Тензорное произведение представлений

В математике тензорное произведение представлений — это тензорное произведение векторных пространств, лежащих в основе представлений, вместе с факторным групповым действием на произведение. Эту конструкцию вместе с процедурой Клебша–Гордана можно использовать для генерации дополнительных неприводимых представлений, если некоторые из них уже известны.

Определение

Представления группы

Если $V_{1},V_{2}$ являются линейными представлениями группы $G$ , то их тензорное произведение есть тензорное произведение векторных пространств $V_{1}\otimes V_{2}$ с линейным действием $G$ однозначно определяется условием, что

g\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(g\cdot v_{1})\otimes (g\cdot v_{2})

^[1]^[2]

для всех $v_{1}\in V_{1}$ и $v_{2}\in V_{2}$ . Хотя не каждый элемент $V_{1}\otimes V_{2}$ выражается в виде $v_{1}\otimes v_{2}$ универсальное свойство тензорного произведения гарантирует корректность этого действия.

На языке гомоморфизмов , если действия $G$ на $V_{1}$ и $V_{2}$ задаются гомоморфизмами $\Pi _{1}:G\to \operatorname {GL} (V_{1})$ и $\Pi _{2}:G\to \operatorname {GL} (V_{2})$ , то представление тензорного произведения задается гомоморфизмом $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\to \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ данный

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

,

где $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ — тензорное произведение линейных карт . ^[3]

Понятие тензорных произведений можно распространить на любое конечное число представлений. Если V — линейное представление группы G , то при указанном выше линейном действии тензорная алгебра $T(V)$ является алгебраическим представлением группы G ; т. е. каждый элемент G действует как автоморфизм алгебры .

Представления алгебры Ли

Если $(V_{1},\pi _{1})$ и $(V_{2},\pi _{2})$ являются представлениями алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ , то тензорное произведение этих представлений есть отображение $\pi _{1}\otimes \pi _{2}:{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V_{1}\otimes V_{2})$ данный ^[4]

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

,

где $I$ является тождественным эндоморфизмом . Это называется суммой Кронекера, определенной в разделе «Сложение матрицы#Сумма Кронекера» и «Произведение Кронекера#Свойства» .Мотивация использования суммы Кронекера в этом определении исходит из случая, когда $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ исходить из представлений $\Pi _{1}$ и $\Pi _{2}$ Ли группы $G$ . В этом случае простое вычисление показывает, что представление алгебры Ли, связанное с $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}$ определяется предыдущей формулой. ^[5]

Квантовые группы

Для квантовых групп копроизведение больше не является кокоммутативным. В результате естественная карта перестановок $V\otimes W\rightarrow W\otimes V$ больше не является изоморфизмом модулей . Однако карта перестановок остается изоморфизмом векторных пространств.

Действия на линейных картах

Если $(V_{1},\Pi _{1})$ и $(V_{2},\Pi _{2})$ являются представителями группы $G$ , позволять $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ обозначим пространство всех линейных отображений из $V_{1}$ к $V_{2}$ . Затем $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ можно задать структуру представления, определив

g\cdot A=\Pi _{2}(g)A\Pi _{1}(g)^{-1}

для всех $A\in \operatorname {Hom} (V,W)$ . Теперь существует естественный изоморфизм

\operatorname {Hom} (V,W)\cong V^{*}\otimes W

как векторные пространства; ^[2] векторного пространства этот изоморфизм на самом деле является изоморфизмом представлений. ^[6]

Тривиальное подпредставление $\operatorname {Hom} (V,W)^{G}$ состоит из G -линейных отображений ; то есть,

\operatorname {Hom} _{G}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{G}.

Позволять $E=\operatorname {End} (V)$ обозначим алгебру эндоморфизмов V и пусть A обозначает подалгебру $E^{\otimes m}$ состоящее из симметричных тензоров. Основная теорема теории инвариантов утверждает, что A является полупростым , когда характеристика основного поля равна нулю.

Теория Клебша – Гордана

Общая проблема

Тензорное произведение двух неприводимых представлений $V_{1},V_{2}$ группы или алгебры Ли обычно не является неприводимой. Поэтому представляет интерес попытаться разложить $V_{1}\otimes V_{2}$ на несократимые куски. Эта проблема разложения известна как проблема Клебша – Гордана.

Случай SU(2)

Прототипическим примером этой проблемы является случай группы вращений SO(3) — или ее двойного покрытия, специальной унитарной группы SU(2) . Неприводимые представления SU(2) описываются параметром $\ell$ , возможные значения которого равны

\ell =0,1/2,1,3/2,\ldots .

(Тогда размерность представления равна $2\ell +1$ .) Возьмем два параметра $\ell$ и $m$ с $\ell \geq m$ . Тогда представление тензорного произведения $V_{\ell }\otimes V_{m}$ затем разлагается следующим образом: ^[7]

V_{\ell }\otimes V_{m}\cong V_{\ell +m}\oplus V_{\ell +m-1}\oplus \cdots \oplus V_{\ell -m+1}\oplus V_{\ell -m}.

Рассмотрим в качестве примера тензорное произведение четырехмерного представления $V_{3/2}$ и трехмерное представление $V_{1}$ . Представление тензорного произведения $V_{3/2}\otimes V_{1}$ имеет размерность 12 и разлагается как

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

,

где представления в правой части имеют размерность 6, 4 и 2 соответственно. Мы можем суммировать этот результат арифметически как $4\times 3=6+4+2$ .

Случай SU(3)

В случае группы SU(3) все неприводимые представления могут быть порождены из стандартного трехмерного представления и его двойственного представления следующим образом. Чтобы создать представление с меткой $(m_{1},m_{2})$ , берется тензорное произведение $m_{1}$ копии стандартного представления и $m_{2}$ копии двойственного стандартного представления, а затем берет инвариантное подпространство, порожденное тензорным произведением векторов старшего веса. ^[8]

В отличие от ситуации для SU(2), в разложении Клебша–Гордана для SU(3) заданное неприводимое представление $W$ может возникать более одного раза при разложении $U\otimes V$ .

Тензорная мощность

Как и в случае с векторными пространствами, можно определить k ^й тензорная степень представления V как векторное пространство $V^{\otimes k}$ с действием, указанным выше.

Симметричный и чередующийся квадрат

В поле нулевой характеристики симметричные и чередующиеся квадраты являются подпредставлениями второй тензорной степени. Их можно использовать для определения индикатора Фробениуса-Шура ли данный неприводимый характер , который указывает, является вещественным , комплексным или кватернионным . Они являются примерами функторов Шура .Они определяются следующим образом.

Пусть V — векторное пространство. эндоморфизм T Определим $V\otimes V$ следующее:

{\begin{aligned}T:V\otimes V&\longrightarrow V\otimes V\\v\otimes w&\longmapsto w\otimes v.\end{aligned}}

^[9]

Это инволюция ), а также автоморфизм (обратная к себе $V\otimes V$ .

Определите два подмножества второй тензорной степени V ,

{\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{2}(V)&:=\{v\in V\otimes V\mid T(v)=v\}\\\operatorname {Alt} ^{2}(V)&:=\{v\in V\otimes V\mid T(v)=-v\}\end{aligned}}

Это симметричный квадрат V , $V\odot V$ , и знакопеременный квадрат V , $V\wedge V$ , соответственно. ^[10] Симметричные и чередующиеся квадраты также известны как симметричная часть и антисимметричная часть тензорного произведения. ^[11]

Характеристики

Вторая тензорная степень линейного представления V группы G разлагается как прямая сумма симметричных и знакопеременных квадратов:

V^{\otimes 2}=V\otimes V\cong \operatorname {Sym} ^{2}(V)\oplus \operatorname {Alt} ^{2}(V)

как представления. В частности, оба являются подпредставлениями второй тензорной степени. На языке модулей над групповым кольцом симметричные и чередующиеся квадраты имеют вид $\mathbb {C} [G]$ - субмодули $V\otimes V$ . ^[12]

Если V имеет основу $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ , то симметричный квадрат имеет базис $\{v_{i}\otimes v_{j}+v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i\leq j\leq n\}$ и знакопеременный квадрат имеет основу $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ . Соответственно,

{\begin{aligned}\dim \operatorname {Sym} ^{2}(V)&={\frac {\dim V(\dim V+1)}{2}},\\\dim \operatorname {Alt} ^{2}(V)&={\frac {\dim V(\dim V-1)}{2}}.\end{aligned}}

^[13]^[10]

Позволять $\chi :G\to \mathbb {C}$ быть персонажем $V$ . Тогда мы можем вычислить характеры симметричных и знакопеременных квадратов следующим образом: для всех g в G ,

{\begin{aligned}\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}(g)&={\frac {1}{2}}(\chi (g)^{2}+\chi (g^{2})),\\\chi _{\operatorname {Alt} ^{2}(V)}(g)&={\frac {1}{2}}(\chi (g)^{2}-\chi (g^{2})).\end{aligned}}

^[14]

Симметричные и внешние степени.

Как и в полилинейной алгебре , над полем нулевой характеристики можно в более общем смысле определить k ^й симметричная власть $\operatorname {Sym} ^{n}(V)$ и к ^й внешняя сила $\Lambda ^{n}(V)$ , которые подпространствами k являются ^й тензорная мощность (подробнее об этой конструкции см. на этих страницах). Они также являются подпредставлениями, но высшие тензорные степени больше не разлагаются как их прямая сумма.

Двойственность Шура – Вейля вычисляет неприводимые представления, встречающиеся в тензорных степенях представлений общей линейной группы. $G=\operatorname {GL} (V)$ . Именно, как $S_{n}\times G$ -модуль

V^{\otimes n}\simeq \bigoplus _{\lambda }M_{\lambda }\otimes S^{\lambda }(V)

где

$M_{\lambda }$ является неприводимым представлением симметрической группы $\mathrm {S} _{n}$ соответствующий разделу $\lambda$ n ( в порядке убывания),
$S^{\lambda }(V)$ это образ симметризатора Янга $c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}$ .

Отображение $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ является функтором, называемым функтором Шура . Он обобщает конструкции симметричных и внешних степеней:

S^{(n)}(V)=\operatorname {Sym} ^{n}V,\,\,S^{(1,1,\dots ,1)}(V)=\wedge ^{n}V.

В частности, для G -модуля вышеизложенное упрощается до

V^{\otimes n}\simeq \bigoplus _{\lambda }S^{\lambda }(V)^{\oplus m_{\lambda }}

где $m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }$ . Более того, множественность $m_{\lambda }$ может быть рассчитана по формуле Фробениуса (или формуле длины крючка ). Например, возьмите $n=3$ . Тогда есть ровно три раздела: $3=3=2+1=1+1+1$ и, как оказалось, $m_{(3)}=m_{(1,1,1)}=1,\,m_{(2,1)}=2$ . Следовательно,

V^{\otimes 3}\simeq \operatorname {Sym} ^{3}V\bigoplus \wedge ^{3}V\bigoplus S^{(2,1)}(V)^{\oplus 2}.

Тензорные произведения с участием функторов Шура

Позволять $S^{\lambda }$ обозначим функтор Шура , определенный согласно разбиению $\lambda$ . Тогда происходит следующее разложение: ^[15]

S^{\lambda }V\otimes S^{\mu }V\simeq \bigoplus _{\nu }(S^{\nu }V)^{\oplus N_{\lambda \mu \nu }}

где кратности $N_{\lambda \mu \nu }$ определяются по правилу Литтлвуда-Ричардсона .

Для конечномерных векторных пространств V , W функторы Шура S ^л дать разложение

\operatorname {Sym} (W^{*}\otimes V)\simeq \bigoplus _{\lambda }S^{\lambda }(W^{*})\otimes S^{\lambda }(V)

Левую часть можно отождествить с кольцом полиномиальных функций на Hom( V , W ), k [Hom( V , W )] = k [ V ^* ⊗ W ], и поэтому приведенное выше также дает разложение k [Hom( V , W )].

Представления тензорных продуктов как представления групп продуктов

Пусть G , H — две группы и пусть $(\pi ,V)$ и $(\rho ,W)$ являются представлениями G и H соответственно. Тогда мы можем позволить прямой группе продуктов $G\times H$ действовать в пространстве тензорных произведений $V\otimes W$ по формуле

(g,h)\cdot (v\otimes w)=\pi (g)v\otimes \rho (h)w.

Даже если $G=H$ , мы все еще можем выполнить эту конструкцию, так что тензорное произведение двух представлений $G$ альтернативно, можно рассматривать как представление $G\times G$ а не представление $G$ . Поэтому важно выяснить, является ли тензорное произведение двух представлений $G$ рассматривается как представление $G$ или как представление $G\times G$ .

В отличие от обсуждавшейся выше проблемы Клебша–Гордана, тензорное произведение двух неприводимых представлений $G$ является нередуцируемым, если рассматривать его как представление группы продуктов $G\times G$ .

См. также

Примечания

^ Теплица 1977 , с. 8.
^ Jump up to: ^а ^б Фултон и Харрис 1991 , с. 4.
^ Зал 2015 г., раздел 4.3.2.
^ Холл, 2015 г. Определение 4.19.
^ Зал 2015 г. Предложение 4.18
^ Холл 2015, стр. 433–434.
^ Холла 2015 г. C.1 Теорема
^ Холл, 2015 г. Доказательство предложения 6.17.
^ Точно, у нас есть $V\times V\to V\otimes V,(v,w)\mapsto v\otimes w$ , которое является билинейным и, таким образом, спускается к линейному отображению $V\otimes V\to V\otimes V.$
^ Jump up to: ^а ^б Теплица 1977 , с. 9.
^ Джеймс 2001 , с. 196.
^ Джеймс 2001 , Предложение 19.12.
^ Джеймс 2001 , Предложение 19.13.
^ Джеймс 2001 , Предложение 19.14.
^ Фултон и Харрис 1991 , § 6.1. сразу после следствия 6.6.

Ссылки

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666 .
Джеймс, Гордон Дуглас (2001). Представления и характеры групп . Либек, Мартин В. (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521003926 . OCLC 52220683 .
Клаудио Процесси (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление , Спрингер, ISBN 9780387260402 .
Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90190-9 . ОСЛК 2202385 .

[FOOTNOTESerre19778-1] Теплица 1977 , с. 8.

[FOOTNOTEFultonHarris19914-2] Jump up to: ^а ^б Фултон и Харрис 1991 , с. 4.

[3] Зал 2015 г., раздел 4.3.2.

[4] Холл, 2015 г. Определение 4.19.

[5] Зал 2015 г. Предложение 4.18

[6] Холл 2015, стр. 433–434.

[7] Холла 2015 г. C.1 Теорема

[8] Холл, 2015 г. Доказательство предложения 6.17.

[9] Точно, у нас есть $V\times V\to V\otimes V,(v,w)\mapsto v\otimes w$ , которое является билинейным и, таким образом, спускается к линейному отображению $V\otimes V\to V\otimes V.$

[FOOTNOTESerre19779-10] Jump up to: ^а ^б Теплица 1977 , с. 9.

[FOOTNOTEJames2001196-11] Джеймс 2001 , с. 196.

[FOOTNOTEJames2001Proposition_19.12-12] Джеймс 2001 , Предложение 19.12.

[FOOTNOTEJames2001Proposition_19.13-13] Джеймс 2001 , Предложение 19.13.

[FOOTNOTEJames2001Proposition_19.14-14] Джеймс 2001 , Предложение 19.14.

[15] Фултон и Харрис 1991 , § 6.1. сразу после следствия 6.6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]