Бесплатная презентация

Эта статья посвящена описанию модуля над кольцом. Для указания генераторов и отношений группы см. представление группы .

В алгебре свободным представлением модуля является M над коммутативным кольцом R последовательность точная -модулей R :

$\bigoplus _{i\in I}R\ {\overset {f}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}R\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0.$

Обратите внимание, что изображение под g стандартного базиса генерирует M . В частности, если J конечен, то M — конечно порожденный модуль . Если I и J — конечные множества, то представление называется конечным представлением ; модуль называется конечно представимым, если он допускает конечное представление.

Поскольку f является гомоморфизмом модулей между свободными модулями , его можно представить как (бесконечную) матрицу с элементами из R и M в качестве ее коядра .

Свободное представление всегда существует: любой модуль есть частное свободного модуля: $F\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0$, но тогда ядро ​​g : снова является фактором свободного модуля $F'\ {\overset {f}{\to }}\ \ker g\to 0$. Комбинация f и g свободное представление M. представляет собой Теперь, очевидно, можно продолжать «разрешать» ядра таким образом; результат называется свободным разрешением . Таким образом, свободная презентация — это ранняя часть свободного решения.

Презентация полезна для вычислений. Например, поскольку тензоризация является точной справа , тензоризация приведенного выше представления с помощью модуля, скажем N , дает:

$\bigoplus _{i\in I}N\ {\overset {f\otimes 1}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}N\to M\otimes _{R}N\to 0.$

Это говорит о том, что $M\otimes _{R}N$ является ядром $f\otimes 1$. Если N также является кольцом (и, следовательно, R -алгеброй ), то это представление N -модуля $M\otimes _{R}N$; то есть представление расширяется при базовом расширении.

Для левых функторов существует, например,

Предложение . Пусть F , G — точные слева контравариантные функторы из категории модулей над коммутативным кольцом R в абелевы группы, а θ естественное преобразование из F в G. — Если $\theta :F(R^{\oplus n})\to G(R^{\oplus n})$ является изоморфизмом для каждого натурального числа n , то $\theta :F(M)\to G(M)$ является изоморфизмом для любого конечно определенного модуля M .

Доказательство: применение F к конечному представлению. $R^{\oplus n}\to R^{\oplus m}\to M\to 0$ приводит к

$0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).$

Это можно тривиально расширить до

$0\to 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).$

То же самое справедливо и для $G$. Теперь применим пять лемм . $\square$

См. также

• Когерентный модуль
• Конечно связанный модуль
• Подходит идеально
• Квазикогерентный пучок

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN   0-387-94268-8 .