ли групп G и H соответственно, то дифференциал $d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ на касательных пространствах в точках тождеств является гомоморфизмом алгебры Ли. В частности, для конечномерного векторного пространства V представление групп Ли

\phi :G\to \operatorname {GL} (V)\,

определяет гомоморфизм алгебры Ли

d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)

от ${\mathfrak {g}}$ алгебре Ли полной линейной группы GL( V ), т.е. алгебре эндоморфизмов V. группы

Например, пусть $c_{g}(x)=gxg^{-1}$ . Тогда дифференциал $c_{g}:G\to G$ в идентичности является элементом $\operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})$ . Обозначая его через $\operatorname {Ad} (g)$ получается представление $\operatorname {Ad}$ группы G в векторном пространстве ${\mathfrak {g}}$ . Это представление G . присоединенное Применяя предыдущее, получаем представление алгебры Ли $d\operatorname {Ad}$ . Можно показать, что $d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad}$ , присоединенное представление ${\mathfrak {g}}$ .

Частичное обращение к этому утверждению гласит, что каждое представление конечномерной (вещественной или комплексной) алгебры Ли поднимается до единственного представления ассоциированной односвязной группы Ли, так что представления односвязных групп Ли находятся во взаимно однозначном порядке. одно соответствие с представлениями их алгебр Ли. ^[1]

В квантовой физике

В квантовой теории рассматриваются «наблюдаемые», которые являются самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве . В этом случае важным инструментом являются коммутационные отношения между этими операторами. Операторы углового момента , например, удовлетворяют коммутационным соотношениям

[L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},

.

Таким образом, оболочка этих трех операторов образует алгебру Ли, которая изоморфна алгебре Ли so(3) группы вращений SO(3) . ^[2] Тогда, если $V$ — любое подпространство квантового гильбертова пространства, инвариантное относительно операторов углового момента, $V$ будет представлять собой представление алгебры Ли so(3). Понимание теории представления so(3) очень помогает, например, при анализе гамильтонианов с вращательной симметрией, таких как атом водорода . Многие другие интересные алгебры Ли (и их представления) возникают в других разделах квантовой физики. Действительно, история теории представлений характеризуется богатым взаимодействием математики и физики.

Основные понятия

Инвариантные подпространства и неприводимость

Учитывая представление $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V)$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ , мы говорим, что подпространство $W$ из $V$ инвариантен , если $\rho (X)w\in W$ для всех $w\in W$ и $X\in {\mathfrak {g}}$ . Ненулевое представление называется неприводимым , если единственными инвариантными подпространствами являются $V$ себя и нулевое пространство $\{0\}$ . Термин простой модуль также используется для неприводимого представления.

Гомоморфизмы

Позволять ${\mathfrak {g}}$ быть алгеброй Ли . Пусть V , W будут ${\mathfrak {g}}$ -модули. Тогда линейное отображение $f:V\to W$ является гомоморфизмом ${\mathfrak {g}}$ -модули, если это так ${\mathfrak {g}}$ -эквивариантный; то есть, $f(X\cdot v)=X\cdot f(v)$ для любого $X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V$ . Если f биективен, $V,W$ называются эквивалентными . Такие карты также называются переплетающимися картами или морфизмами .

Точно так же в этот параметр переносятся многие другие конструкции из теории модулей в абстрактной алгебре: подмодуль, фактор, подфактор, прямая сумма, ряд Йордана-Гёльдера и т. д.

Лемма Шура

Простым, но полезным инструментом изучения неприводимых представлений является лемма Шура. Он состоит из двух частей: ^[3]

Если V , W неприводимы ${\mathfrak {g}}$ -модули и $f:V\to W$ является гомоморфизмом, то $f$ либо ноль, либо изоморфизм.
Если V — неприводимая ${\mathfrak {g}}$ -модуль над алгебраически замкнутым полем и $f:V\to V$ является гомоморфизмом, то $f$ является скалярным кратным единицы.

Полная сводимость

Пусть V — представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ . Тогда V называется вполне приводимым (или полупростым), если он изоморфен прямой сумме неприводимых представлений (ср. полупростой модуль ). Если V конечномерно, то V вполне приводимо тогда и только тогда, когда каждое инвариантное подпространство V имеет инвариантное дополнение. (То есть, если W — инвариантное подпространство, то существует другое инвариантное подпространство P такое, что V — прямая сумма W и P .)

Если ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики и V конечномерна, то V полупроста; это полная теорема Вейля о сводимости . ^[4] Таким образом, для полупростых алгебр Ли классификация неприводимых (т. е. простых) представлений немедленно приводит к классификации всех представлений. Для других алгебр Ли, которые не обладают этим особым свойством, классификация неприводимых представлений может не сильно помочь в классификации общих представлений.

Алгебра Ли называется редуктивной , если присоединенное представление полупросто. Разумеется, любая (конечномерная) полупростая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ является редуктивным, поскольку каждое представление ${\mathfrak {g}}$ как мы только что отметили, вполне приводима. С другой стороны, определение редуктивной алгебры Ли означает, что она разлагается в прямую сумму идеалов (т. е. инвариантных подпространств для присоединенного представления), которые не имеют нетривиальных подидеалов. Некоторые из этих идеалов будут одномерными, а остальные — простыми алгебрами Ли. Таким образом, редуктивная алгебра Ли представляет собой прямую сумму коммутативной алгебры и полупростой алгебры.

Инварианты

Элемент v из V называется ${\mathfrak {g}}$ -инвариант, если $x\cdot v=0$ для всех $x\in {\mathfrak {g}}$ . Множество всех инвариантных элементов обозначается через $V^{\mathfrak {g}}$ .

Основные конструкции

Тензорные произведения представлений

Если у нас есть два представления алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ , с V ₁ и V ₂ в качестве базовых векторных пространств, то тензорное произведение представлений будет иметь V ₁ ⊗ V ₂ в качестве основного векторного пространства с действием ${\mathfrak {g}}$ однозначно определяется предположением, что

X\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}\otimes (X\cdot v_{2}).

для всех $v_{1}\in V_{1}$ и $v_{2}\in V_{2}$ .

На языке гомоморфизмов это означает, что мы определяем $\rho _{1}\otimes \rho _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V_{1}\otimes V_{2})$ по формуле

(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)

. ^[5] Это называется суммой Кронекера

\rho _{1}

и

\rho _{2}

, определенное в Matrix add#Kronecker_sum и Kronecker Product#Properties и, более конкретно, в Тензорном произведении представлений .

В физической литературе тензорное произведение с тождественным оператором часто опускается в обозначениях, и формула записывается как

(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)+\rho _{2}(X)

,

где это понимается $\rho _{1}(x)$ действует на первый множитель тензорного произведения и $\rho _{2}(x)$ действует на второй множитель тензорного произведения. В контексте представлений алгебры Ли su(2) тензорное произведение представлений называется «добавлением углового момента». В этом контексте $\rho _{1}(X)$ может, например, быть орбитальным угловым моментом, а $\rho _{2}(X)$ - спиновый угловой момент.

Двойные представления

Позволять ${\mathfrak {g}}$ быть алгеброй Ли и $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)$ быть представителем ${\mathfrak {g}}$ . Позволять $V^{*}$ — двойственное пространство, т. е. пространство линейных функционалов на $V$ . Тогда мы можем определить представление $\rho ^{*}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V^{*})$ по формуле

\rho ^{*}(X)=-(\rho (X))^{\operatorname {tr} },

где для любого оператора $A:V\rightarrow V$ , оператор транспонирования $A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}$ определяется как «композиция с $A$ "Оператор:

(A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av)

Знак минус в определении $\rho ^{*}$ необходимо для того, чтобы гарантировать, что $\rho ^{*}$ на самом деле является представлением ${\mathfrak {g}}$ , в свете идентичности $(AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }.$

Если мы работаем в базисе, то транспонирование в приведенном выше определении можно интерпретировать как обычное транспонирование матрицы.

Представление на линейных картах

Позволять $V,W$ быть ${\mathfrak {g}}$ -модули, ${\mathfrak {g}}$ алгебра Ли. Затем $\operatorname {Hom} (V,W)$ становится ${\mathfrak {g}}$ -модуль по настройке $(X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)$ . В частности, $\operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}$ ; то есть, ${\mathfrak {g}}$ -модульные гомоморфизмы из $V$ к $W$ являются просто элементами $\operatorname {Hom} (V,W)$ которые инвариантны относительно только что определенного действия ${\mathfrak {g}}$ на $\operatorname {Hom} (V,W)$ . Если мы возьмем $W$ быть базовым полем, мы восстанавливаем действие ${\mathfrak {g}}$ на $V^{*}$ приведено в предыдущем подразделе.

Теория представлений полупростых алгебр Ли

См. Теорию представлений полупростых алгебр Ли .

Обертывающие алгебры

Каждой алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем k можно сопоставить некоторое кольцо , называемое универсальной обертывающей алгеброй поля k. ${\mathfrak {g}}$ и обозначил $U({\mathfrak {g}})$ . Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что каждое представление ${\mathfrak {g}}$ порождает представление о $U({\mathfrak {g}})$ . И наоборот, теорема PBW говорит нам, что ${\mathfrak {g}}$ сидит внутри $U({\mathfrak {g}})$ , так что каждое представление $U({\mathfrak {g}})$ может быть ограничено ${\mathfrak {g}}$ . Таким образом, между представлениями существует взаимно однозначное соответствие. ${\mathfrak {g}}$ и те из $U({\mathfrak {g}})$ .

Универсальная обертывающая алгебра играет важную роль в описанной выше теории представлений полупростых алгебр Ли. В частности, конечномерные неприводимые представления строятся как факторы модулей Вермы , а модули Вермы строятся как факторы универсальной обертывающей алгебры. ^[6]

Строительство $U({\mathfrak {g}})$ заключается в следующем. ^[7] Пусть T — тензорная алгебра векторного пространства ${\mathfrak {g}}$ . Таким образом, по определению $T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}$ и умножение на него определяется выражением $\otimes$ . Позволять $U({\mathfrak {g}})$ — факторкольцо группы T по идеалу, порожденному элементами вида

[X,Y]-(X\otimes Y-Y\otimes X)

.

Существует естественная линейная карта из ${\mathfrak {g}}$ в $U({\mathfrak {g}})$ полученное ограничением фактор-отображения $T\to U({\mathfrak {g}})$ до степени одна штука. Теорема PBW подразумевает, что каноническое отображение на самом деле инъективно. Таким образом, каждая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ можно вложить в ассоциативную алгебру $A=U({\mathfrak {g}})$ таким образом, чтобы кронштейн на ${\mathfrak {g}}$ дается $[X,Y]=XY-YX$ в $A$ .

Если ${\mathfrak {g}}$ абелева то , $U({\mathfrak {g}})$ — симметрическая алгебра векторного пространства ${\mathfrak {g}}$ .

С ${\mathfrak {g}}$ является модулем над собой через присоединенное представление, обертывающую алгебру $U({\mathfrak {g}})$ становится ${\mathfrak {g}}$ -модуль путем расширения присоединенного представления. Но можно также использовать левое и правое регулярное представление , чтобы сделать обертывающую алгебру ${\mathfrak {g}}$ -модуль; а именно, с обозначением $l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},Y\in U({\mathfrak {g}})$ , отображение $X\mapsto l_{X}$ определяет представление ${\mathfrak {g}}$ на $U({\mathfrak {g}})$ . Правое регулярное представление определяется аналогично.

Индуцированное представление

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики и ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ подалгебра. $U({\mathfrak {h}})$ действует на $U({\mathfrak {g}})$ справа и, следовательно, для любого ${\mathfrak {h}}$ -модуля W можно сформировать левый $U({\mathfrak {g}})$ -модуль $U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W$ . Это ${\mathfrak {g}}$ -модуль, обозначаемый $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W$ и позвонил в ${\mathfrak {g}}$ -модуль, индуцированный W . Оно удовлетворяет (и фактически характеризуется) универсальному свойству: для любого ${\mathfrak {g}}$ -модуль Е

\operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)

.

Более того, $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}$ является точным функтором из категории ${\mathfrak {h}}$ -модули в категорию ${\mathfrak {g}}$ -модули. Они используют тот факт, что $U({\mathfrak {g}})$ это бесплатный правый модуль $U({\mathfrak {h}})$ . В частности, если $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W$ просто (соответственно абсолютно просто), то W просто (соответственно абсолютно просто). Здесь, ${\mathfrak {g}}$ -модуль V абсолютно прост, если $V\otimes _{k}F$ просто для любого расширения поля $F/k$ .

Индукция транзитивна: $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}$ для любой подалгебры Ли ${\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}$ и любая подалгебра Ли ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'$ . Индукция коммутирует с ограничением: пусть ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ быть подалгеброй и ${\mathfrak {n}}$ идеал ${\mathfrak {g}}$ который содержится в ${\mathfrak {h}}$ . Набор ${\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}$ и ${\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}$ . Затем $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}$ .

Бесконечномерные представления и «категория О».

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. (в разрешимом или нильпотентном случае изучаются примитивные идеалы обертывающей алгебры; исчерпывающую информацию см. в Диксмье.)

Категория модулей (возможно, бесконечномерных) над ${\mathfrak {g}}$ оказывается слишком большим, особенно для того, чтобы методы гомологической алгебры были полезны: стало понятно, что меньшая категория подкатегорий O является лучшим местом для теории представлений в полупростом случае с нулевой характеристикой. Например, категория О оказалась подходящего размера для формулировки знаменитой взаимности BGG. ^{[ нужна ссылка ]}

(g,K)-модуль

Одним из наиболее важных приложений представлений алгебры Ли является теория представлений вещественных редуктивных групп Ли. Приложение основано на идее, что если $\pi$ является представлением в гильбертовом пространстве, скажем, связной вещественной полупростой линейной группы Ли G , то она имеет два естественных действия: комплексификацию ${\mathfrak {g}}$ и связная максимальная компактная подгруппа K . ${\mathfrak {g}}$ -модульная структура $\pi$ позволяет применять алгебраические, особенно гомологические методы и $K$ -модульная структура позволяет проводить гармонический анализ аналогично анализу связных компактных полупростых групп Ли.

Представление в алгебре

Если у нас есть супералгебра Ли L , то представлением L на алгебре является (не обязательно ассоциативная ) Z2 _- градуированная алгебра A , которая является представлением L как Z2 _- градуированного векторного пространства , и, кроме того, элементы L действуют как деривации / антидеривации на A .

Более конкретно, если — чистый элемент L , а x и y — чистые элементы A H ,

ЧАС [ ху ] = ( ЧАС [ х ]) y + (−1) ^хНх ( Ч [ у ])

Кроме того, если A единично , то

Ч [1] = 0

Теперь, в случае представления алгебры Ли , мы просто отбрасываем все градуировки и (−1) к некоторым степенным факторам.

(Супер)алгебра Ли — это алгебра, имеющая присоединенное представление самой себя. Это представление на алгебре: свойство (анти)вывода — это супертождество Якоби .

Если векторное пространство является одновременно ассоциативной алгеброй и алгеброй Ли , а присоединенное представление алгебры Ли на себе является представлением на алгебре (т. е. действует посредством дифференцирований на структуру ассоциативной алгебры), то это алгебра Пуассона . Аналогичное наблюдение для супералгебр Ли дает понятие супералгебры Пуассона .

См. также

Примечания

^ Холл, 2015 г. Теорема 5.6.
^ Зал 2013 г., раздел 17.3.
^ Холл, 2015 г., Теорема 4.29.
^ Диксмье 1977 , Теорема 1.6.3
^ Зал 2015 г., раздел 4.3.
^ Зал 2015 г., раздел 9.5.
^ Джейкобсон 1962

Ссылки

Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И. Структура представлений, порожденных векторами старшего веса // Функционал. Анальный. Прил. 5 (1971)
Диксмье, Дж. (1977), Обертывающие алгебры , Амстердам, Нью-Йорк, Оксфорд: Северная Голландия, ISBN 0-444-11077-1 .
А. Бейлинсон и Дж. Бернштейн, «Локализация g-модулей», Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I, vol. 292, вып. 1, стр. 15–18, 1981.
Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А. (1990). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 1. Северная Голландия. ISBN 0-444-88776-8 .
Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А.; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1 – через ScienceDirect .
Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 .
Д. Гайцгори, Геометрическая теория представлений, Math 267y, осень 2005 г.
Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
Рёси Хотта, Киёси Такеучи, Тосиюки Танисаки, D-модули, перверсивные пучки и теория представлений ; перевод Киёси Такеуча
Хамфрис, Джеймс (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Тексты для аспирантов по математике, том. 9, Спрингер, ISBN 9781461263982
Джейкобсон, Натан (1979) [1962]. Алгебры Ли . Дувр. ISBN 978-0-486-63832-4 .
Гаррет Биркгоф ; Филип М. Уитмен (1949). «Представление Джордана и алгебр Ли» (PDF) . Пер. амер. Математика. Соц. 65 : 116–136. дои : 10.1090/s0002-9947-1949-0029366-6 .
Кириллов, А. (2008). Введение в группы Ли и алгебры Ли . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 113. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521889698 .
Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. , Принстонские достопримечательности в области математики, Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0 (элементарное рассмотрение SL(2, C ))
Кнапп, Энтони В. (2002), Группы лжи за пределами и введение (второе изд.), Биркхаузер

Дальнейшее чтение

Бен-Цви, Дэвид; Надлер, Дэвид (2012). «Локализация Бейлинсона-Бернштейна над центром Хариш-Чандры». arXiv : 1209.0188v1 [ math.RT ].

[1] Холл, 2015 г. Теорема 5.6.

[2] Зал 2013 г., раздел 17.3.

[3] Холл, 2015 г., Теорема 4.29.

[4] Диксмье 1977 , Теорема 1.6.3

[5] Зал 2015 г., раздел 4.3.

[6] Зал 2015 г., раздел 9.5.

[7] Джейкобсон 1962

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	БЫСТРЫЙ
Национальный	Франция Данные БНФ Израиль Соединенные Штаты
Другой	ИдРеф