Теория представлений SL 2 ( R )

В математике основные результаты о неприводимых унитарных представлениях группы Ли SL(2, R ) принадлежат Гельфанду и Наймарку (1946), В. Баргману (1947) и Хариш-Чандре (1952).

Структура комплексифицированной алгебры Ли

Мы выбираем базис H , X , Y для комплексификации алгебры Ли группы SL(2, R ) так, чтобы iH порождала алгебру Ли компактной подгруппы Картана K (поэтому, в частности, унитарные представления расщепляются как сумма собственных пространств H ), а { H , X , Y } — sl ₂ -тройка , что означает, что они удовлетворяют соотношениям

$[H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H.$

Один из способов сделать это заключается в следующем:

$H={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ соответствующую подгруппе K матриц ${\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}$

$X={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&i\\i&-1\end{pmatrix}}$

$Y={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-i\\-i&-1\end{pmatrix}}$

Оператор Казимира Ω определяется как

$\Omega =H^{2}+1+2XY+2YX.$

Он порождает центр универсальной обертывающей алгебры комплексифицированной алгебры Ли группы SL(2, R ). Элемент Казимира действует на любое неприводимое представление как умножение на некоторый комплексный скаляр µ ² . Таким образом, в случае алгебры Ли sl ₂ бесконечно малый характер неприводимого представления задается одним комплексным числом.

Центр Z группы SL(2, R ) представляет собой циклическую группу { I , −I } порядка 2, состоящую из единичной матрицы и ее отрицательной. На любом неприводимом представлении центр действует либо тривиально, либо нетривиальным характером Z , который представляет матрицу -I путем умножения на -1 в пространстве представления. Соответственно говорят о тривиальном или нетривиальном центральном характере .

Центральный характер и бесконечно малый характер неприводимого представления любой редуктивной группы Ли являются важными инвариантами представления. В случае неприводимых допустимых представлений группы SL(2, R ) оказывается, что в общем случае существует ровно одно представление с точностью до изоморфизма с указанными центральным и инфинитезимальным характерами. В исключительных случаях имеется два или три представления с заданными параметрами, все из которых определены.

Конечномерные представления

Для каждого неотрицательного целого числа n группа SL(2, R ) имеет неприводимое представление размерности n + 1, единственное с точностью до изоморфизма. Это представление можно построить в пространстве однородных многочленов степени n от двух переменных. Случай n = 0 соответствует тривиальному представлению . Неприводимое конечномерное представление некомпактной простой группы Ли размерности больше 1 никогда не является унитарным. Таким образом, эта конструкция дает только одно унитарное представление SL(2, R ), тривиальное представление.

Конечномерная , ее компактной формы, по существу потому , теория представлений некомпактной группы SL(2, R ) эквивалентна теории представлений SU(2) что их алгебры Ли имеют одинаковую комплексификацию и они «алгебраически односвязны». (Точнее, группа SU(2) односвязна и, хотя SL(2, R ) ею не является, не имеет нетривиальных алгебраических центральных расширений.) Однако в общем бесконечномерном случае не существует близкого соответствие между представлениями группы и представлениями ее алгебры Ли. Фактически, из теоремы Петера–Вейля следует , что все неприводимые представления компактной группы Ли SU(2) конечномерны и унитарны. Совершенно иная ситуация с SL(2, R ): она обладает бесконечномерными неприводимыми представлениями, часть из которых унитарна, а часть нет.

Представления основных серий

Основным методом построения представлений редуктивной группы Ли является метод параболической индукции . В случае группы SL(2, R ) существует с точностью до сопряженности только одна собственная параболическая подгруппа — борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц определителя 1. Индуцирующим параметром индуцированного представления главной серии является (возможно, неунитарный) характер мультипликативной группы действительных чисел, который задается выбором ε = ± 1 и комплексного числа µ. Соответствующее представление главной серии обозначается I _ε,μ . Оказывается, ε — центральный характер индуцированного представления, а комплексное число µ можно отождествить с инфинитезимальным характером посредством изоморфизма Хариш-Чандры .

Представление основной серии I _ε,μ (точнее, его модуль Хариш-Чандры из K -конечных элементов) допускает базис, состоящий из элементов w _j , где индекс j проходит через четные целые числа, если ε = 1, и нечетные целые числа, если ε=-1. Действие X , Y и H задается формулами

$H(w_{j})=jw_{j}$

$X(w_{j})={\mu +j+1 \over 2}w_{j+2}$

$Y(w_{j})={\mu -j+1 \over 2}w_{j-2}$

Допустимые представления

Используя тот факт, что он является собственным вектором оператора Казимира и имеет собственный вектор для H , легко следует, что любое неприводимое допустимое представление является подпредставлением параболически индуцированного представления. (Это также верно для более общих редуктивных групп Ли и известно как теорема Кассельмана о субпредставлениях .) Таким образом, неприводимые допустимые представления SL(2, R ) могут быть найдены путем разложения представлений главной серии I _ε,μ на неприводимые компоненты и определения изоморфизмы. Подытожим разложения следующим образом:

• I _ε,μ приводим тогда и только тогда, когда µ — целое число и ε=−(−1) ^м . Если I _ε,μ неприводим, то он изоморфен I _ε,−μ .
• I _{−1, 0} распадается как прямая сумма I _ε,0 = D ₊₀ + D ₋₀ двух неприводимых представлений, называемая пределом представлений дискретной серии. D ₊₀ имеет базис w _j для j ≥1, а D ₋₀ имеет базис w _j для j ≤−1,
• Если I _ε,μ приводимо с µ>0 (поэтому ε=−(−1) ^м ) то оно имеет единственное неприводимое частное, имеющее конечную размерность µ, а ядро ​​представляет собой сумму двух представлений дискретной серии D _{+ µ} + D _{− µ} . Представление D _µ имеет базис w _{µ+ j} для j ≥ 1, а представление D _{− µ} имеет базис w _{− µ− j} для j ⩽ −1.
• Если I _ε,μ приводимо с µ<0 (поэтому ε=−(−1) ^м ) то оно имеет единственное неприводимое подпредставление, имеющее конечную размерность -μ, а фактор представляет собой сумму двух представлений дискретной серии D _+μ + D _−μ .

Это дает следующий список неприводимых допустимых представлений:

• Конечномерное представление размерности µ для каждого натурального числа µ с центральным символом −(−1). ^м .
• Два предела представлений дискретных серий D ₊₀ , D ₋₀ с µ=0 и нетривиальным центральным характером.
• Представления дискретной серии D _µ для µ - ненулевого целого числа с центральным символом −(−1) ^м .
• Два семейства неприводимых представлений главной серии I _ε,μ для ε≠−(−1) ^м (где I _ε,μ изоморфно I _ε,−μ ).

Связь с классификацией Ленглендса

Согласно классификации Ленглендса , неприводимые допустимые представления параметризуются некоторыми умеренными представлениями подгрупп Леви M параболических подгрупп P = MAN . Это работает следующим образом:

• Дискретная серия, предел дискретной серии и представления I _ε,μ унитарной главной серии с мнимым µ уже умерены, поэтому в этих случаях параболическая подгруппа P сама является SL(2, R ).
• Конечномерные представления и представления I _ε,μ для ℜμ>0, µ не целое число или ε≠−(−1) ^м являются неприводимыми факторами представлений главной серии I _ε,μ для ℜμ>0, которые индуцированы умеренными представлениями параболической подгруппы P = MAN верхнетреугольных матриц, где A — положительные диагональные матрицы, а M — центр порядка 2. Для µ положительное целое число и ε=−(−1) ^м представление главной серии имеет конечномерное представление в качестве неприводимого фактора, а в противном случае оно уже неприводимо.

Унитарные представления

Неприводимые унитарные представления можно найти, проверив, какие из неприводимых допустимых представлений допускают инвариантную положительно определенную эрмитову форму. В результате получается следующий список унитарных представлений SL(2, R ):

• Тривиальное представление (единственное конечномерное представление в этом списке).
• Два предела представлений дискретных серий D _{+ 0} , D _{− 0} .
• D Представления дискретной серии k _, индексированные ненулевыми целыми числами k . Они все различны.
• Два семейства неприводимых представлений главной серии , состоящие из сферической главной серии I _{+, i µ,} индексированной действительными числами µ, и несферической унитарной главной серии I _{−, i µ,} индексированной ненулевыми действительными числами µ. Представление с параметром µ изоморфно представлению с параметром −µ, и между ними нет дальнейших изоморфизмов.
• I Представления дополнительной серии + _,μ при 0<|μ|<1. Представление с параметром µ изоморфно представлению с параметром −µ, и между ними нет дальнейших изоморфизмов.

Из них два предела представлений дискретных серий, представления дискретных серий и два семейства представлений основных серий являются умеренными , в то время как тривиальные и дополнительные представления серий не смягчаются.

Ссылки

• Баргманн, В. (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца», Annals of Mathematics , Second Series, 48 ​​(3): 568–640, doi : 10.2307/1969129 , JSTOR   1969129 , MR   0021942
• Гельфанд И.; Ноймарк, М. (1946), «Унитарные представления группы Лоренца», акад. наук. СССР. Дж. Физ. , 10 : 93–94, МР   0017282 .
• Хариш-Чандра (1952), «Формула Планшереля для вещественной унимодулярной группы 2 × 2», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 38 (4): 337–342, doi : 10.1073/pnas.38.4 .337 , JSTOR   88737 , MR   0047055 , PMC   1063558 , PMID   16589101 .
• Хау, Роджер; Тан, Энг-Чай (1992), Неабелев гармонический анализ: Применение SL (2, R ) , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4613-9200-2 , ISBN  0-387-97768-6 , МР   1151617 .
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах (перепечатка оригинала 1986 года) , Принстонские ориентиры в математике, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  0-691-09089-0 , МР   1880691 .
• Кунце, РА ; Штейн, Э.М. (1960), «Равномерно ограниченные представления и гармонический анализ вещественной унимодулярной группы 2 × 2», American Journal of Mathematics , 82 : 1–62, doi : 10.2307/2372876 , JSTOR   2372876 , MR   0163988 .
• Воган, Дэвид А. младший (1981), Представления реальных редуктивных групп Ли , Progress in Mathematics, vol. 15, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, ISBN  3-7643-3037-6 0632407 МР   .
• Уоллах, Нолан Р. (1988), Реальные редуктивные группы. Я , Чистая и прикладная математика, вып. 132, Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., стр. 132. хх+412 , ISBN  0-12-732960-9 , МР   0929683 .

См. также

• Спин (физика)
• Теория представлений SU(2)
• Группа вращений SO(3)#Заметка об алгебре Ли