Представление дискретного ряда

В математике представление дискретной серии — это неприводимое унитарное представление локально компактной топологической группы G , которое является подпредставлением левого регулярного представления группы G на L²( G ). В мере Планшереля такие представления имеют положительную меру. Название происходит от того факта, что это именно те представления, которые возникают дискретно при разложении регулярного представления.

Характеристики

Если G унимодулярна матричный , неприводимое унитарное представление ρ группы G находится в дискретной серии тогда и только тогда, когда один (а значит, и все) коэффициент

$\langle \rho (g)\cdot v,w\rangle \,$

с v , w ненулевыми векторами интегрируемо с квадратом на G относительно меры Хаара .

Когда G унимодулярна, представление дискретной серии имеет формальную размерность d со свойством, что

$d\int \langle \rho (g)\cdot v,w\rangle {\overline {\langle \rho (g)\cdot x,y\rangle }}dg=\langle v,x\rangle {\overline {\langle w,y\rangle }}$

для v , w , x , y в представлении. Когда G компактна, это совпадает с размерностью, когда мера Хаара на G нормирована так, что G имеет меру 1.

Полупростые группы

Хариш-Чандра ( 1965 , 1966 ) классифицировал представления дискретной серии связных полупростых G. групп В частности, такая группа имеет представления дискретной серии тогда и только тогда, когда она имеет тот же ранг, что и максимальная компактная подгруппа K . Другими словами, максимальный тор T в K должен быть подгруппой Картана в G . (Этот результат требовал, чтобы центр группы G был конечным, что исключало такие группы, как односвязное покрытие SL(2, R ).) Это применимо, в частности, к специальным линейным группам ; из них только SL(2, R ) имеет дискретную серию (см. теорию представлений SL(2, R ) ).

Классификация Хариш-Чандрой представлений дискретной серии полупростой связной группы Ли сводится к следующему. Если L — решетка весов максимального тора T подрешетка, , его где t — алгебра Ли T , то существует представление дискретной серии для каждого вектора v из

Л + р,

где ρ — вектор Вейля группы G , который не ортогонален ни одному корню G. группы Таким образом происходит любое представление дискретной серии. Два таких вектора v соответствуют одному и тому же представлению дискретной серии тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно группы Вейля W _K максимальной компактной подгруппы K . Если мы зафиксируем фундаментальную камеру для группы Вейля K , то представление дискретной серии будет находиться в соответствии 1:1 с векторами L + ρ в этой камере Вейля, которые не ортогональны ни одному корню группы G . Инфинитезимальный характер представления с высшим весом задается v (модуль группы Вейля WG _G группы отождествляющим ) в соответствии с соответствием Хариш-Чандры, бесконечно малые характеры группы G с точками

т ⊗ C / W _г .

Таким образом, для каждого представления дискретной серии существует ровно

| В _Г |/| В _К |

представления дискретных серий с одинаковым бесконечно малым характером.

Хариш-Чандра продолжил доказательство аналога для этих представлений формулы характера Вейля . В случае, когда G не компактна, представления имеют бесконечную размерность, и поэтому понятие характера определить сложнее, поскольку это распределение Шварца (представленное локально интегрируемой функцией) с особенностями.

Характер задается на максимальном торе T формулой

$(-1)^{\frac {\dim(G)-\dim(K)}{2}}{\sum _{w\in W_{K}}\det(w)e^{w(v)} \over \prod _{(v,\alpha )>0}\left(e^{\frac {\alpha }{2}}-e^{-{\frac {\alpha }{2}}}\right)}$

Когда G компактен, это сводится к формуле характера Вейля, где v = λ + ρ для λ — наивысшего веса неприводимого представления (где произведение находится по корням α, имеющим положительный скалярный продукт с вектором v ).

Теорема о регулярности Хариш-Чандры подразумевает, что характер представления дискретной серии является локально интегрируемой функцией на группе.

Предел представлений дискретных серий

Точки v в смежном классе L + ρ, ортогональные корням G , не соответствуют представлениям дискретной серии, но те, которые не ортогональны корням группы K, связаны с некоторыми неприводимыми представлениями, называемыми пределом представлений дискретной серии . Существует такое представление для каждой пары ( v , C ), где v — вектор из L + ρ, ортогональный некоторому корню из G , но не ортогональный любому корню из K, соответствующему стенке C , а C — камера Вейля из G, содержащий v . (В случае представлений дискретной серии существует только одна камера Вейля, содержащая v , поэтому нет необходимости включать ее явно.) Две пары ( v , C ) дают один и тот же предел представления дискретной серии тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно группа К. Вейля Так же, как и для представлений дискретных серий, v придает бесконечно малый характер. Есть не более | В _Г |/| В _К | предел представлений дискретных серий с любым заданным бесконечно малым характером.

Пределом представлений дискретных серий являются умеренные представления , что, грубо говоря, означает, что они просто не могут быть представлениями дискретных серий.

Конструкции дискретного ряда

Первоначальная конструкция дискретного ряда Хариш-Чандры не была очень явной. Позже несколько авторов нашли более явные реализации дискретного ряда.

• Нарасимхан и Окамото (1970) построили большинство представлений дискретной серии в случае, когда симметрическое пространство G эрмитово.
• Партасарати (1972) построил множество представлений дискретной серии для произвольного G .
• Ленглендс (1966) выдвинул гипотезу, а Шмид (1976) доказал геометрический аналог теоремы Бореля–Ботта–Вейля для дискретных рядов, используя L ² когомологии вместо когомологий когерентного пучка, используемых в компактном случае.
• Применяя теорему об индексе , Атья и Шмид (1977) построили все представления дискретных серий в пространствах гармонических спиноров . В отличие от большинства предыдущих конструкций представлений, работа Атьи и Шмида не использовала в своих доказательствах результаты существования Хариш-Чандры.
• Представления дискретных серий также могут быть построены когомологической параболической индукцией с использованием функторов Цукермана .

См. также

• Гипотеза Блаттнера
• Представление голоморфной дискретной серии
• Представление кватернионной дискретной серии

Ссылки

• Атья, Майкл ; Шмид, Вильфрид (1977), «Геометрическое построение дискретного ряда для полупростых групп Ли», Inventiones Mathematicae , 42 : 1–62, doi : 10.1007/BF01389783 , ISSN   0020-9910 , MR   0463358 , S2CID   55559836
• Баргманн, В. (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца», Annals of Mathematics , Second Series, 48 ​​(3): 568–640, doi : 10.2307/1969129 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969129 , MR   0021942
• Хариш-Чандра (1965), «Дискретные ряды для полупростых групп Ли. I. Построение инвариантных собственных распределений», Acta Mathematica , 113 : 241–318, doi : 10.1007/BF02391779 , ISSN   0001-5962 , 0219665
• Хариш-Чандра (1966), «Дискретный ряд для полупростых групп Ли. II. Явное определение символов» , Acta Mathematica , 116 : 1–111, doi : 10.1007/BF02392813 , ISSN   0001-5962 , MR   0219666 , S2CID   12580638 6
• Ленглендс, Р.П. (1966), «Размерность пространств автоморфных форм» , Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 253– 257, МР   0212135
• Нарасимхан, MS; Окамото, Кийосато (1970), «Аналог теоремы Бореля-Вейля-Ботта для эрмитовых симметричных пар некомпактного типа», Annals of Mathematics , Second Series, 91 (3): 486–511, doi : 10.2307/1970635 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970635 , MR   0274657
• Партасарати, Р. (1972), «Оператор Дирака и дискретный ряд», Annals of Mathematics , Second Series, 96 (1): 1–30, doi : 10.2307/1970892 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970892 , MR   0318398
• Шмид, Уилфрид (1976), «L²-когомологии и дискретные ряды», Annals of Mathematics , Second Series, 103 (2): 375–394, doi : 10.2307/1970944 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970944 , MR   0396856
• Шмид, Уилфрид (1997), «Дискретный ряд», в Бейли, Теннесси; Кнапп, Энтони В. (ред.), Теория представлений и автоморфные формы (Эдинбург, 1996) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 61, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 83–113, doi : 10.1090/pspum/061/1476494 , ISBN  978-0-8218-0609-8 , МР   1476494
• А.И. Штерн (2001) [1994], «Дискретный ряд (представлений)» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Гаррет, Пол (2004), Некоторые факты о дискретных рядах (голоморфных, кватернионных) (PDF)