Алгебраический характер

Алгебраический характер — формальное выражение, присоединенное к модулю в теории представлений полупростых алгебр Ли , которое обобщает характер конечномерного представления и аналогично характеру Хариш-Чандры представлений полупростых групп Ли .

Определение

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли с фиксированной подалгеброй Картана ${\mathfrak {h}},$ и пусть абелева группа $A=\mathbb {Z} [[{\mathfrak {h}}^{*}]]$ состоят из (возможно, бесконечных) формальных целочисленных линейных комбинаций $e^{\mu }$ , где $\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}$ , (комплексное) векторное пространство весов. Предположим, что $V$ — локально конечный весовой модуль . Тогда алгебраический характер $V$ является элементом $A$ определяется формулой:

ch(V)=\sum _{\mu }\dim V_{\mu }e^{\mu },

где сумма берется по всем весовым пространствам модуля $V.$

Пример

Алгебраический характер модуля Верма $M_{\lambda }$ с наибольшим весом $\lambda$ определяется формулой

ch(M_{\lambda })={\frac {e^{\lambda }}{\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}},

при этом произведение принимает множество положительных корней.

Характеристики

Алгебраические характеры определены для локально-конечных весовых модулей и аддитивны , т. е. характер прямой суммы модулей есть сумма их характеров. С другой стороны, хотя умножение формальных показателей можно определить по формуле $e^{\mu }\cdot e^{\nu }=e^{\mu +\nu }$ и распространить его на их конечные линейные комбинации по линейности, это не делает $A$ в кольцо из-за возможности формальных бесконечных сумм. Таким образом, произведение алгебраических характеров корректно определено только в ограниченных ситуациях; например, для случая модуля с наибольшим весом или конечномерного модуля. В хороших ситуациях алгебраический характер является мультипликативным , т. е. характер тензорного произведения двух весовых модулей является произведением их характеров.

Обобщение

Характеры также могут быть определены почти дословно для весовых модулей над алгеброй Каца–Муди или обобщенной алгеброй Ли Каца–Муди.

См. также

Ссылки

Вейль, Герман (1946). Классические группы: их инварианты и представления . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-05756-7 . Проверено 26 марта 2007 г.
Кац, Виктор Г (1990). Бесконечномерные алгебры Ли . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46693-8 . Проверено 26 марта 2007 г.
Уоллах, Нолан Р.; Гудман, Роу (1998). Представления и инварианты классических групп . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66348-2 . Проверено 26 марта 2007 г.