Матричный коэффициент

В математике матричный коэффициент (или матричный элемент ) — это функция на группе специального вида, которая зависит от линейного представления группы и дополнительных данных. функция компактной топологической группы G, путем представления G в векторном пространстве V с линейным отображением эндоморфизмов в V полученная Точнее , V. основное составления поле это Ее еще называют представительной функцией . Они естественным образом возникают из конечномерных представлений группы G как матриц -функций соответствующих матричных представлений. Теорема Питера-Вейля что матричные коэффициенты на G плотны в гильбертовом пространстве функций, интегрируемых с квадратом на G. гласит ,

Матричные коэффициенты представлений групп Ли оказались тесно связаны с теорией специальных функций , обеспечивая объединяющий подход к большим частям этой теории. Свойства роста матричных коэффициентов играют ключевую роль в классификации неприводимых представлений локально компактных групп , в частности, редуктивных вещественных и p -адических групп. Формализм матричных коэффициентов приводит к обобщению понятия модулярной формы . С другой стороны, свойства перемешивания некоторых динамических систем контролируются свойствами подходящих матричных коэффициентов.

Определение

Матричный коэффициент (или матричный элемент ) линейного представления ρ группы G в векторном пространстве V — это функция f _v,η на группе типа

$f_{v,\eta }(g)=\eta (\rho (g)v)$

где v — вектор из V , η непрерывный линейный функционал на V , а g — элемент из G. — на G. Эта функция принимает скалярные значения Если V — гильбертово пространство , то по теореме о представлении Рисса все матричные коэффициенты имеют вид

$f_{v,w}(g)=\langle \rho (g)v,w\rangle$

для некоторых векторов v и w из V .

Для V конечной размерности и v и w, взятых из стандартного базиса , на самом деле это функция, заданная элементом матрицы в фиксированном месте.

Приложения

Конечные группы

Матричные коэффициенты неприводимых представлений конечных групп играют заметную роль в теории представлений этих групп, разработанной Бернсайдом , Фробениусом и Шуром . Они удовлетворяют соотношениям ортогональности Шура . Характер двойственный представления ρ представляет собой сумму матричных коэффициентов f _{v i , η i} , где { v _i } образуют базис в пространстве представления ρ, а {η _i } образуют базис .

Конечномерные группы Ли и специальные функции

Матричные коэффициенты представлений групп Ли были впервые рассмотрены Эли Картаном . Израиль Гельфанд понял, что многие классические специальные функции и ортогональные многочлены выражаются как матричные коэффициенты представления групп Ли G . Это описание обеспечивает единую основу для доказательства многих до сих пор разрозненных свойств специальных функций, таких как формулы сложения, некоторые рекуррентные отношения, отношения ортогональности, интегральные представления и свойства собственных значений по отношению к дифференциальным операторам. Специальные функции математической физики, такие как тригонометрические функции , гипергеометрическая функция и ее обобщения, ортогональные полиномы Лежандра и Якоби и функции Бесселя, возникают как матричные коэффициенты представлений групп Ли. Тэта-функции и вещественные аналитические ряды Эйзенштейна , важные в алгебраической геометрии и теории чисел , также допускают такие реализации.

Автоморфные формы

Мощный подход к теории классических модулярных форм , инициированный Гельфандом, Граевым и Пятецким-Шапиро , рассматривает их как матричные коэффициенты некоторых бесконечномерных унитарных представлений, автоморфных представлений адельных групп . Этот подход был далее развит Ленглендсом над для общих редуктивных алгебраических групп глобальными полями .

См. также

• Теорема Питера – Вейля
• Сферические функции
• Представление дискретного ряда

Ссылки

• Брокер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985). Представления компактных групп Ли . Тексты для аспирантов по математике. Том 98. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  0-387-13678-9 . МР   0781344 .
• Хохшильд, Г. (1965). Структура групп Ли . Сан-Франциско, Лондон, Амстердам: Холден-Дэй. МР   0207883 .
• Виленкин, Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп . Перевод с русского В.Н. Сингха. Переводы математических монографий, Vol. 22 Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1968 г.
• Виленкин Н.Я., Климык А.Ю. Представление групп Ли и специальные функции. Последние достижения . Перевод с русской рукописи В. А. Грозы и А. А. Грозы. Математика и ее приложения, 316. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1995. xvi+497 стр. ISBN   0-7923-3210-5
• Виленкин Н.Я., Климык А.Ю. Представление групп Ли и специальные функции. Том. 3. Классические и квантовые группы и специальные функции . Перевод с русского В.А. Грозы и А.А. Грозы. Математика и ее приложения (советская серия), 75. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1992. xx+634 стр. ISBN   0-7923-1493-X
• Виленкин Н.Я., Климык А.Ю. Представление групп Ли и специальные функции. Том. 2. Представления класса I, специальные функции и интегральные преобразования . Перевод с русского В.А. Грозы и А.А. Грозы. Математика и ее приложения (советская серия), 74. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1993. xviii+607 стр. ISBN   0-7923-1492-1
• Виленкин Н.Я., Климык А.Ю. Представление групп Ли и специальные функции. Том. 1. Простейшие группы Ли, специальные функции и интегральные преобразования . Перевод с русского В.А. Грозы и А.А. Грозы. Математика и ее приложения (советская серия), 72. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1991. xxiv+608 стр. ISBN   0-7923-1466-2
• Желобенко, Д.П. (1973). Компактные группы Ли и их представления . Переводы математических монографий. Том. 40. Американское математическое общество .