Теория персонажей

В математике , более конкретно в теории групп , характер — представления группы это функция группы , которая связывает с каждым элементом группы след соответствующей матрицы . Персонаж несет существенную информацию о представлении в более сжатой форме. Георг Фробениус изначально разработал теорию представлений конечных групп, полностью основанную на характерах и без какой-либо явной матричной реализации самих представлений. Это возможно, поскольку комплексное представление конечной группы определяется (с точностью до изоморфизма ) ее характером. Ситуация с представлениями над полем положительных характеристик , так называемыми «модульными представлениями», более деликатная, но Рихард Брауэр и в этом случае разработал мощную теорию характеров. Многие глубокие теоремы о строении конечных групп используют характеры модулярных представлений .

Приложения

Характеры неприводимых представлений кодируют многие важные свойства группы и, таким образом, могут быть использованы для изучения ее структуры. Теория характеров — важный инструмент классификации конечных простых групп . Почти половина доказательства теоремы Фейта –Томпсона включает сложные вычисления со значениями символов. Более простые, но все же важные результаты, в которых используется теория характеров, включают теорему Бернсайда (с тех пор было найдено чисто теоретико-групповое доказательство теоремы Бернсайда, но это доказательство появилось более чем через полвека после первоначального доказательства Бернсайда), а также теорему Рихарда Брауэра и Мичио Судзуки утверждает, что конечная простая группа не может иметь обобщенную группу кватернионов в качестве силовской $2-$ подгруппы .

Определения

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $F$ и пусть $: G \to GL(V)$ — представление группы $G$ на $V.$ ρ Характер , ρ $\to$ это функция $χ ρ : G — F$ заданная формулой

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

где $Tr$ — след .

Характер $хр,$ называется неприводимым или простым если $р$ — неприводимое представление . Степень характера $х$ есть размерность р $$ ; в нулевой характеристике это равно значению $χ (1)$ . Характер степени 1 называется линейным . Когда $G$ конечна и $F$ имеет нулевую характеристику, ядром характера $х р$ является нормальная подгруппа :

\ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,

что и есть ядро представления $ρ$ . Однако характер, вообще говоря, не является групповым гомоморфизмом.

Характеристики

Символы — это функции класса , то есть каждый из них принимает постоянное значение в данном классе сопряженности . Точнее, множество неприводимых характеров данной группы $G$ в поле $F$ образует базис F $-векторного$ пространства всех функций класса $G \to F$ .
Изоморфные представления имеют одни и те же символы. Над полем характеристики $0$ два представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же характер. ^[1]
представление является прямой суммой подпредставлений Если , то соответствующий символ является суммой символов этих подпредставлений.
Если характер конечной группы $G$ ограничен подгруппой H $,$ характером $H.$ то результат также является
Каждое значение символа $χ (g)$ представляет собой сумму $корней n$ $m$ -й степени из единицы , где $n$ степень (то есть размерность соответствующего векторного пространства) представления с характером $χ$ , а $m$ — порядок g $—$ . В частности, когда $F = C$ , каждое такое значение символа является целым алгебраическим числом .
Если $F = C$ и $χ$ неприводима, то $[G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}$ является целым алгебраическим числом для всех $x$ в $G$ .
Если $F$ и алгебраически замкнуто char $(F) не$ делит G , $G.$ число неприводимых характеров $G$ равно числу сопряженности классов $порядок$ то Более того, в этом случае степени неприводимых характеров являются делителями порядка $G$ (и они даже делят $[G : Z (G)]$ , если $F = C$ ).

Арифметические свойства

Пусть ρ и σ — представления $G$ . Тогда имеют место следующие тождества:

$\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$
$\chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }$
$\chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}$
$\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]$
$\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]$

где $ρ \oplus σ$ — прямая сумма , $ρ \otimes σ$ — тензорное произведение , $ρ *$ обозначает транспонирование ρ $Alt$ , а $сопряженное 2$ — знакопеременное произведение $Alt 2 ρ = ρ \land ρ$ и $Sym 2$ – симметричный квадрат , который определяется формулой $\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .$

Таблицы символов

Неприводимые комплексные характеры конечной группы образуют таблицу характеров , которая кодирует много полезной информации о группе $G$ в компактной форме. Каждая строка помечена неприводимым представлением, а записи в строке являются символами представления соответствующего класса сопряженности $G$ . Столбцы помечены (представителями) классов сопряженности $G$ . Первую строку принято обозначать характером тривиального представления , которое представляет собой тривиальное действие $G$ на одномерном векторном пространстве посредством $\rho (g)=1$ для всех $g\in G$ . Таким образом, каждая запись в первой строке равна 1. Аналогичным образом принято помечать первый столбец идентификатором. Поэтому в первом столбце указана степень каждого неприводимого характера.

Вот таблица символов

C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,

циклическая группа с тремя элементами и генератором u :

	$(1)$	$(в)$	$(в 2)$
$1$	$1$	$1$	$1$
$х 1$	$1$	$ой$	$ой 2$
$х 2$	$1$	$ой 2$	$ой$

где $ω$ — примитивный корень третьей степени из единицы.

Таблица характеров всегда квадратная, поскольку число неприводимых представлений равно числу классов сопряженности. ^[2]

Отношения ортогональности

Пространство комплекснозначных функций класса конечной группы $G$ имеет естественный скалярный продукт :

\left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}

где $β (g)$ — комплексно-сопряженное число $β (g)$ . По отношению к этому скалярному продукту неприводимые символы образуют ортонормированный базис пространства функций классов, что дает соотношение ортогональности для строк таблицы символов:

\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}

Для $g, h$ в $G$ применение одного и того же внутреннего произведения к столбцам таблицы символов дает:

\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}

где сумма ведется по всем неприводимым характерам $χ i$ группы $G$ и символу $| C грамм (грамм)|$ порядок централизатора g $.$ обозначает Обратите внимание: поскольку $g$ и $h$ сопряжены тогда и только тогда, когда они находятся в одном столбце таблицы символов, это означает, что столбцы таблицы символов ортогональны.

Отношения ортогональности могут помочь во многих вычислениях, включая:

Разложение неизвестного иероглифа как линейной комбинации неприводимых характеров.
Построение полной таблицы символов, когда известны только некоторые из неприводимых символов.
Нахождение порядков централизаторов представителей классов сопряженности группы.
Нахождение порядка группы.

Свойства таблицы символов

Некоторые свойства группы $G$ можно вывести из ее таблицы характеров:

Порядок $G$ определяется суммой квадратов элементов первого столбца (степеней неприводимых характеров). В более общем смысле, сумма квадратов абсолютных значений записей в любом столбце дает порядок централизатора элемента соответствующего класса сопряженности.
Все нормальные подгруппы группы $G$ (и, следовательно, является ли $G$ простой) можно узнать по ее таблице характеров. Ядро , характера $χ$ — это множество элементов $g$ из $G$ для которых $χ (g) = χ (1)$ ; это нормальная подгруппа $G$ . Каждая нормальная подгруппа группы $G$ является пересечением ядер некоторых неприводимых характеров $G.$ группы
Коммутант группы G $G.$ это пересечение ядер линейных характеров $группы$ —
Если $G$ конечен, то, поскольку таблица характеров квадратная и имеет столько же строк, сколько классов сопряженности, отсюда следует, что $G$ абелева тогда и только тогда, когда каждый класс сопряженности является одноэлементным, тогда и только тогда, когда таблица характеров $G$ есть $|G|\!\times \!|G|$ тогда и только тогда, когда каждый неприводимый характер линеен.
Из этого следует, используя некоторые результаты Рихарда Брауэра из модульной теории представлений , что простые делители порядков элементов каждого класса сопряженности конечной группы могут быть выведены из ее таблицы характеров (наблюдение Грэма Хигмана ).

Таблица символов, как правило, не определяет группу с точностью до изоморфизма : например, группа кватернионов $Q$ и группа диэдра из $8$ элементов $D 4$ имеют одну и ту же таблицу символов. Брауэр задался вопросом, определяет ли таблица характеров вместе со знанием того, как распределяются степени элементов ее классов сопряженности, конечную группу с точностью до изоморфизма. В 1964 году на это отрицательно ответил Э. К. Дейд .

Линейные представления $G$ сами по себе являются группой относительно тензорного произведения , поскольку тензорное произведение одномерных векторных пространств снова одномерно. То есть, если $\rho _{1}:G\to V_{1}$ и $\rho _{2}:G\to V_{2}$ являются линейными представлениями, то $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))$ определяет новое линейное представление. Это приводит к возникновению группы линейных символов, называемой группой символов при операции $[\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)$ . Эта группа связана с характерами Дирихле и анализом Фурье .

Индуцированные характеры и взаимность Фробениуса

Предполагается, что символы, обсуждаемые в этом разделе, являются комплексными. Пусть $H$ подгруппа конечной группы $G.$ — Для данного характера $χ$ группы $G$ пусть $χH обозначает$ ограничение на $H.$ его Пусть $θ$ — характер $H$ . Фердинанд Георг Фробениус показал, как построить характер $G$ из $θ$ , используя то, что сейчас известно как взаимность Фробениуса . Поскольку неприводимые характеры группы $G$ образуют ортонормированный базис пространства комплекснозначных функций класса группы $G$ , существует единственная функция класса $θ Г$ G $что$ со свойством,

\langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}

для каждого неприводимого характера $χ$ группы $G$ (самое левое скалярное произведение относится к функциям класса группы $G$ , а самое правое скалярное произведение относится к функциям класса группы $H$ ). Поскольку ограничение характера группы $G$ на подгруппу $H$ снова является характером группы $H$ , это определение проясняет, что $θ Г$ является неотрицательной целочисленной комбинацией неприводимых символов $G$ , поэтому действительно является символом $G$ . Он известен как характер $G,$ индуцированный из $θ$ . Определяющую формулу взаимности Фробениуса можно распространить на общие функции комплексного класса.

Учитывая матричное представление $ρ$ группы $H$ , Фробениус позже дал явный способ построения матричного представления $G$ , известного как представление, индуцированное из $ρ$ , и записываемого аналогично как $ρ Г$ . Это привело к альтернативному описанию индуцированного характера $θ Г$ . Этот индуцированный характер исчезает на всех элементах $G$ , которые не сопряжены ни с одним элементом $H$ . Поскольку индуцированный характер является функцией класса $G$ , только теперь необходимо описать его значения на $H.$ элементах Если написать $G$ как непересекающееся объединение правых классов H $смежных$ , скажем

G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},

тогда, учитывая элемент $h$ из $H$ , мы имеем:

\theta ^{G}(h)=\sum _{i\ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).

Поскольку $θ$ является функцией класса $H$ , это значение не зависит от конкретного выбора представителей смежных классов.

Это альтернативное описание индуцированного символа иногда позволяет выполнять явные вычисления на основе относительно небольшого количества информации о встраивании $H$ в $G$ и часто бывает полезно для вычисления конкретных таблиц символов. Когда $θ$ является тривиальным характером $($ в смежных классах $H , полученный индуцированный характер известен как характер перестановки G$ H $)$ .

Общая техника индукции характера и ее более поздние усовершенствования нашли многочисленные применения в теории конечных групп и в других областях математики в руках таких математиков, как Эмиль Артин , Рихард Брауэр , Уолтер Фейт и Мичио Судзуки , а также сам Фробениус.

Разложение Макки

Разложение Макки было определено и исследовано Джорджем Макки в контексте групп Ли , но оно является мощным инструментом в теории характеров и теории представлений конечных групп. Его основная форма касается того, как характер (или модуль), индуцированный из подгруппы $H$ конечной группы $G,$ ведет себя при ограничении обратно на (возможно, другую) подгруппу $K$ группы $G$ , и использует разложение $G$ на $(H, K)$ -двойные классы.

Если ${\textstyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}$ является непересекающимся объединением, а $θ$ — комплексной функцией класса $H$ , то формула Макки утверждает, что

\left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},

где $θ т$ — функция класса $t -1 Ht$ определяется как $θ т (т -1 ht) знак равно θ (час)$ для всех $час$ в $H$ . Существует аналогичная формула ограничения индуцированного модуля на подгруппу, которая справедлива для представлений над любым кольцом и имеет приложения в самых разных алгебраических и топологических контекстах.

Разложение Макки в сочетании с взаимностью Фробениуса дает хорошо известную и полезную формулу для скалярного произведения двух функций класса $θ$ и $ψ,$ индуцированных соответствующими подгруппами $H$ и $K$ , полезность которой заключается в том, что она зависит только от того, как сопряжены $H$ и $K$ пересекаются друг с другом. Формула (с ее выводом):

{\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}

(где $T$ — полный набор $(H, K)$ -представителей двойного класса, как и раньше). Эта формула часто используется, когда $θ$ и $ψ$ являются линейными символами, и в этом случае все скалярные произведения, входящие в правую сумму, равны либо $1$ , либо $0$ , в зависимости от того, являются ли линейные символы $θ или нет. т$ и $ψ$ имеют одинаковое ограничение на $t -1 Хт \cap К$ . Если $θ$ и $ψ$ являются тривиальными символами, то скалярное произведение упрощается до $| Т |$ .

«Извращенное» измерение

Характер представления можно интерпретировать как «искривленное» измерение векторного пространства . ^[3] Если рассматривать характер как функцию элементов группы $χ (g)$ , то его значение в единице является размерностью пространства, поскольку $χ (1) = Tr(ρ (1)) = Tr(I V) = dim (В)$ . Соответственно, остальные значения символа можно рассматривать как «искаженные» измерения. ^{[ нужны разъяснения ]}

Можно найти аналоги или обобщения утверждений о измерениях утверждениям о характерах или представлениях. Сложный пример этого встречается в теории чудовищного самогона : $j$ -инвариант представляет собой градуированную размерность бесконечномерного градуированного представления группы Монстров , а замена размерности характером дает ряд Маккея-Томпсона для каждого элемента Группа «Монстр». ^[3]

Характеры групп Ли и алгебр Ли

Если $G$ является группой Ли и $\rho$ конечномерное представление $G$ , персонаж $\chi _{\rho }$ из $\rho$ определяется точно так же, как для любой группы, как

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

.

Между тем, если ${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли и $\rho$ конечномерное представление ${\mathfrak {g}}$ , мы можем определить характер $\chi _{\rho }$ к

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

.

Персонаж удовлетворит $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ для всех $g$ в связанной группе Ли $G$ и все $X\in {\mathfrak {g}}$ . Если у нас есть представление группы Ли и связанное с ним представление алгебры Ли, характер $\chi _{\rho }$ представления алгебры Ли связана с характером $\mathrm {X} _{\rho }$ представления группы по формуле

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

.

Предположим теперь, что ${\mathfrak {g}}$ — комплексная полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана ${\mathfrak {h}}$ . Ценность персонажа $\chi _{\rho }$ неприводимого представления $\rho$ из ${\mathfrak {g}}$ определяется его значениями на ${\mathfrak {h}}$ . Ограничение персонажа ${\mathfrak {h}}$ можно легко вычислить в терминах весовых пространств следующим образом:

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

,

где сумма по всем весам $\lambda$ из $\rho$ и где $m_{\lambda }$ это множественность $\lambda$ . ^[4]

(ограничение на ${\mathfrak {h}}$ характера) можно более явно вычислить по формуле характера Вейля.

См. также

Неприводимое представление § Приложения в теоретической физике и химии
Схемы ассоциаций — комбинаторное обобщение теории групповых характеров.
Теория Клиффорда , введенная А. Х. Клиффордом , дает информацию об ограничении комплексного неприводимого характера конечной группы $G$ до нормальной подгруппы $N.$ в 1937 году
Формула Фробениуса
Вещественный элемент , элемент группы g такой, что χ ( g ) является действительным числом для всех символов χ.

Ссылки

^ Николя Бурбаки, Алгебра , Springer-Verlag, 2012, гл. 8, с392
^ Теплица, §2.5
^ Jump up to: ^а ^б ( Гэннон 2006 )
^ Зал 2015 г., Предложение 10.12.

Лекция 2 из Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 . онлайн
Ганнон, Терри (2006). Самогон за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику . ISBN 978-0-521-83531-2 .
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Айзекс, ИМ (1994). Теория характеров конечных групп (исправленная перепечатка оригинала 1976 года, опубликованная Academic Press. под ред.). Дувр. ISBN 978-0-486-68014-9 .
Джеймс, Гордон; Либек, Мартин (2001). Представления и характеры групп (2-е изд.) . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-00392-6 .
Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Тексты для аспирантов по математике. Том. 42. Перевод второго французского издания Леонарда Л. Скотта. Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4684-9458-7 . ISBN 978-0-387-90190-9 . МР 0450380 .

Внешние ссылки

Персонаж в PlanetMath .

[1] Николя Бурбаки, Алгебра , Springer-Verlag, 2012, гл. 8, с392

[2] Теплица, §2.5

[Gannon-3] Jump up to: ^а ^б ( Гэннон 2006 )

[4] Зал 2015 г., Предложение 10.12.

[1]

[2]

[3]

[4]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	БЫСТРЫЙ
Национальный	Франция Данные БНФ Германия Израиль Соединенные Штаты
Другой	ИдРеф